Начертательная геометрия(краткий курс лекций)_Красильникова_Кокорин_Иванова

1.Прямая — проецирующая, поверхность – общего положения.

2.Прямая — общего положения, поверхность – проецирующая.

3.Прямая и поверхность — общего положения.

6.1. Пересечение проецирующей прямой с поверхностью общего положения

При решении задач на определение точек пересечения проецирующей прямой с поверхностью общего положения используется собирательное свойство вырожденной проекции проецирующей прямой.

Задача

На эпюре Монжа построить проекции точек пересечения проецирующей прямой l с поверхностью общего положения (f, h)

(рис. 57).

При решении задачи используется алгоритм построения точки, принадлежащей поверхности.

Рис. 57

Рис. 58

51

Алгоритм решения

1. Так как прямая l горизонтально-проецирующая, то вторые проекции точек пересечения прямой с поверхностью совпадают с вырожденной проекцией прямой l.

Отметим горизонтальные проекции

K2, L2 ≡ l2.

2. Фронтальные проекции K1, L1 определим из условия принадлежности точек K, L поверхности (i, f) (задача 5). Видимость прямой l относительно поверхности при

проецировании на фронтальную плоскость проекций определим с помощью конкурирующих точек 2 и 3.

6.2. Пересечение прямой общего положения с проецирующей поверхностью

При решении задач на определение точек пересечения прямой общего положения с проецирующей поверхностью используется собирательное свойство вырожденной проекции проецирующей поверхности.

Задача

На эпюре Монжа построить проекции точек пересечения прямой общего положения l с проецирующей поверхностью (f, S)

(рис. 58).

Алгоритм решения

1. Так как точки K, L — общие для прямой и поверхности, а поверхность (f, S) — горизонтально-проецирующая, проекции K2, L2 определим на пересечении горизонтальных проекций прямой и поверхности (K2, L2 = l2 2).

2. Фронтальные проекции K1, L1 определим по принадлежности точек K, L прямой l (задача 1).

Видимость прямой l относительно поверхности при проецировании на фронтальную плоскость проекций определим с помощью конкурирующих точек 1, 2 и 3, 4.

52

6.3. Пересечение прямой общего положения с поверхностью общего положения

Для построения точки пересечения прямой l общего положения с поверхностью общего положения выполним следующие операции:

1. Заключим прямую l во вспомогательную плоскость (рис. 59). Как правило, плоскость — проецирующая плоскость.

2.Построим линию пересечения заданной поверхности и вспомогательной плоскости — линию m.

3.Определим точку (точки) пересечения прямой l с построенной линией m.

Так как линия m принадлежит заданной поверхности , точка K будет искомой точкой пересечения прямой l с поверхностью .

Рис. 59

Перед решением задачи по определению точки пересечения прямой общего положения с поверхностью общего положения рассмотрим отдельно реализацию на эпюре Монжа пункта 2 — построение линии пересечения проецирующей плоскости с поверхностью общего положения.

Задача 8

На эпюре Монжа построить проекции линии пересечения проецирующей плоскостью с поверхностью общего положения

(f, S) (рис. 60).

53

При решении этой задачи используем собирательное свойство вырожденной проекции проецирующей плоскости.

Рис. 60 Рис. 61

Алгоритм решения

1. Определяем фронтальную проекцию линии m.

Так как плоскость — фронтально-проецирующая, то первая проекция линии m совпадает с вырожденной (фронтальной) проекцией плоскости (m1 ≡ 1).

2. Горизонтальную проекцию линии m строим, исходя из условия принадлежности ее поверхности (f, S).

Задача 9

Построить проекции точек пересечения прямой общего положения l с поверхностью общего положения (f, S) (рис. 61).

Алгоритм решения

1. Заключим прямую линию l во вспомогательную проецирующую плоскость (рис. 62, а).

Так как плоскость — фронтально-проецирующая, то первая проекция линии l совпадет с вырожденной проекцией плоскости

(l1 ≡ 1).

54

2.Строим линию пересечения m заданной поверхности (f, S)

ивспомогательной плоскости в соответствии с алгоритмом решения задачи 8.

3.Определим точки пересечения K, L прямой линии l с построенной линией m следующим образом (рис. 62, б):

-отметим проекции K2, L2 (K2, L2 = l2 m2);

-на пересечении l1 и линий проекционной связи отметим

проекции K1и L1.

а)	б)
	Рис. 62

4. Определим видимость прямой l относительно плоскости . Невидимая часть прямой может находиться за поверхностью

при проецировании на 1 и под поверхностью при проецировании на 2.

Для определения видимости прямой при проецировании на плоскость 1 используем конкурирующие точки 1 и 4, а также точки 3 и 5 (рис. 63). По расположению горизонтальных проекций 12 и 42

можно сделать	вывод,	что точка 3, принадлежащая l — видимая.
Следовательно,	часть	прямой от	точки 4 до точки K — тоже
видимая. На плоскости проекций 1			этот участок прямой l отметим
			55

основной линией. На основании расположения горизонтальных проекций 32 и 52 можно сделать вывод, что точка 5, принадлежащая l — невидимая. Следовательно, часть прямой l от точки K до точки 5 находится за поверхностью. На плоскости проекций 1 этот участок прямой l отметим штриховой линией.

