3. Жидкий груз

Пусть на судне в цистерне, танке или отсеке имеется какой-либо жидкий груз. Если этот груз заполняет емкость, например, отсек, целиком, то при наклонении судна он переливаться не будет, его ЦТ останется на месте и в расчете остойчивости такой груз может рассматриваться как твердый. Если же груз заполняет отсек лишь частично и жидкость в отсеке имеет свободную поверхность, то при наклонении судна она будет переливаться, ЦТ груза сместится и это вызовет перемещение ЦТ судна. Ясно, что остойчивость судна при этом изменится. Рассмотрим вначале наклонение судна на угол в поперечной плоскости (рис. 2, в). Введем обозначения: — объем жидкости в отсеке, — ее плотность, — объемное водоизмещение судна, — плотность забортной воды; ; . Величина дополнительного кренящего момента при переливании груза будет определяться по формуле . (31) Если бы груз p находился на судне, не имея возможности переливаться, как бы затвердев, то восстанавливающий момент согласно метацентрической формуле остойчивости был бы равен . При переливании груза он уменьшится на величину дополнительного кренящего момента и будет равен , (32) где (33) представляет собой поправку к поперечной метацентрической высоте, учитывающую влияние свободной поверхности жидкого груза в отсеке на начальную остойчивость. Все величины, входящие в левую часть (33), положительны, поэтому поправка всегда отрицательна. Таким образом, жидкий груз со свободной поверхностью всегда уменьшаетначальную остойчивость судна. Важно отметить, что поправка не зависит от объема жидкости в отсеке; она зависит от момента инерции площади свободной поверхности и воз растает с его увеличением. Эта поправка тем больше, чем больше соотношение плотностей жидкости в отсеке и забортной воды. Если груз, например разжиженный железорудный концентрат, имеет плотность, значительно большую, чем у воды, остойчивость судна может существенно снизиться даже при сравнительно небольшой площади свободной поверхности. В случае, когда жидкие грузы со свободными поверхностями имеются в нескольких отсеках или цистернах, дополнительные кренящие моменты от их переливания суммируются и суммарная поправка к метацентрической высоте равна , (34) где m— число отсеков и цистерн, имеющих свободные поверхности жидкостей, которые могут быть различными. Формула для поперечной метацентрической высоты, исправленной на влияние жидких грузов, имеет вид . (35) По аналогии с этим выражением исправленную продольную метацентрическую высоту можно определить как , (36) где . (37) Здесь i_yn — момент инерции свободной поверхности жидкости в отсеке относительно ее центральной поперечной оси, параллельной оси Oy. Для большинства надводных судов в неповрежденном состоянии поправка много меньше продольной метацентрической высоты H и в практических расчетах ее обычно не учитывают. Для снижения влияния свободных поверхностей жидких грузов на поперечную остойчивость отсек или цистерну разделяют продольными непроницаемыми переборками. Предположим для простоты, что отсек имеет в плане форму прямоугольника длиной l и шириной b (рис. 3). Момент инерции свободной поверхности жидкости относительно ее центральной продольной оси в таком отсеке равен . Тогда поправка к метацентрической высоте на влияние свободной поверхности жидкого груза согласно формуле (33) будет равна . Рис. 3. Отсек с продольной непроницаемой переборкой Установим посередине отсека продольную непроницаемую переборку. Момент инерции свободной поверхности жидкости в отсеке будет равен сумме моментов инерции двух площадей свободной поверхности шириной b/2 каждая: . Соответственно поправка к метацентрической высоте уменьшится в 4 раза. Аналогичным образом легко показать, что при установке двух продольных переборок эта поправка уменьшится в 9 раз, а при установке n переборок в (n + 1)² раз. Таким образом, разделение отсеков с жидкими грузами, имеющими свободную поверхность, непроницаемыми переборками является эффективным средством снижения влияния этих грузов на поперечную остойчивость судна. При приеме на судно жидкого груза p, координаты ЦТ которого x_p, y_p, z_p, изменение начальной остойчивости должно определяться с учетом влияния свободной поверхности. Добавляя член, учитывающий это влияние в соответствии с (33), получим , где (D + p) — сила тяжести судна после приема груза. Подставляя в правую часть этой формулы и вынося за скобку общий множитель , находим . (38) ^ МОДУЛЬ 7. ОСТОЙЧИВОСТЬ НА БОЛЬШИХ УГЛАХ КРЕНА 7.1. Определение координат центра величины и метацентра при больших наклонениях При больших углах крена метацентрические формулы остойчивости нельзя использовать, так как величина метацентрического радиуса не будет постоянной во время наклонения, а будет меняться из-за изменения момента инерции площади ватерлинии. Метацентр также будет менять свое положение в процессе наклонения. Метацентрический радиус при наклонении можно определить по формуле , (1) причем V= const, так как предполагается, что наклонения остаются равнообъемными. Вид кривой представлен на рис. 1. Рис. 1. Зависимость

