3. Кривые элементов теоретического чертежа

Кривыми элементов теоретического чертежа(рис. 5) называются графические изобра-жения элементов площадей ватерлиний и погруженного объема в зависимости от осадки при отсутствии крена и дифферента. Они также называютсягидростатическимикривыми. В состав кривых элементов теоретического чертежа входят: V(z) - кривая водоизмещения; х_с(z) - кривая абсцисс ЦВ судна; z_с(z) - кривая аппликат ЦВ судна; S(z) - строевая по ватерлиниям; х_f(z) - кривая абсцисс центров тяжести площадей ватерлиний; I_x(z) - кривая моментов инерции площадей ватерлиний относительно оси Ox; I_yf(z) – кривая моментов инерции площадей ватерлиний относительно оси ff; z_m(z) - кривая аппликат поперечного метацентра.

Рис. 5. Кривые элементов теоретического чертежа Кроме указанных кривых строят дополнительные кривые: r₀(z),R₀(z),где - (18) поперечный метацентрический радиус; - (19) продольный метацентрический радиус. z_м=z_с+r- возвышение поперечного метацентра.

3. ^ Площадь шпангоута. Масштаб Бонжана

Формулу для определения площади погруженной части шпангоута можно получить, воспользовавшись приемом, описанным ранее при определении, например, площади ватерлинии. Выделим элемент площади шпангоута dΩ = 2ydz(рис. 6). Вся площадь будет равна

. (20) Если необходимо получить зависимость Ω (z), то формулу (20) представляют в виде интеграла с переменным верхним пределом: . (21) Рис. 6. К определению элементов площади шпангоута

Совокупность кривых площадей всех шпангоутов Ω называется масштабом Бонжана.Формы масштаба Бонжана могут быть различными. Наиболее распространенная из них изображена на рис.7. Она получается, если на оси абсцисс отложить в каком-либо масштабе длину судна L, нанести следы шпангоутов и от них построить кривыеΩ (z). Применяют масштаб Бонжана при определении водоизмещения Vи абсциссы х_сдля судна, плавающего с дифферентом.

Рис. 7. Масштаб Бонжана 3.5. Определение водоизмещения и координат ЦВдля посадки судна с дифферентом. Диаграмма Фирсова В случае посадки судна с дифферентом удобнее всего пользоваться масштабом Бонжана, изображенным на рис. 7. Порядок действий следующий:

1. вычисляют осадку носом и кормой по формулам

Т_н = T + tgψ ;. (22) 2. откладывают Т_н на носовом перпендикуляре, а Т_к - на кормовоми полученные точки соединяют прямой линией. Из точек пересечения наклонной ватерлинии со следами шпангоутов восстанавливают перпендикуляры к следам шпангоутов до пересечения с кривыми (z), находят площади шпангоутов и производят вычисления по следующим формулам: . (23) В условиях эксплуатации затруднительно проводить каждый раз расчеты Ω, V, х, поэтому еще в процессе проектирования строятдиаграмму Фирсова(рис. 8), позволяющую по осадкам Т_н и Т_кбез каких-либо дополнительных вычислений определить соответствующие Vи х_с. Диаграмму Фирсова строят в прямоугольной системе координат, в которой по оси абсцисс откладывают Т_н, а по оси ординат Т_к. Масштаб осадок на обеих осях одинаков, число и цена делений соответствуют градуировке на форштевне и ахтерштевне. На диаграмме изображены два семейства кривых: постоянного водоизмещения Vи постоянной абсциссы ЦВх_с. Построение диаграммы Фирсова проводят с помощью масштаба Бонжана . Рис. 8. Диаграмма Фирсова ^ МОДУЛЬ 4. ПРАКТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ПЛАВУЧЕСТИ 4.1. Запас плавучести. Грузовая марка Запасом плавучестиназывается то количество грузов, которое судно может принять до полного затопления. Обеспечивается он непроницаемым объемом корпуса, который расположен выше ватерлинии. В него входят объемы всех помещений, ограниченные снизу ватерлинией, а сверху верхней водонепроницаемой палубой, а также объемы всех водонепроницаемых рубок и надстроек. Запас плавучести выражается обычно в процентах от водоизмещения по КВЛ. Он зависит от назначения судна, сезона, от рода груза и некоторых других факторов. Например, для речных судов запас плавучести составляет 10—15 %, для танкеров 15—25 %, для сухо- грузных 25—50 %, для пассажирских 80—100% . Для того чтобы гарантировать заданный запас плавучести, классификационные общества устанавливают минимальный надводный борт и на каждом борту судна у миделя наносят грузовую марку (рис. 1). Грузовая марка состоит из палубной линии, диска и гребенки. Буквы на гребенке, определяющей осадки при различных линиях, обозначают: ^ ТП- тропики, пресная вода; П- летнее время, пресная вода; Т- тропики, морская вода; Л– летнее время, морская вода;3– зимнее время, морская вода;ЗСА- зимнее время в Северной Атлантике. Расчеты этих осадок производят с учетом плотностей воды .Транспортное судно, сидящее ниже соответствующей ватерлинии, не получает разрешения на выход из порта. Например, при плавании в тропиках ватерлиния не должна быть выше верхней кромки линииТ и т. д. Центр диска помещается на ватерлинии, соответствующей летнему надводному борту. Рис.1. Грузовая марка ^ 4.2. Задачи плавучести, решаемые в процессе эксплуатации судна В процессе эксплуатации на судне расходуются грузы (вода, топливо и т. д.) или, наоборот, принимаются грузы. Кроме того, судно эксплуатируется в морях с водой различной плотности, которая зависит от солености и температуры. При этом будет наблюдаться изменение осадки. ^ 4.2.1. Прием и расходование малого груза. Кривая числа тонн на 1 см осадки На практике считается, что условие прямобортности при приеме груза на суда выполняется, если масса груза не превосходит 10 % массы судна. Такой груз и называетсямалым. При принятии малого груза весом p = mg (рис. 2) осадка судна должна измениться таким образом, чтобы дополнительная сила поддержания ρgδVкомпенсировала силу тяжести груза p, т.е. должновыполняться равенствоmg = ρgδV, или m =ρδV. Поскольку груз мал, можно в пределах изменения осадки считать борта судна вертикальными и выразить δV через приращение осадки и площадь ватерлинии δV =SδT , (1) тогда p = ρgSδT . (2) Отсюда изменение осадки δT = p/(ρgS). (3) С помощью формулы (3) и с учетом того, что p = mg, можно рассчитать и построить кривую числа тонн на 1 см осадки. Если положить δT = 1 см = =0,01 м, m = q, получим q = ρS/100 - (4) число тонн на 1 см осадки. Таким образом, достаточно изменить лишь масштаб на оси ординат строевой по ватерлиниям, чтобы найти зависимость qот z. С помощью qлегко найти значение δT(в сантиметрах) при приеме груза по формуле δT = m/q. (5) При приеме груза кроме осадки будут меняться также координаты ЦТ и ЦВ судна. Обозначив координаты центра тяжести груза ,и (см. рис.2) и составив уравнения статических моментов масс относительно координатных плоскостей, получим ; ; (6) , где , — координаты ЦТ судна до приема груза. При написании второго уравнения учтено, что для судна в прямом положении =0. Рис.2. К определению изменения осадки и приращений координат ЦТ и ЦВ при приеме малого груза: а — поперечный; б — продольный разрезы судна Из системы уравнений (6) легко определить изменения координат ЦТсудна

; ; (7) . В соответствии с (7) получается, что изменения координат ЦТне будет, если груз принят в ЦТсудна. Формулы (7) можно также выразить через массу судна и груза (8)Изменение координатЦВ можно определить из уравнений статических моментов объемов относительно координатных плоскостей: ; ; (9) . Здесь ,и — координаты ЦТFдополнительного объема δV. Из рис.2 следует, что при приеме малого груза =; = Т + δT/ 2 , a= 0, так как судно остается по-прежнему симметричным относительно ДП. Подставив эти величины в уравнения (9) и умножив числители и знаменатели уравнений на ρg,, можно вычислить ; ; (10)