Для определения видимости прямой при проецировании на плоскость 2 используем конкурирующие точки 6 и 7, а также точки 8 и 9 (рис. 64). По расположению фронтальных проекций 61 и 71 можно сделать вывод, что точка 6, принадлежащая l — видимая. Следовательно, часть прямой l, содержащая точку 6, — тоже видимая. На плоскости проекций 2 этот участок прямой l отметим основной линией. Аналогично определим видимость участка прямой l, содержащего точку 8.

Рис. 63

Рис. 64

7.ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Вэтом разделе рассмотрим решение задач по определению линии пересечения:

56

-плоскостей как простейших видов поверхностей;

-плоскости с поверхностью;

-поверхностей.

Взависимости от формы поверхностей, их взаимного положения и положения относительно плоскостей проекций используются различные способы построения их линии пересечения

[3], [7].

Вданном пособии рассмотрим следующие способы построения линии пересечения поверхностей:

1. Алгоритм построения линии, принадлежащей поверхности (плоскости).

Этот способ используется в случае, когда одна из двух заданных поверхностей — проецирующая.

2. Способ вспомогательных секущих плоскостей.

Этот способ рационально применять тогда, когда есть возможность пересечь обе поверхности плоскостью по графически простым линиям (прямым, окружностям).

3. Способ вспомогательных концентрических сфер.

Этот способ применяется для определения линии пересечения поверхностей вращения, оси вращения которых пересекаются.

7.1. Пересечение плоскостей. Способ вспомогательных секущих плоскостей

Для построения линии пересечения плоскостей общего положения используется способ вспомогательных секущих плоскостей.

Способ секущих плоскостей Рассмотрим общий алгоритм решения задачи по определению

линии пересечения поверхностей (плоскостей) способом секущих плоскостей.

57

Задача 10

Построить линию пересечения l поверхности с поверхностью (рис. 65).

Рис. 65

Алгоритм решения

1. Рассечем обе поверхности вспомогательной плоскостью .

2.Определим линию пересечения a плоскости с поверхностью a = .

3.Определим линию пересечения b плоскости с поверхностью ( b = ).

4.Построим точки пересечения линий a и b (K, L = a b).

Для построения других точек искомой линии повторим

указанный алгоритм необходимое количество раз.

При решении задачи на пересечение плоскостей линии a и b представляют собой прямые линии, а рассмотренный алгоритм построения общих точек пересекающихся поверхностей применяется дважды.

Задача

На эпюре Монжа построить линию пересечения l плоскости(a b) с плоскостью (f h) (рис. 66).

Решим эту задачу в соответствии с алгоритмом решения задачи 10. В качестве вспомогательных секущих плоскостей будем использовать, например, плоскости уровня и , параллельные 2.

Алгоритм решения

1. Рассечем обе плоскости вспомогательной плоскостью (рис. 66, а).

58

а)	б)
	Рис. 66

2.Определим линию пересечения a плоскости с плоскостьюa = в соответствии с алгоритмом решения задачи 6.

3.Определим линию пересечения b плоскости с плоскостью

(b = ).

4.Определим проекции одной общей точки заданных плоскостей — точки K (K = a b).

5.Рассечем обе плоскости вспомогательной плоскостью

(рис. 66. б).

6.Определим линию пересечения c плоскости с плоскостью

c = .

7.Определим линию пересечения d плоскости с плоскостью

(d = ).

8.Определим проекции еще одной общей точки заданных плоскостей — точки L (L = a b).

9.Построим проекции искомой прямой линии, соединив соответствующие проекции точек K и L.

7.2. Пересечение плоскости общего положения с проецирующей поверхностью

Для определения линии пересечения плоскости общего положения с проецирующей поверхностью будем использовать собирательное свойство вырожденной проекции проецирующей

59

поверхности, и применять алгоритм построения линии, принадлежащей заданной плоскости.

Задача

На эпюре Монжа построить проекции линии пересечения l призматической проецирующей поверхности (f, S) с плоскостью

( m, n) (рис. 67 а).

Алгоритм решения

1. Так как призматическая поверхность (f, S) — горизонтально-проецирующая, то вторая проекция линии пересечения поверхности с плоскостью совпадает с вырожденной горизонтальной проекцией поверхности (рис. 67 б).

Отметим горизонтальную проекцию l2 ≡ 2 ≡ f 2.

2. Фронтальную проекцию l1 определим по принадлежности линии l плоскости ( m, n) (рис. 67, б).

а)	б)
	Рис. 67

7.3. Пересечение плоскости общего положения с поверхностью общего положения

В этом параграфе рассмотрим задачу, при решении которой используется способ секущих плоскостей.

60