«Горбы» на графике соответствуют входу палубы в воду и выходу скулы из воды, касательная при θ = 0 горизонтальна, так как при малых отклонениях от θ = 0 момент инерции площади ватерлинии меняется слабо. С помощьюрис. 2 определим координаты ЦВво время наклонения. Сначала получим выражения для бесконечно малых перемещений точки dy и dz при отклонении судна от заданного угла θ на величину dθ. В угол , тогда из этого треугольника будет и , или, учитывая, что , получим и . Если проинтегрировать эти перемещения за все время наклонения, то получится (2) Координаты метацентра будут равны

(3)

Рис. 2. Определение координат ЦТ во время наклонений ^ 7.2. Плечо статической остойчивости.Восстанавливающий момент при больших наклонениях.Диаграмма статической остойчивости Плечо статической остойчивости - это плечо пары сил веса D и плавучести ρgV(рис.6). Определить его можно, проведя перпендикуляр из точки G на направление действия силы ρgV. Обозначается величина через l , т.е. = l. Рис. 3. Положение метацентра при больших наклонениях Определим величину из дополнительных построений, которые в крупном масштабе изображены на рис. рис. 4. На этом рисунке видно, что параллельно и параллельно и . Рис. 4. Определение плеча статической остойчивости Величину можно представить как Таким образом, (4)

При выводе было использовано очевидное равенство Восстанавливающий момент будет равен . (5)

Графическое изображение зависимостииназывают диаграммой статической остойчивости (рис. 5, а, б, в), углы крена на правый борт откладываются по положительной оси ординат, а углы крена на левый борт - по отрицательной оси ординат. Зависимость - нечетная, поэтому при отрицательных углах она изображается в 3-м квадранте. Обычно изображают диаграмму статической остойчивости только в 1-м квадранте при θ> 0 . Формы диаграмм статической остойчивости могут быть различными в зависимости от формы судна и от положения центра тяжести. На рис. 5, а изображена наиболее распространенная диаграмма, напоминающая синусоиду или параболу, имеющую точку перегиба в начале координат. На рис. 5, б изображена диаграмма статической остойчивости, имеющая допол-нительныеперегибы в точкахВ и В₁. Такая диаграмма называется S –образной. На рис. 5, визображена диаграмма статической остойчивости с отрицательным начальным участком для правого борта и положительным начальным участком для левого борта. При θ = 0 судно неостойчиво (поэтому такая диаграмма называется диаграммой с отрицательной метацентри-ческой высотой), а при θ = θ₀и θ = - θ₀плечо становится положительным, вследствие чего судно плавает с начальным углом крена θ = θ₀или θ = - θ₀ . Такие диаграммы статической остойчивости бывают у аварийных судов при затоплении ряда отсеков, у судов с лесным грузом, при обледенении верхней палубы и надстроек. На всех диаграммах точка^ А характеризует максимум плеча статической остойчивости, а соответствующий угол обозначается θ_max. Точка Схарактеризует угол, при котором плечо статической остойчивости становится нулевым, т.е. судно теряет статическую остойчивость. Происходит так называемый "закат" диаграммы статической остойчивости, а соответствующий угол обозначается θ_зак и называется углом заката. Для диаграммы типа рис. 5,в в точке А₁ будет θ_min. Рис. 5. Диаграмма статической остойчивости а - при большом значении h₀; б - s-образная; в - с отрицательной метацентрической высотой