Системы (7) и (10) верны и для случая снятия груза, но только вместо p надо в них подставлять - p. Формулы (10) можно также выразить через массы судна и груза (11) Чтобы судно не получило при приеме или снятии груза ни крена, ни дифферента, необхо-димо выполнять условия δx_g= δх_си δy_g= δу_с,или в развернутом виде на основании выражений (7) и (10)

; (12) . (1.101

С учетом того, что х_g = х_с(из второго условия плавучести), окончательно имеем х_р = х_f, ; у_p = 0 . (13) Таким образом, чтобы судно при приеме или расходовании груза не получило ни крена, ни дифферента, центр тяжести этого груза должен находиться на одной вертикали с центром тяжести площади ватерлинии. ^ 4.2.2. Прием и расходование большого груза При приеме большого груза нельзя считать судно прямобортным в пределах изменения осадки, поэтому для определения величиныδТнадо пользоваться грузовым размером М (z) (рис. 3.). Отложив на оси абсцисс от М величину т = p / g , с помощью кривой М (z) по оси осадок найдемТ+ δТ, затем δТ. Для определения изменения координат ЦВ судна при приеме большого груза необходимо пользоваться кривыми х_с (z) и z_c(z) (см. рис. 3.), которые входят в состав кривых элементов теоретического чертежа, а изменение координат ЦТнеобходимо рассчитывать по формулам (8), которые справедливы независимо от величины принимаемого груза. Чтобы не было ни крена, ни дифферента, центр тяжести груза должен лежать на одной вертикали с центром тяжести F₀дополнительного объема, т. е. x_p = x_f0 ;y_p = 0. (14) Абсцисса в первом приближении определяется как среднее междуи по формуле . (15) Здесь и относятся к исходной ватерлинии, и - к конечной. Рис. 3. Определение координат ЦВпри приеме большого груза ^ 4.2.3. Изменение посадки при изменении плотности воды Изменение плотности воды связано с изменением солености или температуры. При изменении плотности меняется также сила поддержания ρgV, т. е. меняется осадка. Весовое водоизмещение судна при этом не меняется, и можно записать, что D = ρgV и D = ρ_lgV_l , где ρ и V — исходная плотность и соответствующее водоизмещение, ρ_lи V_l— новая плотность и соответствующее водоизмещение. Из сравнения этих выражений получаем ρV= ρ_l(V_l + δV). Отсюда . (16) Так как изменение водоизмещения мало, можно считать судно прямо- бортным в пределах изменения осадки, т. е. δV = SδТ. После подстановки этого выражения в (16) получим . (17) Если учесть, что V = δLBT и S = αLB, окончательно можно написать . (18) Из формул (17) и (18) видно, что при переходе судна из менее плотной в более плотную воду (например, из пресной в морскую) значениеδТ будет отрицательным, т. е. судно подвсплывет, и наоборот, при переходе из более плотной в менее плотную осадка судна увеличится. Также можно записать ; . Подставив в эти формулы значение отношения , (19) полученное из выражения (17), окончательно имеем ; , (20)т.е. при изменении плотности воды судно получит дифферент и у него изменится положение ЦВ по высоте. Если судно переходит из менее плотной воды в более плотную, значение и станут отрицательными, т.е. судно получит дифферент на нос при>и на корму при <,а ЦВ опустится (что вполне логично, так как осадка уменьшается). Эти особенности необходимо учитывать в расчетах посадки судна при различных режимах эксплуатации.

