ГидравликаВиВ

проверяем условие неразрывности: ux uy a a 0;

x

y

проверяем условие потенциальности:

ay;

2

0;

ax;

2

0;

2

2

0;

x

x2

x2

y2

y

y2

C

находим уравнение линий тока по функции тока: axy C;

y

.

ax

Получаем семейство гипербол (рис. 3.6, с ). Такое течение возникает при обтекании потоком жидкости перпендикулярной преграды.

4.ГИДРОДИНАМИКА

4.1.Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости

Выделим в движущейся идеальной (невязкой) жидкости элементарный объем в виде параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz (рис. 4.1).

На выделенный элемент действует массовая сила dRm и поверхностные силы давления, направленные нормально к граням внутрь объема. Касательные поверхностные силы (силы трения) отсутствуют, так как жидкость

невязкая. Элемент движется с ускорением du . Его объем равен dxdydz, а масса dt

dm dxdydz. Составим уравнение движения в проекции на ось х. Будем считать, что по бесконечно малой площадке давление распределено равномерно и равно среднему давлению (давлению в центре грани). На грань ABCD действует давление p и вызванная им сила dP1x pdydz . На грань A B C D

		p			p
	действует давление p		dx. Оно создает силу dP	p		dx dydz,
		x			x
			2x

направленную противоположно оси x.

Единичная массовая сила, действующая в жидкости, имеет составляющие

X,Y,Z. Проекция массовой силы dRm на ось х будет равна dxdydzX .
Итак, уравнение движения в проекции на ось х запишется в виде:
pdydz (p	p	dx)dydz X dxdydz dxdydz	dux	.	(4.1)
	x
			dt

Открыв скобки, сократив на не равное нулю произведение dxdydz и разделив

на ρ, получим: X 1 p dux . Аналогично выглядят проекции уравнения

x dt

равновесия на другие оси. В итоге получим систему дифференциальных уравнений движения (уравнений Эйлера), имеющую вид:

X

1 p

du

x

Y

1

p

duy

Z

1

p

du

z

;

;

.

(4.2)

x

dt

y

dt

z

dt

Для решения этой системы сведём её к одному уравнению. Для этого умножим первое на dx, второе на dy, третье на dz и сложим все три уравнения:

1

p

p

p

du

x

duy

du

z

Xdx Ydy Zdz

(

dx

dy

dz)

dx

dy

dz.. (4.3)

x

y

z

dt

dt

dt

Рассмотрим установившееся движение. Тогда выражение в скобках является полным дифференциалом функции p f (x, y,z), то есть dp .

			Рассмотрим отдельно правую часть уравнения (4.3).
dux			dx	duy		dy		duz	dz uxdux uyduy uzduz									1	d ux	2	1	d uy2
				dt
dt								dt									2			2
	1	d uz		2		1	d ux2 uy2 uz			2			1	d u2 .
2					2					2
			Таким образом, из (4.3) получим:
							Xdx Ydy Zdz				dp				1	d u2 .				(4.4)
											2

Полученное выражение является дифференциальным уравнением движения идеальной жидкости.

Пусть из массовых сил на элемент объема действует только сила тяжести. Тогда X Y 0,Z g. Подставим это в (4.4).

gdz dp 1 d u2 .

2

Перенесем правую часть влево					и сменим знаки «минус» на «плюс»:
gdz	dp		1	d u2 0	.	(4.5)

Интегрируя

gz

2

(4.5), получим:

p

u2

p

u2

C

C или

z

1

C .

(4.6)

2

1

g

2g

g

Полученное общее решение называется интегралом Бернулли.

Так как бесконечно малый объем движется вдоль линии тока, то во всех живых сечениях элементарной струйки сумма трех слагаемых левой

части выражения (4.6) является постоянной величиной. Для любых двух сечений с индексами 1 и 2 можно записать:

	p		u	2				p	2		u	2	2
z	1			1	z	2								.	(4.7)
			2g
1	g							g			2g

Это уравнение называется уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости.

Элементарная струйка с параметрами в сечениях 1 и 2 показана на рис. 4.2, а.

Рис.4.2. К уравнению Бернулли:

а – схема элементарной струйки ; b – к геометрическому толкованию

Энергетическое толкование уравнения Бернулли. Удельной энергией Еуд

(напором) называется энергия жидкости, отнесенная к единице веса, или Еуд = Е / G .Поскольку Е измеряется в Дж (Н∙м), то размерность Еуд равна м. Так как все слагаемые уравнения Бернулли имеют размерность м, каждое из них представляет собой некоторую удельную энергию: z – удельную

потенциальную энергию положения, p/ρg – удельную потенциальную энергию давления, u2 /2g – удельную кинетическую энергию. Поэтому уравнение Бернулли − это закон сохранения удельной энергии и формулируется так:

В любом сечении элементарной струйки идеальной жидкости сумма удельной потенциальной и кинетической энергии – величина постоянная.