7.3. Составляющие восстанавливающего момента при больших углах крена Подобно тому, как при малых углах крена восстанавливающий момент состоял из момента остойчивости формы М_ф и момента остойчивости веса M_g, при больших углах крена также M_в = М_ф - M_g, (6) где _{(7) (8)} Первый момент зависит только от формы подводной части судна, а второй - от положения ЦТ судна. Для плеча статической остойчивости можно также записать

l_в= l_ф - l_g, (9)

где плечо остойчивости формы (10) а плечо остойчивости веса (11) ^ 7.4. Производная от плеча статической остойчивости по углу крена. Обобщенная метацентрическая высота Продифференцируем выражение поθи получим

(12)

В соответствии с (4) (13) Подставив (13) в (12), получим (14) При θ = 0 ; sin θ = 0 ;cos θ =1 ; и , (15) т.е. производная при. θ = 0 равна начальной метацентрической высоте. По аналогии с (15) обозначают , (16) причем называется обобщенной метацентрической высотой. Для обобщенной метацентри-ческой высоты справедливо равенство , т.е. при θ = 0 она обращается в начальную метацентрическую высоту. При малых углах крена начальная метацентрическая высота характеризует превышение метацентра над ЦТ, т.е. расстояние . При больших углах крена обобщенная метацентрическая высота также будет характеризовать превышение метацентра над ЦТ. Это будет расстояние (см. рис.6). На диаграмме статической остойчивости величину можно получить, проведя касательную в любой точке и отложив по горизонтальному направлению угол θ =1 рад (рис.7, а). Действительно Проведя касательную к диаграмме статической остойчивости в начале координат, т.е. при θ = 0, и отложив по горизонтали I рад, получим начальную метацентрическую высоту . Могут быть случаи, когда начальная метацентрическая высота будет близка к нулю (S-образная диаграмма статической остойчивости на рис.7,б) или будет отрицательной (диаграмма с отрицательной начальной метацентрической высотой на рис. 7,в). Рис.6.Обобщенная метацентрическая высота Рис.8. Определение начальной метацентрической высоты по даграмме статической остойчивости

