Производные сложных функций

Пусть для функции z =(х, у) переменные х и у являются функциями переменной t х = x(t), у = y(t). Тогда функция z =(x(t), y(t)) является сложной функцией переменной t.

Т: Если функции х = x(t), у = y(t) дифференцируемы в т. t, а функция z =(х, у) дифференцируема в т. M(x(t), y(t)), то сложная функция z =(x(t), y(t)) также дифференцируема в т. t, причем

 (11.2)

Воспользуемся определением дифференцируемой функции z =(х, у), тогда

Так как

 при

то последнее слагаемое обращается в нуль. Имеем формулу (11.2)

Пример:

 

Формула (11.2) обобщается и на случай большего числа переменных. Так, для

Из формулы (11.2) следуют и формулы дифференцирования для других форм задания сложных функций (см. ОК № 11). Предположим, что

Тогда частные производныевычисляются по формулам:

В первой формуле роль переменной t играет u (производную находим, считая v = const), во второй — v, обыкновенные производные заменяются частными.

Частные производные первого порядка и их геометрическое истолкование

Пусть задана функция z = ƒ (х; у). Так как х и у — независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной х приращение Δх, сохраняя значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по х и обозначается ∆_хz. Итак,

Δ_хz=ƒ(х+Δх;у)-ƒ(х;у).

Аналогично получаем частное приращение z по у:

Δ_уz=ƒ(x;у+Δу)-ƒ(х;у).

Полное приращение Δz функции z определяется равенством

Δz = ƒ(х + Δх;у + Δу)- ƒ(х; у).

 Если существует предел

то он называется частной производной функции z = ƒ (х; у) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов:

Частные производные по х в точке М₀(х₀;у₀) обычно обозначают символами 

Аналогичноопределяется и обозначается частная производная от z=ƒ(х;у) по переменной у:

Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции ƒ(х;у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной).

 

Пример 44.1. Найти частные производные функции z = 2у + е^{х2-у +1}. Решение:

 

Геометрический смысл частных производных функции двух переменных

Графиком функции z= ƒ (х; у) является некоторая поверхность (см. п. 12.1). График функции z = ƒ (х; у₀) есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью у = у_о. Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной (см. п. 20.2), заключаем, что ƒ'x(х_о;у_о) = tg а, где а — угол между осью Ох и касательной, проведенной к кривой z = ƒ (х; у₀) в точке Мо(хо;уо; ƒ(хо;уо)) (см. рис. 208).

Аналогично, f'y (х₀;у₀)=tgβ.