Геометрическое толкование уравнения Бернулли. Поскольку все слагаемые уравнения Бернулли имеют размерность м, их величину можно откладывать на графике в определенном масштабе. Величина z называется геодезической высотой, p/ρg − пьезометрической высотой, сумма z + p/ρg – потенциальным напором Нр , u2 /2g – скоростной высотой (скоростным напором), сумма

z + p/ρg+ u2 /2g – полным напором Н.

На рис. 4.2, b показаны графики изменения этих величин вдоль элементарной струйки идеальной жидкости: с – геодезической высоты, d – потенциального напора, е – полного напора. Вместо плоскости x0y рисуют ее след – горизонтальную линию 0 − 0. Она называется плоскостью сравнения.

Линия полного напора при движении вдоль элементарной струйки идеальной жидкости – горизонтальная прямая. В этом и заключается геометрическое толкование уравнения Бернулли.

В реальной (вязкой) жидкости вследствие трения между соседними струйками, имеющими различные скорости, происходит выделение тепла и его передача в окружающую среду (диссипация энергии). Поэтому напор в сечении струйки, расположенном ниже по течению, будет меньше, чем в вышележащем. Уравнение Бернулли записывается в следующем виде:

	p		u	2				p	2		u	2
z	1			1	z	2						2	h	w	.	(4.8)
											2g
1	g 2g							g

Здесь hw – гидравлические потери.

4.2. Уравнение Бернулли для потока жидкости

Рассмотрим установившееся движение плавно изменяющегося потока вязкой несжимаемой жидкости (рис. 4.3). Считаем, что температура потока не изменяется вследствие тепловых процессов (поток изотермический).

Прежде всего рассмотрим, как изменяется давление по сечению потока. Для простоты возьмем сечение ω1, расположенное горизонтально.

Запишем систему дифференциальных уравнений движения для идеальной жидкости:

X

1 p

du

x

Y

1

p

duy

Z

1

p

du

z

;

;

.

x

dt

y

dt

z

dt

Так как скорости u в этом сечении параллельны оси х, то

	uy uz 0;	duy		duz	0.
		dt		dt

Тогда система дифференциальных уравнений перепишется в виде:

X

1

p

dux

;

Y

1

p

0;

Z

1

p

0.

x dt

y

z

Последние два уравнения описывают изменение давления в плоскости x0y и полностью совпадают с соответствующими уравнениями равновесия (2.4).

Следовательно, в плоскости x0y (в плоскости живого сечения потока) давление распределяется по закону гидростатики (2.10):

z	p	const.	(4.9)
	g

Энергия dE жидкости, протекающей через живое сечение элементарной струйки за единицу времени, равна:

p

u2

dE dmgH dWgH dQ gH g z

dQ.

(4.10)

g

2g

Чтобы получить полную энергию всего потока, нужно просуммировать

(проинтегрировать) энергию всех струек, проходящих через сечение ω:

p

u

2

p

u

2

E

g

z

dQ g

z

dQ g

dQ.

(4.11)

g 2g

g

2g

Для двух сечений потока уравнение сохранения полной энергии

(в случае, если бы жидкость была идеальной) имеет вид:

p

u

2

p

2

u

2

g

z

1

dQ g

1

dQ g

z

dQ g

2

dQ. (4.12)

2

1

2g

2g

g

1

2

g

2

1

Гидравлические потери удельной энергии струйки равны hw . Потери полной энергии учтем, считая, что hw − средние потери напора в сечении (одинаковые для всех струек). Тогда гидравлические потери полной энергии потока равны gQhw . С учетом этого выражение (4.12) примет вид:

				p			u	2						p	2			u	2	2
g	z			1	dQ g		1		dQ g		z					dQ g					dQ gQh		.
												2										w
		1					2g											2g
				g		1				2				g			2
	1

Это выражение называется уравнением энергии потока вязкой жидкости в интегральной форме.

Так как для сечений 1 и 2 справедливо выражение (4.9), то первый интеграл в левой и правой части можно переписать в виде:

			p			p				p
g		z		dQ g z					dQ g z		Q.
			g			g				g

Второй интеграл можно преобразовать следующим образом:

g	u2	dQ g	u2	ud g	u	3d
							.
	2g		2g
						2g

Тогда уравнение энергии в интегральной форме примет вид:

p

u3d

p

2

u

3d

g z

1

Q

g

g z

2

Q g

gQh

w

.

