I замечательный предел:

□ Пусть, построим в тригонометрическом круге радиусомуголи в т.проведём касательную до пересечения её радиусом(рис. 7.2). Ясно, что выполняются неравенства для площадей, сектораи:

Рис. 7.2

Поскольку, то неравенство записывается как.

Если, то в силу равенствнеравенство сохраняетсся. Так как, то согласно теореме о промежуточной функции получим доказываемое равенство. (Справедливость параллельного переходаследует из непрерывности функции, ниже п. 8.1 ) .

Прежде чем перейти ко II замечательному пределу, дадим понятие натурального логарифма.

О: Касательной к графику функциив т.(рис. 7.3).

 

Рис. 7.3

Обозначим буквойоснованиетой логарифмической функции, для которой касательная к её графику в т.образует уголc осью(рис. 7.4).

 

Рис. 7.4

Значениеизвестно: оно лежит между 2 и 3 иобозначаютсяи именуются натуральными логарифмами.

II замечательный предел:.

□ Построим на графике, для которой. Тогда. Прии следовательно,. Используем затем равенство. Тогда.

Здесь был использован предельный переход, верность которого следует из непрерывности показательной функции (см. ниже п. 8.1) .

Следует отметить, что при замене , где, получаем другой вариант записи II замечательного предела:.

№5

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве Е и х₀ – предельная точка множества Е.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если

1. Она определена в точке х0

2. Существует конечный предел

3. Этот предел равен значению функции в точке х_0.

Иначе говоря, функция у=f(x) называется непрерывной в точке, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть

Разрывность функции

Итак, если хотя бы одно из трех условий непрерывности не выполняется, функция называется разрывной в точке х₀, а сама точка x₀-точкой разрыва. Если в точке x₀ оба односторонних предела существуют и конечны, то разрыв называется разрывом первого рода. Пусть х₀-точка разрыва первого рода, т.е.

Возможны два случая

1. f(x₀+0)=f(x₀-0)=L, но либо функция f(x) не определена в точке х₀, либо f(x₀) # L (то есть не выполнено либо первое либо третье условие непрерывности). В этом случае разрыв называется устранимым, так как если доопределить функцию в точке х₀ или переопределить ее, положив f(x₀)=L, функция f(x) станет непрерывной в точке х₀.

оба односторонних предела существуют, конечны и равны.

2. f(x₀- 0) № f(x₀+0) B этом случае разрыв называется неустранимым.

Если же хотя бы один из односторонних пределов f(x₀+0) или f(x₀-0) не существует или бесконечен, то разрыв называется разрывом второго рода. Разрыв второго рода всегда неустранимый.

Если в точке х₀ функции f(x) и g(x) непрерывны, то в этой же точке непрерывными являются и функции

Свойство нерерывности сложной функции

Если функция u=g(x) непрерывна в точке х₀ и функция y=f(u) непрерывна в точке u₀=g(x₀), то сложная функция y=f(g(x)) непрерывна в точке х₀.

Основные элементарные функции непрерывны во всех точках своей области определения.

Таким образом, всякая элементарная функция, т.е. функция, составленная из основных элементарных, с помощью конечного числа алгебраических действий и композиций, является непрерывной во всех точках своей области определения.

Функция непрерывна на отрезке, если она непрерывна во всех точках отрезка.

Рассмотрим на примере, исследуем функцию:

на непрерывность, найдем точки разрыва и их тип. Построим схематический график функции. Данная функция определена на всей числовой оси.

№35

.

опр.: Приращением функциив точке М0 с координатаминазывается выражение

опр.: частным приращением функции 2-х переменных Z=f(x,y) по Х в точке Мназывается выражение, частным приращением по у соответственно

опр.: Частной производной функции по х называется, если он существует. Частной производной функциипо у называется, если этот предел существует.

Геометрический смысл: Частная производная равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к функции с плоскостью

№36