^ МОДУЛЬ 5. ОСТОЙЧИВОСТЬ. ОСТОЙЧИВОСИТЬ НА МАЛЫХ УГЛАХ НАКЛОНЕНИЙ 5.1. Общее понятие об остойчивости Остойчивость - способность судна, выведенного из положения равновесия внешним воздействием, возвращаться в положение равновесия после прекращения этого воздействия. Судно, обладающее такой способностью, является остойчивым, а не обладающее -неостойчивым. Внешние моменты, наклоняющие судно, совершают работу, которую должна уравновесить работа восстанавливающих сил, т. е. мы должны рассматривать не только статическую остойчивость, но и динамическую. Динамическая остойчивость характеризуется величиной работы восстанавливающего момента, а статическая –величиной самого восстанавливающего момента. ^ 5.2. Малые равнообъемные наклонения. Теорема Эйлера Если на судно действует пара сил, вертикальных перемещений не будет, а возникнут только наклонения (крен или дифферент), которые называются равнообъемными, так как не будет наблюдаться изменение водоизмещения. Ватерлинии, соответствующие равнообъемным наклонениям, называются равнообъемными. Рассмотрим вначале крен судна (рис. 1) на бесконечно малый угол δθ. Так как и - равнообъемные ватерлинии, входящий объем и выходящий объем равны между собой . (1) Рис.1. Определение объемов и Объемы и можно определить как суммы элементарных призм с высотой yδθ и основанием ds : ; , (2) где s_п - площадь правой части ватерлинии; s_л - площадь левой части ватерлинии. Если учесть, что - статический момент правой полуплощади ватерлинии относительно оси наклонения, параллельной оси^ Ох, а - статический момент левой полуплощади, можно подставить (2) в (1) и получить , (3) где М_х – статический момент площади всей ватерлинии относительно оси наклонения. Но, так как левый и правый объемы равны друг другу, М_х = 0.Это возможно только в том случае, если ось, относительно которой вычислен момент М_х, проходит через центр тяжести площади ватерлинии . Повторив эти же рассуждения для, получим, что линия пересечения двух равнообъемных ватерлиний при бесконечно малом наклонении должна проходить через центры тяжести обеих ватерлиний. Это условие называется теоремой Эйлера. Теорема Эйлера верна для любого бесконечно малого наклонения (крена, дифферента). ^ Следствие из теоремы Эйлера. Если повернуть плавающее судно на бесконечно малый угол относительно оси, проходящей через центр тяжести площади ватерлинии, то объем погруженной части судна не изменится. Теорему Эйлера можно распространить и на конечные, но малые углы наклонения. Предельная величина таких углов зависит от формы конкретного судна и от его загрузки. На практике считают углы малыми до 5 – 7 градусов. Для полностью погруженных судов теорема Эйлера справедлива вообще при любых углах наклонения. ^ 5.3. Перемещение центра величины при малом равнообъемном наклонении При равнообъемных наклонениях, как было отмечено ранее, величина погруженного объема остается неизменной, но меняется его форма, вследствие чего изменяется положение центра величина (рис. 2) . Он перейдет из точки в точкупо дуге . Прямая, соединяющая и при малом равнообъемном наклонениях на угол , будет параллельна и пропор-циональна перемещению ЦТ объемов , т.е. ; . (4) Определим объем элементарной призмы и отстояние ее ЦТ от ДП и . Они будут соответственно равны (объем элементарной призмы); у (отстояние ее ЦТ от ДП); (отстояние ее ЦТ от ). Изменение статического момента от изменения формы подводного объема в результате добавления с правого борта объема будет равно ; Суммарное изменение статических моментов будет определяться по формулам ; , а с учетом (4): ; Если ввести обозначение момента инерции площади ватерлинии относительно продольной оси, являющейся для нее и центральной , (5) то получим ; , Откуда ; . (6) Величина - малая второго порядка, поэтому длина дуги кривой центров величины будет равна . (7) Отсюда следует, что касательная к траектории центров величины, проведенная через некоторую точку , будет всегда параллельна плоскости ватерлинии, соответствующей точке . Для наклонений в продольной плоскости получаются аналогичные формулы, т.