ГидравликаВиВ

Частным случаем поверхности равного давления является свободная поверхность, отделяющая жидкость от окружающей среды − на ней давление равно давлению окружающей среды.

2.3. Интегрирование дифференциального уравнения равновесия

А. Случай «абсолютного» покоя

Пусть в жидкости действуют из массовых сил только силы тяжести (рис. 2.4, а).

Рис. 2.4. К интегрированию уравнения равновесия:

a – «абсолютный» покой; b –движение сосуда с ускорением ; c – вращение сосуда относительно вертикальной оси

	В этом случае	X 0,Y 0,Z g.									Уравнение равновесия имеет вид:
		gdz					1		dp 0.		(2.9)
	Интегрируем:	gz		p		C . Разделим левую и правую части на g:
						1
		z	p					C1		C.	(2.10)
			g
									g

Константу Снайдем из граничного условия: на свободной поверхности (при z=z0 ) p=p0. Следовательно,

	z0	p0	C.	(2.11)
		g

Подставив полученное выражение для С в формулу ( 2.10 ), получим:

	z	p	z0		p0	.	(2.12)
		g			g

Эту формулу называют основным законом гидростатики.

Найдем из этого выражения давление p в произвольной точке жидкости: p p0 g(z0 z). (2.13)

Из рис. 2.4, а следует, что z0 − z = h, где h − глубина погружения рассматриваемой точки. Отсюда:

p p0

gh.

(2.14)

Это выражение также называют основным законом гидростатики, поскольку оно получено из выражения (2.12). Найдем уравнение свободной поверхности для этого случая.

Подставив в формулу ( 2.8 ) X 0,Y 0,Z g , получим: gdz 0.

После интегрирования получим: z = C (уравнение горизонтальной плоскости).

Б. Прямолинейное равноускоренное движение сосуда с жидкостью

Пусть сосуд с жидкостью движется равноускоренно вдоль горизонтальной оси х с постоянным переносным ускорением а (рис. 2.4, b). Прикладываем инерционное ускорение в обратном направлении в соответствии с принципом Д’Аламбера. После этого движущийся сосуд и жидкость в нем можно рассматривать находящимися в состоянии равновесия.

Выберем связанную с сосудом систему координат так, чтобы ее начало лежало на свободной поверхности жидкости. Тогда граничным условием будет:

при x =0, y = 0, z = 0 p = p0 , где p0 − давление среды над жидкостью. Проекции единичной массовой силы будут равны: X a,Y 0,Z g.

Подставив их в уравнение равновесия (2.6), получим:
adx gdz			dp	0.	(2.15)
Сменив знак «−» на «+» и проинтегрировав, получим:
ax gz	p	C.			(2.16)

Константу С найдем из граничного условия: p0 C . Подставим ее в (2.16 ):

ax gz	p		p0
				.	(2.17)

Найдем отсюда закон изменения давления в жидкости:

p p0

ax gz .

(2.18)

Для нахождения формы свободной поверхности можно использовать уравнение поверхности равного давления (2.8); можно также найти ее непосредственно из формулы (2.18), подставив в нее p p0: p0 p0 ax gz .

Сократив на p0 , получим:	(2.19)
ax gz 0.

В этом выражении ρ ≠ 0, следовательно, ax+gz=0. Отсюда находим:

z	ax	.	(2.20)

g

Это − уравнение наклонной плоскости (рис. 2.4, b).

В. Вращательное движение сосуда с жидкостью относительно вертикальной оси

Рассмотрим жидкость, находящуюся во вращающемся сосуде (рис. 2.4, c) и вращающуюся вместе с ним с угловой скоростью ω . Начало координатной системы опять расположим в точке свободной поверхности, и граничным условием будет: при x =0, y = 0, z = 0 p = p0 .

Рассмотрим точку А, расположенную в плоскости xoz. При этом радиус вращения точки r = x. На объем жидкости, расположенный в точке А, действуют ускорение силы тяжести g и центробежное ускорение ацб .

Последнее определяется по формуле: ацб V 2 /r 2r2 /r 2r 2x. Таким образом, проекции ускорений от массовых сил на координатные

оси такие: X 2x; Y 0; Z g.

Дифференциальное уравнение равновесия получит вид:
dp ( 2xdx gdz).				(2.21)
Интегрируем:		2x2
p (			gz) C.	(2.22)
		2

Константу С определим из граничных условий : C = p0 . Вернувшись к равенству x = r , получим закон изменения давления:

p p0	gz	2	r	2	.	(2.23)
	2

Уравнение свободной поверхности получим, положив в последней формуле p = p0. Тогда

2r2						2r	2
gz			0;	z				. Это − параболоид вращения.
						2g
2

От плотности жидкости, как следует из формулы, форма свободной поверхности не зависит.