^ 7.5. Интерполяционные кривые остойчивости формы В процессе эксплуатации судно может плавать с различной нагрузкой, при этом оно будет иметь различные осадки и положение ЦТ. Чтобы не повторять громоздких расчетов остойчивости на больших углах крена для каждого случая нагрузки, применяются специальные интерполяционные кривые плеч остойчивости формы. Если они заранее построены, то для любого водоизмещения V₀ можно снять l_ф(10°), l_ф(20°) и т.д., т.е. получить l_ф(θ), а затем, зная положение ЦТ, рассчитать плечи статической остойчивости по формуле . (17) Построение интерполяционных кривых производится с использованием зависимостейl_ф, рассчитанных для ряда водоизмещений, например,V₁ ,V₂ , V₃ , которые выбраны так, чтобы в интервале между V₁ иV₃ находились все возможные в процессе эксплуатации водоизмещения (рис. 10). Кривые перестраиваются в новых осях l_ф и θ (рис.9). Сняв на рис.8 значения l_ф(V₁), l_ф(V₂) и l_ф(V₃) для определенного угла крена, откладывают их на рис.9 на вертикальной линии, соответствующей каждому значению водоизмещения. Затем построения продолжают для других значений углов, и полученные точки соединяют плавными кривыми. При полном погружении судна (V=V_П- водоизмещение полностью погруженного судна) ватерлиния отсутствует, т.е.l_ф = 0, что и отражено на рис. 10. Рис.9. Зависимостиl_ф(V)для ряда водоизмещений Рис.10. Интерполяционные кривые плеч остойчивости формы Вместо интерполяционных кривых плеч остойчивости формы можно построить интерполя-ционные кривые моментов остойчивости формы M_ф =ρgVl_ф. Они изображены на рис.11. При V=0 моменты остойчивости формы также равны нулю, что иногда очень удобно, так как фактически мы имеем еще одну точку для построения интерполяционных кривых. Рис. 11. Интерполяционные кривые моментов остойчивости формы ^ МОДУЛЬ 8. ДИНАМИЧЕСКАЯ ОСТОЙЧИВОСТЬ. ПЛЕЧО ДИНАМИЧЕСКОЙ ОСТОЙЧИВОСТИ. ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ ДИАГРАММ СТАТИЧЕСКОЙ И ДИНАМИЧЕСКОЙ ОСТОЙЧИВОСТИ 8.1. Динамическая остойчивость. Плечо динамической остойчивости На судно могут действовать не только статические кренящие моменты, но и динамические, приложенные резко (качка, шквал, рывок буксирного троса и т.д.). В этом случае судно получает запас не только потенциальной энергии, но и кинетической. Вся приложенная к судну энергия должна компенсироваться работой восстанавливающего момента, т.е. судно должно обладать динамической остойчивостью, если же не компенсируется, судно будет динамически неостойчивым. Рассмотрим подробнее процесс наклонения судна. Можно считать, что в центре величины погруженной части судна приложена равнодействующая сил поддержания, поэтому точкуС можно рассматривать как точку опоры плавающего судна. Тогда работа, произведенная при наклонении, будет зависеть от изменения вертикального расстояния между центром тяжести и центром величины (точкой опоры), т.е. работа будет производиться при подъеме веса D над центром величины. Она будет равна T=Dd ,(1) где d- изменение расстояния по высоте между ЦТ и ЦВ, или иначе, плечо динамической остойчивости. С другой стороны, работу восстанавливающего момента можно определить как (2) Приравняем (1) и (2) . Тогда получим и , (3) т.е. плечо динамической остойчивости равно определенному интегралу от плеча статической остойчивости. Из формулы (3) следует, что (4) и . (5) Величину d можно получить также графически (рис. 1), если от точкиК отложить по линии величину а. Тогда расстояние будет характеризовать изменение расстояния по высоте между ЦТ и ЦВ, т. е. По построению , где . Окончательно: . (6) Если построить кривую d (θ), получится диаграмма динамической остойчивости, связанная с диаграммой статической остойчивости интегральной зависимостью (рис.2). Если на диаграмме динамической остойчивости провести при угле θ касательную к кривой d и отложитъ по горизонтали 1рад, получится плечо статической остойчивости l, соответствующее углу θ (рис.3). Рис.1. Определение плеча dграфическим путем Рис.2.Диаграммы динамической и статической остойчивости при положительной h₀ Рис.3. Определение 1(θ) по диаграмме динамической остойчивости ^ 8.2. Практические задачи, решаемые с помощью диаграмм статической и динамической остойчивости Задач, которые решаются с помощью диаграмм статической и динамической остойчивости очень много, но ввиду ограниченности времени изучения дисциплины мы приводим только основные. Для студентов, интересующихся этим вопросом, преподаватель может пореко-мендовать соответствующую литературу. ^ 8.2.1. Задачи, решаемые с помощью диаграмм статической остойчивости Предположим, что на судно действует момент М_кр, не зависящий от угла крена. На диаграмме моментов (рис. 4) он будет изображаться прямой линией, которая пересекается с кривой восстанавливающего момента M_вв точках А и В. Точки А и В являются точками