е. ; , (8) где - моментинерции площади ватерлинии относительно поперечной оси ff , проходящей через ее центр тяжести F ;- приращение угла дифферента. Рис.2. Траектория перемещения ЦТ ^ 5.4. Метацентры и метацентрические радиусы Как было отмечено в предыдущем параграфе, касательная к траектории в точке параллельна , а в точке - параллельна. Нормали, проведенные в точках и , пересекутся в точке ^ М. Эта точка является центром кривизны дуги , которая при малых углах наклонения станет дугой окружности радиуса r (рис.3.). Определяется r по формуле , (9) или с учетом (7) . (10) Величина rназывается малым или поперечным метацентрическим радиусом, а точка М - поперечным метацентром. Так как и V - сугубо положительные числа, r всегда число положительное. Рассуждая аналогично, получим радиус кривизны траекторииС при продольных наклонениях: . (11) Этот радиус называется большим или продольным метацентрическим радиусов, а соответствующий центр кривизны продольным метацентром (рис.4). С изменением осадки меняются , , ^ V , следовательно, меняются также rи R. Примерный характер зависимостей r(z) и R(z) представлен на рис.5. Эти кривые входят в комплекс кривых элементов теоретического чертежа. Так как длина судна значительно больше ширины, момент инерции значительно больше момента инерции , а Rзначительно больше r. ОбычноR = L – 2L ;r = 0,15 B – 0,30 B . Рис.3. Поперечный метацентр и поперечный метацентрический радиус Рис.4. Продольный метацентр и метацентрический радиусы Рис. 5. Кривые метацентрических радиусов Например, для прямоугольного понтона ; . (12) Тогда . Если L / B = 6, R / r = 36. Примерно такие же соотношения сохраняются и для судов. Для полностью погруженного судна площадь ватерлинии равна нулю, т.е. моменты инерции и метацентрические радиусы равны нулю. ^ 5.5. Восстанавливающий момент. Метацентрические формулы остойчивости При равнообъемном наклонении ЦТ судна не меняет своего положения,а ЦВ перемещается в сторону наклонения. Вес судна ^ D и сила поддержания ρgVобразуют пару (рис. 6). Плечо этой пары называется плечом статической остойчивости. Его величину можно определить из: . Для малых углов Восстанавливающий момент получится равным . (13) Величина обозначается и называется поперечной метацентрической высотой. Таким образом, поперечная метацентрическая высота – это возвышение метацентраМнад центром тяжести G. Формулу (13) можно переписать в виде .(13, а) Для наклонения около поперечной оси можно также определить продольнуюметацентри-ческую высоту (рис.7) . Тогда продольный восстанавливающий момент запишется в виде: .(14) Рис.6. Поперечная метацентрическая высота Рис.7. Продольная метацентрическая высота Формулы (13, а) и (14) называются метацентрическими формулами остойчивости. Составим выражения для определения и . Из рис.8 следует, что ; (15) ; (16) ; (17) . (18) Рис.8. Определение поперечной метацентрической высоты Аналогичным образом из рис.9 следует ; (19) ; (20) ; (21) . (22) Рис.9 Определение продольной метацентрической высоты В формулах (15) – (22) - (23) превышение ЦТ над ЦВ. Формулы (16) и (20) являются основными для расчета метацентрических высот. ^ 5. 6. Метацентрическая высота как мера начальной остойчивости Из структуры метацентрических формул остойчивости следует,что чем больше метацентри-ческие высоты и при данном водоизмещении, тем больше восстанавливающие момент, т.е. тем больше начальная остойчивость судна. Таким образом, метацентрические высоты имогут служить мерой начальной остойчивости. Проиллюстрируем это на ряде примеров для поперечной метацентрической высоты.