Формула для распределения давления (2.23) также справедлива, когда жидкость занимает весь объём замкнутого вращающегося сосуда.

2.4. Давление жидкости на дно и стенки сосуда

А. Вычисление сил, действующих на горизонтальное дно сосуда

При вычислении сил, действующих со стороны жидкости на любые поверхности, будем использовать основной закон гидростатики p p0 gh. Поскольку дно горизонтально, давление в жидкости у дна постоянно, и сила Р, действующая на него сверху вниз, равна P = pF = (p0 + ρgh)F. Если сосуд открыт, то p0 = pa. Силу Р можно представить как Р = Р1 + Р2 , где Р1 = р0 F,

а P2 = ρghF. Сила Р1 − результат действия на стенку атмосферного давления. Сила Р2 − результат действия на стенку давления, создаваемого самой жидкостью («давления жидкостного столба»). Сила Р1 уравновешивается такой же силой, действующей на дно снизу, и остается только сила Р2.

Как следует из приведенных формул, при одинаковой глубине дна и его

площади сила Р2 одна и та же для сосудов любой формы (рис. 2.5). Это явление называется «гидростатическим парадоксом».

Рис. 2.5. «Гидростатический парадокс»

Б. Вычисление сил, действующих на плоскую наклонную стенку

Рассмотрим сосуд с жидкостью, боковая стенка которого имеет угол наклона α (рис. 2.6). На свободной поверхности p = p0 . Пусть требуется определить силу давления на часть стенки произвольной формы. Введем систему координат и для выявления этой формы мысленно повернем стенку относительно оси оу).

На рассматриваемой части стенки с площадью F (будем называть ее плоской фигурой) выделим элемент поверхности dF. Он находится на глубине h и отстоит от оси x на расстоянии y.

Будем учитывать только силу от действия жидкостного столба, так как здесь сила, создаваемая атмосферным давлением, действует на стенку с двух сторон. На площадку dF действует сила dP2 = ρghdF, направленная нормально к стенке изнутри наружу.

Из чертежа видно, что h ysin , поэтому dP2 gysin dF . Найдем полную силу Р2:

P2	gysin dF gsin ydF gsin Sx. (2.24)
F	F

Здесь Sx ydF − статический момент плоской фигуры относительно оси x .

F

Он вычисляется по формуле: Sx ycF , где yc − координата центра тяжести плоской фигуры (на чертеже − точка с).

Окончательно получим: P2 gsin ycF ghcF pcF . (2.25) Здесь pc − избыточное давление в центре тяжести плоской фигуры.

Полная сила Р2 , действующая на фигуру, приложена к стенке в точке,

называемой центром давления (на чертеже − точка D). Координаты точек с и D не совпадают.

Для определения координаты центра давления применим теорему Вариньона: для системы, находящейся в равновесии, момент результирующей силы относительно любой точки равен сумме моментов составляющих. Момент dM одной из составляющих − силы dP2 относительно точки О равен:

dM dP	y gh dF y gy2 sin dF.	(2.26)
2

Сумма моментов от составляющих − это интеграл вида:

	M gy2 sin dF gsin y2dF gsin Ix ,					(2.27)
	F	F
	где Ix y2dF − момент инерции фигуры относительно оси x.
	F
	С другой стороны, момент результирующей (силы Р2) равен:
		M P2 yD ghcF yD.				(2.28)
	Приравняем (2.27 ) и (2.28).
		ghcF yD g sin Ix.
	Подставив hc	yc sin и сократив на ρg, получим:		Ix
	yc sin F yD sin Ix. Отсюда: yD				.	(2.29)
				ycF

Обычно для различных фигур в справочниках даются центральные моменты инерции Ix0 относительно оси x0, проходящей через центр тяжести.

Связь между Ix и Ix0 выражается формулой: Ix Ix0 yc2 F.

	Отсюда yD	yс2F		Ix0	yc	Ix0	.	(2.30)
		ycF		ycF		ycF

Из последней формулы следует, что центр давления всегда лежит ниже центра тяжести плоской фигуры. Если стенка горизонтальна, центр тяжести и центр давления совпадают.

В ряде случаев полезным является построение эпюр распределения давления на плоские стенки. Примеры эпюр давления показаны на рис. 2.7.

Рис. 2.7. Эпюры давления жидкости на плоские стенки:

а – эпюра давления от жидкостного столба на наклонную стенку; b, с, d – эпюры давления на вертикальную стенку соответственно атмосферного давления, давления жидкостного столба и суммарного давления; е – суммарная эпюра давления на вертикальную стенку при расположении жидкости по обе стороны стенки

Поскольку из основного закона гидростатики следует, что давление линейно зависит от глубины точки, эпюры получаются линейными; для их построения нужно знать давление в двух точках стенки. При построении эпюры величина давления в данной точке стенки в масштабе откладывается перпендикулярно к стенке в направлении от жидкости к стенке.