статического равновесия, так как в них соблюдается равенство кренящего и восстанавливающего моментов М_кр = М_в . Рис. 4. Определение статических углов крена при действии M_кр В точке А угол θ₁ - угол устойчивого равновесия, так как, если судно вывести из положения равновесия в этой точке, увеличив, например, угол θ₁ на δθ , то, будучи предоставлено самому себе, судно под действием восстанавливающего моментавернется в прежнее положение. Если же вывести судно из положения равновесия, уменьшив угол на δθ, то оно под действием кренящего момента также вернется в прежнее положение. При этом в точкеА . (7) В точкеВ угол θ₂ характеризует положение неустойчивого равновесия, так как, если вывести судно из положения равновесия, добавивδθ, кренящий момент будет больше восстанав-ливающего, и оно будет крениться дальше, пока не опрокинется. Если же θ₂ уменьшить на величину δθ, получитсяМ_кр<М_в , и судно перейдет в положение равновесия θ₁ . В точкеВ . (8) Таким образом, только угол θ₁ будет углом статического равновесия. Его обозначают θ_ст . Если М_кр = М_max, точкиА и В сольются в точке касания, получится безразличное равновесие, которое по определению не является остойчивым. Судно может практически безопасно плавать в наклонном положении при углах, меньших θ_max, так как при углах крена, больших θ_max, всегда могут найтись такие внешние силы, которые переведут судно из положения равновесия к углу заката диаграммы, и оно опрокинется. Максимальный кренящий момент М_кр= M_max, который судно может выдерживать не опроки-дываясь называется предельным статическим кренящиммоментомM_пр.ст.Соответствующий ему угол θ_max будет предельным статическим углом крена. Разница между М_пр.ст и каким-либо статически приложенным моментом характеризует запас статической остойчивостисудна. В случае действия на судно динамически приложенного кренящего момента условием равновесия будет равенство не моментов, а равенство их работТ_кр = Т_в , или , (9) где θ_дин - угол крена, соответствующий углу динамического равновесия(рис. 5). Угол θ_динможет определяться графически из следующих соображений. Интегралы являются площадями фигур ^ ODFDEO и OACDEO, ограниченными сверху М_кр и М_в, а справа - абсциссойθ_дини характеризуют работы соответствующих моментов. Уравнивая площади этих фигур, получаемθ_дин. Можно этот угол определить и более просто. Так как дважды заштрихованная площадь OADE0 – общая, можно уравнять площади треугольников ОВА и АCD (рис. 6). Как мы видим, для одного и того же кренящего момента, но приложенного динамически или статически, динамический угол крена больше статического, т.е. θ_дин>θ_ст . Максимальный динамически приложенный кренящий момент, который еще не опрокинет судно, определяется из условия приравнивания площадей ОВА и АCD так, чтобы не осталось незаштрихованных площадей между кренящим и восстанавливающим моментами (рис. 7). Этот кренящий момент называется предельным динамическим моментом М_.пр.дин. Предельный динамический момент меньше предельного статического момента, т.е. динамически прило-женный кренящий момент опаснее статически приложенного. Разница между М_пр.дин и каким-либо динамически приложенным кренящим моментом характеризует запас динамической остойчивости. Рис. 5. Определение θ_дин Рис. 6. Определение θ_дин по упрощенной модели Рис. 7. Определение предельного динамического момента ^ 8.2.2. Задачи, решаемые с помощью диаграмм динамической остойчивости С помощью диаграммы динамической остойчивости можно решить те же задачи, что и с помощью диаграммы статической остойчивости. Особенно удобно решать задачи об определении динамического угла крена θ_дин и предельного динамического моментаМ_пр.дин. Например, если кренящий момент не зависит от θ, работа кренящего момента будет равна, , (10) т.е. Т_кр- линейная функция от θ. Кстати, если θ =1 радиан, Т_кр = М_кр, что можно использовать для построения графика Т_кр(θ) (рис. 8). Работа восстанавливающего момента равна . (11) Динамический угол крена определится в точке пересечения T_кр и Т_в .

Рис. 8. Определение θ_дин иθ_ст на диаграмме динамической остойчивости Статические углы крена определятся из равенства моментов, т.е. .(12) Следовательно, необходимо провести касательные к кривой Т_впараллельно прямой Т_кр. В точках касания будет θ₁ = θ_ст и θ₂. Предельный динамический момент М_пр.динможно определить, проведя касательную к кривой Т_в из начала координат и измеривординату на расстоянии 1 радиан от начала координат (рис. 9), а предельный статический момент - проведя касательную к кривой Т_вв точке перегибаА, соответствующей максимуму диаграммы статической остойчивости, и измерив на расстоянии 1 радиан ординату ВС, отсчитываемую от прямой АВ, параллельной оси абсцисс. Рис. 9. Определение М_пр.ст и М_пр.дин с помощью диаграммы динамической остойчивости