ГидравликаВиВ

	для расчета проекции скорости u 2							;
		x		1 ,zj ;i 1,2,...,N; j 1,2,...M
			i
			2
	для расчета проекции скорости w 2
		xi ,y				1	;i 1,2,...,N; j 1,2,...M .
					j
						2

В методе искусственной сжимаемости давление рассчитывается неявно из уравнения неразрывности при аддитивном введении в последнее производной от давления по фиктивному времени:

	p	c2		u		w
							0.
	t			x		y

В конечноразностном представлении оно будет выглядеть следующим образом:

un 1

un 1

wn 1

wn 1

n 1

n

i

1

,j

i

1

,j

i, j

1

i, j

1

2

pi,j

pi,j

c2

2

2

2

0.

t

x

y

Здесь проекции скорости на новом временном слое рассчитываются явно из уравнений движения; n – номер временного шага.

n 1

n

uw n

1

1

uw n

1

ui

1

, j

ui

1

, j

un

2 un

2

i

, j

i

1

, j

1

pn

pn

2

2

i 1, j

i, j

2

2

2

2

i 1, j

i,j

x

y

x

t

un

3

2un 1

un 1

un

1

2un 1

un 1

i

,j

i

, j

i

, j

i

, j 1

i

,j

i

,j 1

2

2

2

2

2

2

,

x2

y2

uw n

uw n

wn 1

1

un

1

1

1

2

2

i,j

i,j

1

i

1

,j

i

, j

wn

wn

1

pn

pn

2

2

2

2

2

2

i, j 1

i,j

i, j 1

i,j

t

x

y

y

wn

1 2wn

1

wn

1

wn

3

2wn

1

wn

1

i 1, j

i,j

i 1,j

i, j

i, j

i, j

2

2

2

2

2

2

.

x2

y2

Слагаемые в конечноразностных представлениях конвективных производных определяются, например, так:

			1									uw n					1
	un			un				un	1		,							un				un			wn			wn	1	.
	i 1,j	2			i	3	,j	i		,j		i	1	,j	1	4			i	1	,j	i	1	, j 1		i, j	1	i 1,j
					2				2			2 2							2			2				2			2

Результаты расчетов по указанной методике приведены на рис. 4.6.

Рис. 4.6. Результаты расчета: a – поле скоростей; b – линии тока.

4.4. Гидравлические устройства, основанные на применении уравнения Бернулли

Расходомер Вентури служит для измерения расхода жидкости в трубопроводах и представляет собой плавное сужающее устройство, монтируемое как врезка в трубопровод (рис. 4.7, а). К широкому сечению трубки Вентури площадью ω1 и узкому площадью ω2 присоединены трубки дифференциального манометра ДМ, измеряющего разность давлений р в этих сечениях.

Рис. 4.7. Гидравлические устройства, основанные на применении уравнения Бернулли: а – расходомер Вентури; b – трубка Пито−Прандтля; с− эжекционный насос

Запишем уравнение Бернулли для сечений 1−1 и 2−2 (плоскость сравнения 0 − 0, z1 = z2 = 0, гидравлическими потерями пренебрегаем):

	p		V	2		p	2			2	V	2
	1		1 1									2	.					(4.21)
			2g
	g					g				2g
Так как по уравнению постоянства расхода V														V				, то V V			2	.
												1 1			2		2	1	2		1

Подставив это в (4.21) и сократив на g, получим:

	p p		2					2		2 V		2
	1											2	.	(4.22)
					2	1	1					2
Обозначив p p1		p2, из (4.22) найдем V2 :

V									1																		2 p							.
2																	2													ρ
															2
						2
									1				1
Найдем расход:
															2
Q V2 2																																				2 p	.
																																				ρ
																										2					2
												2
																	1						1
Введем сюда коэффициент μ , учитывающий уменьшение расхода из-за
гидравлических потерь, и окончательно получим: Q C																																								, где
																																							p
							2
C																									2						− постоянная прибора.
																									ρ
														2		2
					2
									1		1
Таким образом, расходомер Вентури измеряет расход через определение
перепада давлений					р.

Трубка Пито − Прандтля (рис. 4.7, b) предназначена для измерения местной жидкости или газа в каналах, а также для измерения скорости движения тела относительно неподвижной жидкости (газа) – например, скорости судна или самолета.

Она состоит из пустотелого обтекаемого корпуса 3 с отверстиями на боковой поверхности. В корпусе помещается приемник полного давления − трубка 4, направленная своим отверстием навстречу набегающему потоку.