В. Вычисление силы от давления жидкости на криволинейные поверхности

В гидравлике часто встречаются криволинейные поверхности – сферические крышки резервуаров, шаровые клапаны, криволинейные стенки цилиндрических баков, цистерн и т.д.

Рассмотрим криволинейную цилиндрическую стенку (рис. 2.8, а). Будем рассматривать только силу от жидкостного столба. На глубине z

рассмотрим элементарную площадку dF. Перпендикулярно ей действует сила dP pdF gzdF . Разложим её на две − горизонтальную dPx и вертикальную

dPz. Рассмотрим вначале горизонтальную составляющую:

dPx dP cos gz dF cos .. Здесь dF cos dFyoz − проекция элементарной площадки на плоскость yoz .

Рис. 2.8. К вычислению силы от давления на криволинейную стенку:

а – схема для вычисления силы; b – схема для построения центра давления

Поэтому dPx gz dFyoz.

(2.31)

Чтобы найти Рx , надо проинтегрировать это выражение по всей плоскости − вертикальной проекции всей стенки Fyoz.

Px

gz dFyoz g zdFyoz .

(2.32)

Fyoz Fyoz

Выражение zdFyoz представляет собой статический момент вертикальной

Fyoz

проекции стенки Syoz. Он равен Fyoz∙zcyoz , где Fyoz – площадь вертикальной проекции стенки, zcyoz – глубина погружения центра тяжести этой проекции в жидкость. Окончательно получим:

P gF	yoz	zc .	(2.33)
x		yoz

Рассмотрим теперь вертикальную проекцию dPz .

dPz dP sin gz dF sin gz dFxoz.						(2.34)
Здесь z dFxoz				− элементарный цилиндрический объем жидкости dW,
находящейся выше площадки dF. Вся сила Рz равна:
Pz g	z dFxoz					(2.35)
Fxoz
Интеграл		z dFxoz выражает сумму объёмов элементарных цилиндров,
	Fxoz
из которых состоит объём жидкого тела.
Объём жидкости, расположенный между рассматриваемой стенкой
и свободной поверхностью, называется телом давления Wтд.
Итак, Pz	gWтд Gтд− вес тела давления.
Результирующая сила, действующая на стенку, определяется по формуле:
P			P2	P2	.	(2.36)
			x	z

Точка приложения силы Рx находится по формуле:

zD zcyoz	Iy	0	.	(2.37)
	zcyozFyoz

Здесь Iy0 − центральный момент инерции проекции криволинейной стенки на вертикальную плоскость.

Сила Рz приложена в центре тяжести тела давления.

Порядок нахождения равнодействующей Р∑ показан на рис. 2.8, b . Здесь точка М соответствует точке приложения силы Рx , а точка С − силы Рz . Векторы Рx и Рz пересекаются в точке D. Перенесем их начало вдоль линий действия в точку D и геометрически сложим. Так как кривизна стенки в общем случае может быть переменной, то сила Р∑ в общем случае не перпендикулярна к стенке. Она перпендикулярна, если стенка имеет форму цилиндра или шара.

Некоторые примеры нахождения тела давления показаны на рис. 2.9 для случая цилиндрической цистерны, полностью заполненной жидкостью.

Рис.2.9. Определение тела давления:

a – для поверхности AB; b − для поверхности AC; c − для поверхности ABC

2.5.Плавание тел

Плавание тел объясняется законом Архимеда, который определяет силу давления жидкости на поверхность погружённого в нее тела.

Рассмотрим тело объёмом W, полностью погруженное в жидкость

(рис. 2.10, а).

Рис. 2.10. Схема плавания тела:

a – в погруженном состоянии; b – на поверхности

Силы, действующие на тело со стороны жидкости, можно определить по формулам вычисления сил, действующих на криволинейные поверхности.

Рассмотрим вначале горизонтальные проекции (на ось x) сил,
действующих на поверхности mAn и mBn:
P	P		gF		yoz	zc .	(2.38)
x1	x2					yoz
Силы Px1 Px2, так как проекции Fyoz слева и справа одинаковы. То же
можно сказать о силах Py1				и Py2.		Таким образом, боковые силы уравновешены.
Рассмотрим вертикальные составляющие Pz1 и Pz2 сил, действующих на
поверхности AmB и AnB, разделенные экваториальной плоскостью.
Pz1 gWтд1 Gтд1;						Pz2 gWтд2 Gтд2.	(2.39)
Здесь Wтд1 и Wтд2	− объемы тел давления (рис. 2.10, а).
Так как силы Pz1		и Pz2 имеют противоположные знаки, общую силу Pz
получим из выражения:				Wтд1 g Wтд2 W Wтд2 gW .
Pz Pz2 Pz1 g Wтд2							(2.40)

Таким образом, получена формула закона Архимеда: «на погруженное в жидкость тело действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости ».

