Начертательная геометрия(краткий курс лекций)_Красильникова_Кокорин_Иванова

проходящие через точки 11 и 11* соответственно.

5. Через точку M2 проводим линию проекционной связи и, при пересечении ее с прямыми m1 и m1*, отмечаем точки M1 и M1* — проекции точек M и M* видимой и невидимой части поверхностисоответственно.

Приведѐнные алгоритмы решения подобной задачи применимы для любой поверхности вращения.

В зависимости от формы образующей линии f могут получаться различные виды поверхности вращения.

Моделирование сферы

Сфера образуется вращением окружности вокруг одного из ее диаметров (рис. 45 а). Один из реперов сферы — ось вращения (i) и образующая окружность (f) (рис. 45, б). Сфера также может быть задана экватором (h) и главным меридианом (f) (рис. 45, в).

а)	б)	в)	г)
		Рис. 45

На рис. 45, г показано построение точки M, принадлежащей сфере ( i, f ). Построение выполнено по первому алгоритму

задачи 5.

Моделирование торовой поверхности

Торовая поверхность образуется вращением окружности вокруг оси, которая расположена в плоскости окружности, но не проходит через ее центр (рис. 46).

41

а) Открытый тор (кольцо) б) Закрытый тор Рис. 46

Репером торовой поверхности будут ось вращения (i) и образующая окружность (f).

На рисунке 47 изображены три модели торовой поверхности в зависимости от взаимного положения оси вращения и образующей окружности, а также модели точек, принадлежащих контурным линиям торовой поверхности. Если ось вращения (i) не пересекает образующую окружность (f), то образуется открытый тор (кольцо) (рис. 47, а). Если же ось вращения (i) касается образующей окружности (f) или пересекает ее, то образуется закрытая торовая поверхность (рис. 47, б, в).

а)	б)	в)
	Рис. 47

На рисунке 48, а показано построение произвольной точки M, принадлежащей торовой поверхности (i, f). Построение выполняется по первому алгоритму задачи 5. На рис. 48, б показано построение точки M по второму алгоритму задачи 5.

42

а)	б)
	Рис. 48

Линейчатые поверхности вращения При вращении прямой линии, которая пересекает ось

вращения в собственной или несобственной точке, образуются, соответственно, коническая или цилиндрическая поверхности. Если прямая линия f скрещивается с осью вращения i, образуется поверхность, называемая однополостным гиперболоидом

вращении.

а)	б)
	Рис. 49

Эта поверхность также может быть получена путѐм вращения

43

гиперболы вокруг еѐ мнимой оси. На рисунке 49, а показано построение произвольной точки M, принадлежащей поверхности однополостного гиперболоида вращения (i, f ), а на рис. 49, б — построение фронтального очерка заданной поверхности. Через точку 1, принадлежащую образующей прямой f, проводится параллель k поверхности вращения, после чего определяется точка 2, принадлежащая главному меридиану. Аналогично строятся все остальные точки гиперболы.

5. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ

Рассмотрим три варианта, а, соответственно, и три алгоритма решения задачи по определению точки пересечения прямой с плоскостью:

1.Прямая — проецирующая, плоскость — общего положения

2.Прямая — общего положения, плоскость — проецирующая

3.Прямая и плоскость общего — положения

5.1. Пересечение проецирующей прямой с плоскостью общего положения

При решении задач на определение точки пересечения проецирующей прямой с плоскостью общего положения используется собирательное свойство вырожденной проекции проецирующей прямой. Вырожденная проекция прямой совпадает с одноименной проекцией искомой точки. Другая проекция точки пересечения прямой с плоскостью определяется по принадлежности точки заданной плоскости.

Задача

На эпюре Монжа построить проекции точки пересечения проецирующей прямой l с плоскостью общего положения (a || b)

(рис. 50).

44

Алгоритм решения

1.Так как прямая l — горизонтально-проецирующая, то вторая проекция точки пересечения заданной прямой с плоскостью совпадает с вырожденной проекцией прямой l. Отметим горизонтальную проекцию K2 ≡ l2.

2.Фронтальную проекцию K1 определим по принадлежности

точки K плоскости (задача 3).

Видимость прямой l относительно плоскости при проецировании на фронтальную плоскость проекций определим с помощью конкурирующих точек 3 и 4.

Рис. 50

Рис. 51

5.2. Пересечение прямой общего положения с проецирующей плоскостью

При решении задач на определение точки пересечения проецирующей плоскости с прямой общего положения используется собирательное свойство вырожденной проекции проецирующей плоскости. Одна из проекций искомой точки определяется на пересечении вырожденной проекции плоскости с одноименной проекцией заданной прямой. Другая проекция точки

45

пересечения прямой с плоскостью определяется по принадлежности точки заданной прямой.