(4.13)

1

g

2g

g

2g

2

1

Перейдем снова к удельной энергии, разделив уравнение (4.13) на ρgQ.

p

1 u3d

p

2

1

u3d

z1

1

z2

hw

(4.14)

g

Q

2g

g

Q

2g

1

2

Учтя, что Q V1 1 V2 2, и умножив/разделив третье слагаемое в левой и правой части этого выражения соответственно на V12 и V22, получим:

p

1

V 2

u3d

p

2

1

V

2

u3d

z1

1

1

1

z2

2

2

hw .

g

V1 1

V12

2g

g

V2 2

V22

2g

Введем обозначения:

u3d

u3d

1

1

;

2

2

.

(4.15)

V13 1

V2

3 2

Коэффициенты α1

и α2

учитывают влияние формы эпюры скоростей

на удельную кинетическую энергию потока и называются коэффициентами Кориолиса. С учетом этого выражение (4.15) примет вид:

	p		V	2				p	2			2	V	2	2
z	1		1 1		z	2										h	w	.	(4.16)
												2g
1	g		2g					g

Это выражение носит название уравнения Бернулли для потока вязкой жидкости и широко применяется в расчетах установившегося движения.

4.3. Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости

Рассмотрим элементарный объем движущейся вязкой жидкости. Считаем ее плотность и вязкость постоянными. На этот объем действуют массовая сила

dRm и поверхностные силы, вызванные как давлением, так и силами трения. На гранях объема действуют, кроме нормальных, касательные напряжения.

Виндексации напряжений первый индекс − обозначение оси, перпендикулярной к данной плоскости, второй − оси, вдоль которой направлено напряжение. На гранях, примыкающих к точке С, напряжения не имеют верхнего индекса; на гранях, примыкающих к точке В´, напряжения имеют верхний индекс «´».

Вмеханике сплошных сред доказывается, что касательные напряжения на

гранях объема подчиняются закону парности: xz zx; xy yx; zy yz ;

xz zx; xy yx; zy yz .

Рассмотрим грань АВСD (рис. 4.4, а.). Поскольку направления осей x,y,z выбраны произвольно, сила трения dT , отнесенная к площади грани, в общем случае направлена произвольно и раскладывается на проекции pxx , xz , xy .

На противоположной плоскости А´B´C´D´ напряжения от аналогичной

p

yx

силы составляют: pxx

pxx

dx; zx

zx

dz; yx

yx

dy.

x

z

y

Запишем силы, действующие вдоль оси х :массовая сила: dRmx dxdydzX ;

сила инерции dF	dxdydz	dux	;
ин		dt
				p		p
силы давления: dP1x dP2x		p p			dx dydz dxdydz		.
				x
						x

сила вязкости: dFтрх pxx pxx dydz yx yx dxdz zx zx dxdy

	pxx			yx		zx
								dxdydz.	(4.17)
	x		y			z

Рис. 4.4. К выводу уравнений движения вязкой жидкости

В соответствии с гипотезой Ньютона запишем: yx

ux

; zx

ux

.

y

z

Допустим, что рхх

изменяется по такому же закону, то – есть pxx

ux

.

x

yx

2u

2u

2u

Тогда

x

;

zx

x

;

p

xx

x

.

y

y2

z

z2

x

x2

C учетом этого

2u

x

2u

x

2u

x

dF

dxdydz .

2

2

трx

x

y

z

2

Оператор

2

2

2

называется оператором Лапласа.

x2

y

2

z2

Поэтому последнее выражение можно записать как dFтрx uxdxdydz.

Записываем все проекции на ось х (силу трения dFтрх берем со знаком

«минус», как препятствующую движению):

dRmx dP1x dP2x dFтрх dm dux или dt

	p		dux
dxdydzX dxdydz		uxdxdydz dxdydz		.
			dt
	x

Разделив последнее выражение на ρ и сократив на dxdydz, получим окончательное выражение для уравнения движения в проекции на ось х и аналогичные выражения для двух других осей:

1

p

dux

X

ux

;

(4.18)

dt

x

1

p

duy

Y

uy

;

(4.19)

dt

y

1

p

duz

Z

uz

.

(4.20)

dt

z

Эти уравнения называются уравнениями Навье − Стокса.

В них содержится четыре неизвестных функции : p , ux , uy , uz . Для замыкания системы к ним необходимо добавить уравнение неразрывности (3.7):

ux uy uz 0.x y z

Рассмотрим правую часть уравнений Навье−Стокса, например, проекцию на ось x:

dux

ux

dt

ux

dx

ux

dy

ux

dz

ux

ux

ux

uy

ux

dt

t

x

y

z

t

x

y

dt

dt

dt

dt

uz uxz .

Производная ux / t выражает изменение скорости ux по времени в некоторой фиксированной точке и называется локальной производной.

Остальные слагаемые правой части выражают изменение ux при перемещении частицы жидкости из одной точки пространства в другую и называются

конвективными составляющими.

uxux

uxuy

uxuz

ux

ux

ux

ux

ux

uy

uy

ux

x

y

z

x

x

y

y

u

x

u

z

u

x

u

x

u

x

u

x

uy

u

z

u

z

u

x

u

x

u

y

u

z

u

.

z

z

x

y

z

x

x

y

z

Здесь подчеркнутые слагаемые объединены скобками.

Сумма в скобках равна нулю; поэтому формула для dux / dtпримет вид:

dux		ux			uxux			uxuy			uxuz .
dt		t
				x			y			z

С учетом проведенных преобразований система уравнений Навье – Стокса примет следующий вид:

X

1

p

ux

ux

x

t

Y

1

p

uy

uy

y

t

Z1 p uz uz

z t

x uxux

uyuxx

x uzux

uxuy uxuz ;

y z

		uyuy					uyuz ;
y					z
	uzuy					uzuz .
y				z

4.3.1. Решение системы уравнений Навье – Стокса

Решение этой системы представляет собой весьма сложную математическую задачу и возможно лишь для ограниченного ряда простых случаев (установившееся одномерное движение в поле одной массовой силы – веса и т.д.). В настоящее время широко применяются численные методы решения уравнений Навье – Стокса с применением ЭВМ.

В задачах динамики вязких жидкостей наиболее распространен метод конечных разностей, заключающийся в следующем:

1.Область непрерывного изменения аргумента заменяется дискретной, состоящей из отдельных точек (узлов). Расстояния между узлами называют шагами. Совокупность узлов составляет сетку.

2.Производится приближенная замена (аппроксимация) дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий их разностными аналогами. Например, производная du/ dx может быть выражена как (ui 1 ui )/ x

или другим, более сложным выражением ( 3ui 4ui 1 ui 2 )/ 2 x. Здесь ui , ui 1, ui 2 − значения функции u в соответствующих точках.

Содержание первых двух этапов составляет дискретизацию задачи.

3. В качестве приближенного решения дифференциальной задачи принимается решение соответствующей разностной задачи − сеточная функция в виде одно - или многомерной таблицы.

Разностная схема и ее решение зависят от шагов сетки, как от параметров. Аппроксимирующая схема должна обладать сходимостью и устойчивостью (погрешности задания начальных и граничных условий, а также погрешности округления при вычислительных операциях не должны нарастать).

Видам аппроксимирущих функций для различных задач гидродинамики и построению разностных схем посвящена обширная литература; ее обзор и некоторые примеры решения уравнений Навье−Стокса приведены в [5].

Начальные и граничные условия определяют значения скорости и давления в расчетной области соответственно в момент времени t 0 и на границах области при t 0. Эти условия зависят от вида решаемой задачи. Для двумерных (плоских, осесимметричных) течений обычно используются следующие граничные условия (через u и w здесь обозначаются проекции

скорости соответственно на					продольную		и поперечную оси, через n–
направление нормали к твердой поверхности):
на входе в расчетную область:						u u0; w 0; p p0;		на оси (плоскости)
симметрии:	p		u	w 0;	на	твердой	поверхности:	u w	p	0; на
	n
			n						n

выходе из расчетной области: 2u 2w 2 p 0.

n2 n2 n2

Используемые численные методы классифицируют по ряду признаков. Так, существуют методы расчета нестационарных и стационарных течений.

Впервом случае главной независимой переменной берется время t и расчет производится на каждом временном слое. Для установившихся течений в качестве такой переменной принимается одна из координат, называемая маршевой. Наконец, бывают методы расчета в естественных (скорость – давление) и преобразованных (завихренность – функция тока) переменных. К первым относятся полунеявные методы: искусственной сжимаемости, метод маркеров и ячеек, SIMPLE-подобные алгоритмы. Во втором случае уравнения движения, преобразованные путем дифференцирования и последующего сложения явным или неявным образом решаются на различных конечноразностных сетках.

Неявные методы являются безусловно устойчивыми. Достоверность решения по явным и частично неявным алгоритмам достигается соблюдением одного или нескольких условий устойчивости.

Вкачестве примера рассмотрим широко используемый в расчетах установившихся течений метод искусственной сжимаемости. Он реализуется в естественных переменных. При этом используют шахматную сетку, когда расчет проекций скорости и давления ведется в разных узлах. Физическая область в координатах x и z покрывается сетками (рис.4.5):

Рис. 4.5. Шахматная сетка для алгоритмов, реализуемых в естественных переменных

для вычисления давления 1 xi ,zj;i 1,2,...,N; j 1,2,...M ;