Кроме выталкивающей силы Рz , на тело действует сила его веса G. Возможны три случая соотношения между G и Pz :

G > Pz – тело тонет;

G < Pz – тело всплывает и плавает на поверхности;

G = Pz – тело плавает в погружённом состоянии.

Если тело плавает на поверхности (находится в полупогруженном состоянии), его вес уравновешен весом жидкости, вытесненной только

погруженной частью тела W , то − есть G gW .

Объём вытесненной жидкости, равный W , называется объёмным водоизмещением, а вес её – просто водоизмещением. Точка приложения выталкивающей силы называется центром водоизмещения. Он расположен в центре тяжести объема вытесненной жидкости.

Отношение объема тела, находящегося над жидкостью, к общему объему тела называется запасом плавучести n. Следовательно

n W		/W 1		/W .	(2.41)
	W		W

Судно плавает при положительных запасах плавучести.

Подводная лодка плавает в надводном положении при положительных запасах плавучести, равных ≈10÷25%. Принимая балласт, она приобретает нулевую плавучесть до тех пор, пока её вес не станет равным весу вытесненной воды. Дальше (под водой) она может менять глубину на ходу с помощью рулей.

В применении к судам грузовой ватерлинией называется линия пересечения поверхности воды с боковой поверхностью плавающего судна в нормальном положении (без крена) и при полной нагрузке.

Прямая, проведенная через центр тяжести плавающего тела и центр водоизмещения, называется осью плавания.

Остойчивостью плавающего тела называется его способность возвращаться в исходное положение при отклонении оси плавания от вертикального положения.

Рассмотрим несколько случаев плавания тел в погружённом и полупогруженном состоянии (рис. 2.11).

Для равновесия тела необходимо не только равенство Pz и G, но и их положение на одной вертикальной прямой.

При плавании в погруженном состоянии если центр тяжести С ниже центра водоизмещения В (рис. 2.11, а), то тело остойчиво – при случайном отклонении от положения равновесия оно стремится вернуться в исходное положение, так как пара сил создает восстанавливающий момент.

Рис.2.11. Остойчивость плавающего тела:

a, b, c – погруженное состояние; d – полупогруженное состояние

Если центр тяжести С выше центра водоизмещения В (рис. 2.11, b), то

тело неостойчиво – пара сил создаёт опрокидывающий момент. При совпадении точек В и С равновесие безразличное.

При плавании в полупогруженном состоянии условие остойчивости – расположение центра тяжести ниже центра водоизмещения – остается в силе. Однако остойчивость может сохраняться и при расположении центра тяжести выше центра водоизмещения (рис. 2.11, d). При наклоне судна справа увеличился объем погруженной части и выталкивающая сила увеличилась; слева вышел из воды такой же объем, и выталкивающая сила уменьшилась. Центр водоизмещения смещается из точки В в точку В . Выталкивающая сила и вес образуют пару сил, создающую восстанавливающий момент. Точка пересечения М выталкивающей силы с осью плавания называется

метацентром; расстояние ВМ − метацентрическим радиусом ρ (по дуге с этим радиусом перемещается точка В); расстояние МС − метацентрической высотой hM . Можно доказать, что судно остойчиво при соблюдении условия:

	hM	Iпл			a 0.	(2.42)
		W

Здесь Iпл − момент инерции плоскости плавания относительно продольной оси симметрии судна.

У современных судов величина hM составляет 0,3…1,5 м.

2. КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ

Основная задача гидромеханики – изучение движущейся жидкости. Она при этом рассматривается как сплошная среда, без разрывов и пустот. Основными параметрами движения являются давление и скорость. Давление в движущейся жидкости называется гидродинамическим. В идеальной жидкости величина гидродинамического давления в точке, как и у

гидростатического, не зависит от направления и является скалярной величиной. В вязкой жидкости из-за влияния касательных напряжений px py pz .

Однако, в гидромеханике доказывается, что сумма px py pz в данной

точке постоянна и не зависит от направления; поэтому полагают, что гидродинамическое давление в точке равно среднему из проекций на координатные оси и представляет собой также скалярную величину, то - есть p px py pz /3. Если параметры движения − функции только координат

точки, то - есть если p f1(x, y, z),u f2(x, y,z), движение называется установившимся. Если p f1(x, y,z,t),u f2(x, y,z,t) (p и u зависят еще от времени), движение называется неустановившимся. Поскольку жидкость – непрерывная среда, функции p и u также непрерывны.

Кинематика изучает законы изменения скорости u f2(x, y,z,t) ; общие же закономерности изменения давления и скорости изучает гидродинамика.