Обозначим параметры невозмущенного потока (параметры на таком расстоянии от носика трубки , при котором не наблюдается влияние самой трубки на поток) через р ,u . Рассмотрим элементарную струйку, текущую по оси трубки. Сечение 1−1 соответствует параметрам невозмущенного потока, сечение 2−2 – месту встречи струйки с входом в приемник полного давления.

Составим уравнение Бернулли для сечений струйки 1−1 и 2−2, считая ее идеальной (пренебрегая гидравлическими потерями). Скорость в сечении 2−2 равна нулю, так как струйка тормозится, ударяясь в неподвижную жидкость, заполняющую трубку 4; z1 = z2 = 0.

p		u	2		p2	.	(4.23)

g 2g g

Опыты показывают, что в полости А трубки устанавливается давление,

весьма близкое к давлению невозмущенного потока p . Поэтому она называется приемником статического давления.

Из формулы (4.23) легко получить:

u

2 p/ , где p p2

p .

(4.24)

Величина перепада давлений р измеряется дифференциальным манометром. Эжекционный насос (элеватор) состоит из трубки 1, имеющей на конце плавное сужение, камеры смешения 2 и постепенно расширяющейся трубки 4, входное отверстие которой расположено на небольшом расстояния от выхода

из трубки 1 в камере 2 (рис. 4.7, с). По трубке 1 в камеру смешения подается расход несущей жидкости Q1. Из-за сужения трубки 1 скорость в ее выходном сечении растет, а давление (в соответствии с уравнением Бернулли) падает.

Одновременно давление падает во всей полости В. Благодаря этому жидкость из водоема, резервуара или другой трубы, где давление меньше давления в камере 2, засасывается в нее по трубке 3 с расходом Q2. В полости В происходит слияние и перемешивание потоков; суммарный поток с расходом Q1 + Q2 выходит по трубке 4 и движется далее по трубопроводу.

4.5. Кавитация

Кавитация – явление , возникающее в жидкости при больших скоростях движения, а, следовательно, при малых давлениях.

Рассмотрим движение жидкости по трубопроводу (рис. 4.8).

Запишем уравнение Бернулли для сечений 1−1 и 2−2 потока реальной жидкости. Скоростью в баке пренебрегаем (V1 =0), z1 = h, p1 =p0 , z2 =0.

h	p0		p2		2V2	2	hw.	(4.25)
	g		g		2g

Отсюда найдем V2 :

			2g		p0 p2
V	2			h		h	.	(4.26)
		2			g		w

Из формулы (4.26) видно, что скорость V2 увеличивается с уменьшением давления. Она будет максимальной при минимально возможном давлении.

Для жидкости это давление насыщенного пара рнп . Потому V2max можно найти из (4.26), подставив в нее p2 pнп:

	max		2g		p	0	p	нп
V				h					h	.	(4.27)
	2
		2					g			w

При достижении средней скорости потока V2max (например, за счет выбора слишком малого диаметра трубопровода или установки в трубопроводе сужающего устройства с очень малым проходным сечением) и понижении давления до p2 pнп в жидкости наступает кипение − выделение пузырьков пара по всему объему. Поток превращается в двухфазный (пар + жидкость), сплошность его нарушается. Этот процесс и называется кавитацией.

Кавитация полностью нарушает процесс транспортировки жидкости. Она развивается постепенно, в несколько стадий (рис. 4.9, a , b, c). Вначале выделяются пузырьки пара (а); они всплывают и объединяются в более крупные пузыри (b); далее происходит образование обширных объемов пара − паровых каверн (с).

Помимо нарушения процесса транспортировки кавитация вредна еще тем, что вызывает повышенный износ материалов − «кавитационную коррозию».

Предположим, что кавитационный поток с паровой каверной попадает в расширяющуюся часть трубопровода − сечение 1−1 (рис. 4.9, d).

Рис.4.9. Стадии кавитации

Поскольку скорость уменьшается, давление становится больше рнп ; кипение быстро прекращается. Пар в каверне мгновенно конденсируется; образующаяся жидкость оседает на стенке и впитывается окружающей жидкостью. Поскольку объем конденсата во много раз меньше объема каверны, в ней возникает пустое пространство, в которое с большой скоростью устремляется окружающая жидкость. При соударении движущейся жидкостью со стенкой возникает резкое местное повышение давления (гидравлический удар). Этот процесс называется «схлопыванием» каверны. Такой же процесс схлопывания происходит в отдельных пузырьках пара, касающихся стенки. Многократно повторяющиеся гидравлические удары вызывают откол мельчайших частиц металла и в итоге − кавитационную коррозию.

Особенно опасна кавитационная коррозия в элементах гидроарматуры (где поток жидкости проходит через узкие щели и малые проходные сечения), гидромашинах с быстровращающимися роторами (центробежных насосах, гидротурбинах), в судовых винтах.