Задача

На эпюре Монжа построить проекции точки пересечения прямой общего положения l с проецирующей плоскостью

(рис. 51).

Алгоритм решения

1. Так как точка K — общий элемент прямой и плоскости, а плоскость — фронтально-проецирующая, следовательно, проекция K1 определится на пересечении фронтальных проекций прямой и плоскости (K1 = l1 1).

2. Горизонтальную проекцию K2 определим по принадлежности точки K прямой l (задача 1).

Видимость прямой l относительно плоскости при проецировании на горизонтальную плоскость проекций определим с помощью конкурирующих точек 1 и 2.

5.3. Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения

Для построения точки пересечения прямой l общего положения с плоскостью общего положения выполним следующие операции:

1. Заключим прямую l во вспомогательную плоскость (рис. 52). Как правило, плоскость — проецирующая плоскость.

2.Строим линию пересечения заданной плоскости и вспомогательной плоскости — прямую m.

3.Определим точку пересечения K прямой линии l с построенной линией m.

46

Рис. 52

Так как линия m принадлежит заданной плоскости , следовательно, точка K будет искомой точкой пересечения прямой l с плоскостью .

Перед решением задачи по определению точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения рассмотрим отдельно реализацию на эпюре Монжа пункта 2 — построение линии пересечения проецирующей плоскости с плоскостью общего положения рис. 53, а.

Задача 6

На эпюре Монжа построить проекции линии пересечения плоскости общего положения (ABC) с проецирующей плоскостью

.

а)

б)

Рис. 53

47

При решении этой задачи используем собирательное свойство вырожденной проекции проецирующей плоскости.

Алгоритм решения

1. Определим фронтальную проекцию линии m.

Так как плоскость — фронтально-проецирующая, то первая проекция линии m совпадает с вырожденной (фронтальной) проекцией плоскости (m1 ≡ 1) (рис. 53, б).

2. Горизонтальную проекцию линии m построим, учитывая ее принадлежность плоскости (задача 2).

Задача 7

На эпюре Монжа построить проекции точки пересечения прямой общего положения l с плоскостью общего положения

(ABC) (рис. 54, а).

Алгоритм решения

1. Заключим прямую линию l во вспомогательную проецирующую плоскость .

Так как плоскость — фронтально-проецирующая, то первая проекция линии l совпадет с вырожденной проекцией плоскости

(l1 ≡ 1) (рис. 54, б).

а)	б)
	Рис. 54

48

2.Построим проекции линии пересечения m заданной плоскости и вспомогательной плоскости в соответствии с алгоритмом решения задачи 6 (рис. 53).

3.Определим проекции точки пересечения K прямой линии l с построенной линией m (рис. 55, а) следующим образом:

-отметим проекцию K2 (K2 = l2 m2);

-на пересечении l1 и линии проекционной связи отметим проекцию K1 (рис. 55, б).

4. Определим видимость прямой l относительно плоскости . Точка K делит прямую l на две части — видимую и невидимую

(плоскость считаем бесконечной и непрозрачной). Невидимая часть прямой может находиться за плоскостью при проецировании на 1 и под плоскостью при проецировании на 2 (рис. 56, а). Невидимая часть прямой отмечается на эпюре Монжа штриховой линией.

а)	б)
	Рис. 55

Определим видимость прямой l при проецировании на плоскость 1 по конкурирующим точкам 1 и 3 (рис. 56, б). По расположению горизонтальных проекций 12 и 32 можно сделать

49

вывод, что точка 3, принадлежащая l, — видимая (ближе к центру проецирования), следовательно, часть прямой, содержащая точку 3, тоже видимая. На плоскости проекций 1 эту часть прямой l отметим основной линией, а другую часть прямой (за точкой пересечения K) — штриховой линией.

Видимость прямой l при проецировании на плоскость 2 определим по конкурирующим точкам 4 и 5. По расположению фронтальных проекций 41 и 51 можно сделать вывод, что точка 4, принадлежащая l — видимая, следовательно, часть прямой, содержащая точку 4, тоже видимая. На плоскости проекций 2 этот участок прямой l отметим основной линией.

а)	б)
	Рис. 56

6. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ

Рассмотрим три варианта, а соответственно и три алгоритма решения задачи по определению точки пересечения прямой с поверхностью:

50