1. В начальном положении ЦВС₀ расположен ниже ЦТG , а ЦТ ниже метацентра M , т.е.

- положительная (рис.10). Тогда восстанавливающий момент будет направлен против кренящего момента , и после прекращения действия кренящего момента восстанавливающий момент вернет судно в исходное положение. Такое судно будет остойчивым.

2. В начальном положении ЦТ^ G находится ниже ЦВС₀ . Ввиду того, что r – сугубо

положительная величина, т.е. метацентр всегда находится выше ЦВ, метацентрическая высотатем более будет положительной, т.е. судно обладает безусловной остойчивостью. У надводных судов такого положения ЦТ трудно достичь, но оно встречается, например, у парусных судов, где применяются для этого специальные меры (металлический киль, балласт).

3. В начальном положении ЦТGлежит выше метацентра, т.е.-отрицательная (рис.11).

Восстанавливающий момент в этом случае действует в ту же сторону, что и кренящий, и после прекращения действия кренящего момента судно не вернется в исходное положение, т.е. неостойчиво.

4. В начальном положении метацентр и центр тяжести совпадают, т.е. h₀=0(рис.12). В этом

случае восстанавливающий момент будет равен нулю, противодействия наклонению не будет, и после прекращения действия кренящего момента судно не вернется в исходное положение, т.е. будет неостойчивым. Рис.10. Кренящий и восстанавливающий моменты при h₀>0 Рис.11. Кренящий и восстанавливающий моменты приh₀<0 Мерой остойчивости может также служить произведение , которое называется коэффициентом поперечной остойчивости. Рис. 12. Кренящий и восстанавливающий моменты при h₀=0. Продольная метацентрическая высота для надводных судов практически всегда положительная (в аварийных случаях может стать отрицательной). Величина называетсякоэффи-циентом продольной остойчивости. ^ 5.7. Составляющие восстанавливающего момента. Остойчивость формы и остойчивость веса Подставим в формулу (13, а) значение начальной метацентрической высотыиз формулы (17): . Первая составляющая называется моментом остойчивости формы , (24) так как поперечный метацентрический радиус зависит только от формы корпуса, а вторая составляющая - моментом остойчивости веса , (25) так как , т.е. момент зависит от положения центра тяжести. Тогда . ^ МОДУЛЬ 6. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НАЧАЛЬНОЙ ОСТОЙЧИВОСТИ 6.1. Изменение посадки и остойчивости судна при переносе, приеме и расходовании груза. Понятие о нейтральной плоскости Перенос, прием и расходование грузов являются повседневными операциями в процессе эксплуатации судна. Такие операции приводят к изменению посадки (средней осадки, углов крена и дифферента) и остойчивости судна. Как правило, это изменение с достаточной для практики точностью можно оценить по формулам начальной остойчивости. ^ 6.1.1. Перенос груза Пусть на судне некоторый груз P массой m перенесен так, что ЦТ этого груза переместился из точки с координатами x₀, y_­0, z₀ в точку с координатами x₁, y_­1, z₁. Тогда масса всего судна не изменится, но изменится положение его ЦТ. Разлагая фактическое перемещение ЦТ груза на три взаимно перпендикулярных перемещения, параллельные координатным осям, рассматриваем продольное перемещение l_x = x₁ — x₀ поперечное перемещение l_y = y₁ — y₀ и вертикальное перемещение l_z = z₁ — z₀ (рис. 1). Перемещение ЦТ судна можно найти с помощью теоремы теоретической механики о статических моментах, согласно которой ; ; . (1) Благодаря этому перемещению появятся две дополнительные пары сил. Одна из них будет действовать в ДП, вызывая дифферент. Плечо ее будет равно . Другая же будет действовать в поперечной плоскости, параллельной плоскости мидель-шпангоута, вызывая крен. Плечо ее будет равно . Моменты этих пар равны: дифферентующий ; кренящий . Рис. 1. Кренящая пара сил при переносе груза Подставляя в эти формулы выражения (1), получим (2) Будем считать, что углы наклонения судна достаточно малы, так что; ; . Тогда формулы (2) принимают вид: (3) Согласно условиям равновесия действие этих моментов уравновесится действием восстанавливающих моментов. Определим последние по метацентрическим формулам остойчивости: ; . (4) Отсюда угол дифферента, возникающий вследствие переноса груза, равен , (5) а угол крена . (6) Выражения для метацентрических высот, измененные из-за влияния переноса груза, будут следующие: ; (7) , (8) где поправки к метацентрическим высотам оказываются одинаковыми; . Для большинства судов продольная метацентрическая высота намного больше поперечной. Поэтому в практических расчетах поправкой почти всегда можно пренебречь по сравнению с и положить . Тогда, подставив (7) и (8) в формулы (5) и (6), окончательно найдем ; .