Меры борьбы с кавитацией: недопущение высоких скоростей жидкости в трубопроводах; повышение рабочего давления в гидросистемах (например, применение наддува баков сжатым воздухом); недопущение превышения точки расположения всасывающего отверстия центробежного насоса выше допустимого значения; применение кавитационностойких материалов.

4.6. Уравнение моментов количества движения

Рассмотрим тело массой m, движущееся со скоростью V (рис. 4.10, а). Расстояние от точки А, где находится тело, до какой-то точки 0 равно r; проекция количества движения тела на направление, перпендикулярное r,

равно mV cos . Моментом количества движения этого тела L называется произведение L mV cos r.

В теоретической механике твердого тела существует теорема о моменте количества движения: изменение момента количества движения dL,

отнесенное к промежутку времени dt, равно моменту равнодействующей сил, действующих на тело.

Рис. 4.10. К уравнению моментов количества движения

Применим эту теорему к установившемуся потоку жидкости в равномерно вращающемся канале (рис. 4.10, b).

Контрольные сечения А и В ограничивают объем жидкости в канале. Обозначим v – окружную скорость сечения (переносную скорость), u – скорость жидкости в канале (относительную скорость), w – абсолютную скорость жидкости, получающуюся геометрическим сложением векторов u и v. Плечи вращения сечений А и В равны радиусам r2 и r1; угол между векторами w и v (последний перпендикулярен радиусу) обозначен через α.

Индексы 1 соответствуют сечению В, индексы 2 – сечению А.

За время dt жидкость из сечения A переместилась в сечение A , а из сечения B в сечение B . Объем между сечениями A и B входит как начальное, так и в конечное положение выделенного объема. Потому можно считать, что он остался на месте, а объем BB перешел в положение AA . Движение в канале установившееся, поэтому Q 1u1 2u2.

Масса жидкости в объемах AA и BB одинакова и равна Qdt . Отсюда изменение количества движения равно:

dL Qdt w2 cos 2 r2 Qdt w1 cos 1 r1.

Обозначим через М момент от всех сил, действующих на жидкость − силы, с которой стенки канала действуют на жидкость в нем, сил давления и трения на поверхностях А и В, сил тяжести, центробежных переносных сил, Кориолисовых инерционных сил.

В соответствии с теоремой о моменте количестве движения можно записать:

dL	Q(w	2	cos	2	r	w cos	1	r ) M .	(4.28)
dt					2	1		1

Эта формула применяется в теории лопастных гидромашин, в частности, центробежных насосов.

4.7. Общие сведения о гидравлических потерях

Гидравлические потери делятся на путевые и местные.

Путевые потери вызываются силами внутреннего трения между слоями жидкости, движущимися с различными скоростями. Они вычисляются по формуле Дарси:

h	L		V 2	, м,	(4.29)
п	d		2g

где L − длина трубопровода, d − его внутренний диаметр, V2/2g − скоростной напор, вычисленный по средней скорости, λ − безразмерный коэффициент сопротивления трения.

Местные потери возникают в отдельных местах изменения формы и размеров канала (так называемых местных сопротивлениях), влекущих за собой изменение формы потока (внезапное расширение, внезапное сужение, поворот, наличие клапана, крана, задвижки и т.д.). Это, в свою очередь, вызывает изменение скоростной структуры потока. В этих местах возникает отрыв его от стенок и образуются вихри, в которых частицы жидкости движутся по замкнутым или близким к ним кривым. Образование вихрей в местном сопротивлении − перегородке с небольшим отверстием в трубопроводе (дроссельной шайбе) показано на рис. 4.11, а; при внезапном сужении трубопровода − на рис. 4.11, b, при резком повороте трубопровода − на рис. 4.11, с.

Рис.4.11. Местные потери в трубопроводе

На создание и поддержание вихрей затрачивается энергия, которая отбирается от движущегося потока. Поэтому при прохождении через местное сопротивление напор потока падает. Таким образом, местные потери − это потери на вихреобразование. Их величина определяется по формуле Вейсбаха:

	h		V2	, м.	(4.30)
			2g
	м

Здесь ζ − безразмерный коэффициент местного сопротивления, величина которого зависит от вида местного сопротивления.

4.8. Режимы течения

Движение жидкости может происходить, как впервые отметил Г.Хаген (1869 г.), в двух качественно различных режимах – ламинарном и турбулентном. Детальные экспериментальные исследования режимов выполнил О.Рейнольдс (1883 г.). Вводя струйку краски в поток, протекающий по трубе, он визуально определял форму линий тока; при этом измерялись расход и путевые потери на мерном участке трубы (рис. 4.12).