(9) Если груз переносится в нос, то , , а значит и , т. е. судно получает дифферент на нос. Если же груз переносится в корму, то , , , т. е. судно дифферентуется на корму. В случае переноса груза на правый борт и , а в случае переноса на левый и . 6.2. Прием и расходование малого груза Предположим, что на судно принят относительно малый груз, сила тяжести которого p не превышает (5—10) % силы тяжести судна D. Обозначим через x_p,y_p,z_p координаты ЦТ принятого груза. В результате приема груза изменятся средняя осадка и остойчивость, могут возникнуть крен и дифферент судна. Для упрощения вывода расчетных формул разобьем рассматриваемую операцию на две части. Сначала примем груз таким образом, чтобы не возникало ни крена, ни дифферента. Эта часть операции будет сопровождаться изменением средней осадки и метацентрической высоты. Затем перенесем в горизонтальной плоскости груз в место его фактического приема. При этом могут появиться крен и дифферент. Чтобы при приеме малого груза не возникало крена и дифферента, ЦТ груза должен располагаться на одной вертикали с ЦТ площади ватерлинии. Поэтому примем вначале груз в точку с координатами x_­f, 0, z_p, где аппликата z_p может быть любой. Изменение средней осадки определится формулой: . Найдем изменение поперечной метацентрической высоты , рассматривая его как сумму изменений слагаемых . (10) Изменение аппликаты ЦВ определяется формулой (см.модуль 4): . Изменение поперечного метацентрического радиуса равно , где — метацентрический радиус после приема груза; — метацентрический радиус до его приема. В формулах для r₁ и r₀ величина , а I_x1 и I_x — моменты инерции площади ватерлинии после и до приема груза соответственно. Поскольку принятый груз полагаем малым, борта судна в пределах изменения осадки можно считать вертикальными, т. е. площадь действующей ватерлинии неизменна и, следовательно, . Тогда . (11) Подставляя значения и в (10) с учетом выражения для h₀ найдем . (12) Отсюда поперечная метацентрическая высота после приема груза равна . (13) Аналогичным путем определяется изменение продольной метацентрической высоты: . (14) Изменение продольного метацентрического радиуса находим аналогично,считая судно прямобортным . (15) После подстановки значений , и в (14) получим . (16) Для большинства судов величина много меньше H₀. Поэтому приближенно можно положить . (17) Тогда продольная метацентрическая высота после приема груза равна . (18) В случае расходования груза величину p следует вводить со знаком минус. Перейдем ко второй части операции: переместим груз в горизонтальной плоскости так, чтобы его ЦТ оказался в точке с координатами x_p и y_p.. Тогда изменения углов крена и дифферента будут равны ; (19) . (20) Проанализируем, как изменяются начальные метацентрические высоты при приеме (расходовании) малого груза в разные места по высоте судна. Рассматривая формулу (12), видим, что при аппликате ЦТ груза, равной . (21) изменение поперечной метацентрической высоты как в случае приема груза , так и в случае его расходования . Выражение (21) представляет собой уравнение горизонтальной плоскости, расположенной на высоте над основной. При приеме (расходовании) груза, ЦТ которого окажется на этой горизонтальной плоскости, поперечная метацентрическая высота не изменится. Такая горизонтальная плоскость называется нейтральной (иногда ее называютпредельной). Если груз принят ниже нейтральной плоскости, т. е. , то согласно формуле (12) — поперечная метацентрическая высота увеличится. Если же груз принят выше нейтральной плоскости, т. е. , то — поперечная метацентрическая высота уменьшится. В случае расходования груза получается наоборот — снятие его с плоскости, лежащей ниже нейтральной плоскости, приводит к уменьшению поперечной метацентрической высоты, снятие же груза, расположенного выше нейтральной плоскости — к ее увеличению. Рассматривая приближенную формулу (17), определяющую изменение продольной метацентри-ческой высоты, видим, что для большинства надводных судов прием любого малого груза приводит к уменьшению продольной метацентрической высоты, а любое расходование — к ее увеличению. Это объясняется расположением соответствующей нейтральной плоскости, которая согласно (16) приближенно описывается уравнением , (22) и, следовательно, практически всегда лежит ниже основной плоскости. Значит, груз, принятый или израсходованный в любом месте на судне, оказывается выше нейтральной плоскости, что должно приводить к уменьшению метацентрической высоты в случае приема и к ее увеличению в случае расходования груза.