При малых скоростях линии тока параллельны оси трубы; движение происходит параллельными слоями (рис. 4.12, а). Такой режим движения называется ламинарным. При увеличении скорости линии тока вначале начинают искривляться, а затем происходит переход к беспорядочному, хаотическому движению с пересечением линий тока и перемешиванием (рис. 4.12, b). Такой режим называется турбулентным. Смена режимов приводит к увеличению темпа роста путевых потерь при увеличении расхода.

Исследования показали, что наличие того или иного режима связано с численным значением критерия Re V d / (здесь за характерную длину L принят диаметр трубы d): при Re ≤ 2300 (нижнее критическое число Re)

режим ламинарный, при Re > 2300 начинается переход к турбулентному режиму; после достижения некоторого значения Re (верхнее критическое число Re) режим полностью турбулентный. Более поздние исследования показали,

что как нижнее, так и верхнее критические значения Re зависят от многих причин и могут колебаться (нижнее – от 1000 до 2300, верхнее – от 3500 до 40 000). Для переходного режима надежных расчетных формул для определения гидравлических потерь не существует; поэтому на практике принято считать при Re ≤ 2300 режим ламинарным, при Re > 2300 – турбулентным.

4.9. Ламинарный режим течения

Рассмотрим установившееся равномерное движение жидкости в трубе круглого сечения вдоль оси х (рис. 4.13). За поперечную координату примем радиус r; это позволит рассматривать движение как двумерное.

В жидкости выделим цилиндрический объем радиусом r и длиной L. Так как движение равномерное, объем находится в равновесии под действием сил давления на торцах (сечения 1−1 и 2−2), а также силы трения, вызванной действием касательных напряжений τ на боковой поверхности цилиндра.

Условие равновесия запишется в виде:

p	p	2	r2	2 r L .	(4.31)
1

Рис. 4.13. Движение жидкости в трубе при ламинарном режиме
Обозначив p p1 p2, из (4.31) получим:
	p r	.	(4.32)
	2L

Эта формула определяет линейный закон распределения касательных напряжений по радиусу трубы, показанный на рисунке слева.

Найдем закон изменения скорости от радиуса трубы. Запишем формулу гипотезы Ньютона:

	du	.	(4.33)
	dr

Знак (−) поставлен потому, что с увеличением радиуса скорость падает (du<0).

Приравняем (4.32) и (4.33).

p r		du		du	p rdr		u	p r	2	C.
			;			;
2L		dr			2 L			2 2L

							p r	2
Константу С найдем из граничного условия − при r = r0 u = 0; C							0		.
				r0	2 r2 .		4 L
Отсюда	u	p						(4.34)
		4 L
Получили параболоид вращения (рис. 4.13, справа).
Максимальная скорость (на оси трубы) равна:
			p r 2
	umax				0	.		(4.35)
				4 L

Найдем расход через кольцевое сечение радиусом r и толщиной dr:

dQ ud p r02 r2 2 rdr.

4 L

Интегрируя, найдем общий расход через сечение ω:

					r0 p r 2								r2				rdr												p									r 4										r 4										p r						4
Q										0																														0									0													0					.		(4.36)
													2 L																											2									4
					0																								2 L																															8 L
Найдем среднюю скорость в сечении V :
																	Q											p r												4									p r 2
											V																											0																	0				.										(4.37)
																										8 L r02
														r02																																				8 L
					Сопоставляя (4.35) и (4.37), получим, что V umax / 2.
					Найдем теперь коэффициент Кориолиса α в соответствии с (4.15):
			u3d																				p3																					3																		p32 4323 3L3 r							2
														1					r0														r0					2 r2												2 rdr																		0
																	43 3L3																																															43 3L3 p3r				6
							3							3
			V										V				0																																																0
r0																	4						r0																										2			4			r0
r0					2			r		2 3rdr								2							r0				2			r2 3dr																								r06					3r0				4r2 3r4r02			r6 rdr
																		r0		8																														r0			8
0																						0																																	0
	24 r 8											3r		8					r	8								r	8											1									3 4 1													16
							0						0						0								0							24																																	2.		(4.38)
		8
							2						4				2								8															2										4 8 8												8
	r0
					Выведем теперь формулу для λ																																										в формуле Дарси.
Из формулы для V (4.37) получим:
																p					8 LV															32 LV											.																						(4.39)
																							r 2															d 2
																									0
Чтобы разность давлений перевести в гидравлические потери в единицах
напора (м), нужно																			р разделить на ρg :
																			hп									p							32 LV											.																							(4.40)
																												g									d2 g

В полученной формуле числитель и знаменатель умножим на 2V и приравняем это выражение путевым потерям, вычисляемым по формуле Дарси: