Rybleva_teoria veroatnosti_2014

2.2. Проверка гипотез о числовых значениях параметров

Статистическая проверка гипотез о числовых значениях параметров осуществляется по схеме, изложенной выше. В таблице 2 приведены критерии проверки гипотез о числовых значениях параметров нормального распределения, вероятности успеха в единичном испытании и коэффициента корреляции.

Рассмотрим алгоритм проверки одной из гипотез. Пусть случайная величина X ~ N a, σ , причѐм числовое значение математического

ожидания a не известно, а числовое значение дисперсии σ 2 известно.

Сформулируем основную гипотезу H0 :

a a0

и

альтернативную

в

виде

H1:

a a0 .

Статистика

критерия

(случайная

величина)

Z

эмп

x a

0

~ N 0, 1

, поэтому область отклонения нулевой гипотезы

σ / n

Zэмп , zkp zkp ,

будет

такой:

-

двухсторонняя

критическая область, где число zкр

находят по таблице (см.

Приложение 2) из условия Ф z

1

α

(при

α 0,05 значение z

кр

кр

2

1,96, т.е. квантиль уровня 0,975). Для альтернативной гипотезы

H1:

a a0 критическая

область

значений

статистики

Z

будет

правосторонней:

если

Zэмп zкр , ,

то основная гипотеза

H0

-

отклоняется,

где число zкр находят по таблице (см. Приложение 2)

из

условия Ф zкр 1 α

(если

α 0,05

значение

zкр 1,645,

т.е.

квантиль уровня 0,95). При альтернативной

гипотезе H1:

a a0

критическая

область

значений

Z будет

левосторонней:

если

Zэмп , zкр , то основная гипотеза H0 - отклоняется.

161

Таблица 2.

нулевая

альтернативная

статистика

гипотеза

критическая область

гипотеза

H1

критерия

H 0

a a0

Zэмп zкр α

a a0 ,

x a0

a a0

Z эмп

Z

эмп zкр α

σ2

σ /

n

известно

a a0

Zэмп

zкр α / 2

a a0

Tэмп tкр α,n 1

a a0 ,

x a0

σ

2

a a0

Tэмп

Tэмп tкр α,n 1

неизвестно

s /

n

a a0

Tэмп

tкр α / 2,n 1

σ2 σ02

χэмп2

χкр2 α, n 1

σ2 σ02 ,

σ2 σ02

n

1 s

2

χэмп2

χ 2

1 α, n 1

χ 2

кр

a

эмп

σ02

2

2

α / 2, n 1 ,

неизвестно

χ

σ2 σ2

χэмп

кр

0

χ 2

χ 2

1 α / 2, n 1

эмп

кр

p p ,

p p0

Zэмп

pˆ p0

Zэмп zкр α

0

n порядка

p0q0 / n

эмп zкр α

нескольких

p

p0

ˆ

m

Z

десятков и

,

p

n

np0 5 ,

q0 1 p0

n 1 p0 5

zкр α / 2

p

p0

Zэмп

r 0

r 0

Tэмп r

n 2

Tэмп

tкр α / 2,n 2

1

r 2

Примечание*) В таблице 2: случайная величина

Z имеет стандартизированное

нормальное

распределение,

T подчиняется

распределению

Стьюдента, χ 2

-

распределению «хи-квадрат»,

s - несмещѐнная оценка ср. квадр. отклонения.

162

2.3. Проверка гипотез о равенстве числовых характеристик генеральных совокупностей

Гипотезы о равенстве числовых характеристик генеральных совокупностей – это, например, предположения о равенстве средних двух выборок (при известных или неизвестных дисперсиях), о равенстве дисперсий при неизвестных средних значениях, о равенстве вероятностей успеха в единичном испытании. Статистики критериев и критические области для проверки перечисленных гипотез приведены в таблице 3.

Гипотеза о равенстве средних при известных дисперсиях. Пусть случайные величины подчиняются нормальному закону распределения: X ~ N a1, σ1 и Y ~ N a2 , σ2 , при этом a1 и a2 не известны, а σ1 и σ2 - известны. Пусть имеются результаты независимых выборочных

наблюдений:

x1, x2 , ... , xn

и

y1, y2 , ... , yn .

Тогда

средние

1

2

выборочные также будут распределены нормально: x ~ N a1, σ1 /

n1

и y ~ N a2 , σ2

.

H0 :

a1 a2

/

n2

Для

основной

гипотезы

конкурирующую гипотезу рассмотрим в виде H1:

a1 a2 . Статистика

Z эмп

x y

критерия

n1n2

~ N 0, 1 ,

поэтому

основная

гипотеза

σ2n

σ2n

1

2

2

1

отвергается, если zкр

zкр , ,

где

zкр находят

по таблице (см.

Приложение

2)

как

квантиль

уровня

p 1 α .

При

альтернативной

гипотезе

H1:

a a0

критическая

область

значений

Z

будет

левосторонней:

если

Zэмп , zкр ,

то основная гипотеза

H0 -

отклоняется.

Для

H1:

a a0

критическая

область

двухсторонняя:

Zэмп , zkp zkp , ,

где число zкр находят по таблице (см.

Приложение 2) как квантиль уровня p 1 α / 2.

163

Таблица 3.

нулевая

альтернативная

статистика критерия

критическая область

гипотеза H 0

гипотеза

H1

a1 a2 ,

a1 a2

x y

Zэмп zкр α

Zэмп

σ12 и σ22

a1 a2

σ12

σ22

Zэмп zкр α

известны

n1

n2

a1 a2

Zэмп

zкр α / 2

a1 a2

Tэмп

x y

Tэмп tкр α,n1 n2 2

a1 a2 ,

s

1

1

n1

n2

Tэмп tкр α,n1 n2 2

σ12 и σ22

a1 a2

не известны,

s2

n

1 s

2

n 1 s

2

но равны

1

1

2

2

tкр α / 2,n1 n2 2

a1 a2

n1 n2 2

Tэмп

σ12 σ22,

σ12 σ22

2

Fэмп Fкр α, n1 1, n2 1

a

и a

F

s1

эмп

s2

1

2

2

2

не известны

σ1

σ2

2

Fэмп

Fкр α / 2, n1 1, n2

1

pˆ 1 pˆ 2

Zэмп zкр α

p1 p2

Z

эмп

n1 n2

,

p1 p2,

p 1

p n1 n2

ˆ

ˆ

n порядка

p1 p2

Zэмп zкр α

нескольких

pˆ

m1 m2

десятков

zкр α / 2

p1 p2

n1 n2

Zэмп

164

2.4. Проверка гипотез об однородности выборок

Иногда при работе с различными наборами данных требуется сравнить их и выяснить вызвано ли различие в числовых характеристиках этих групп систематическими или случайными причинами. Для решения подобных задач в математической статистике существуют 2 подхода – параметрические и непараметрические методы.

Методы обработки, основанные на предположении, что результаты наблюдений имеют закон распределения, принадлежащий тому или иному параметрическому семейству – нормальному, показательному или какому-либо другому, называются параметрическими. Проверка гипотез о равенстве числовых характеристик генеральных совокупностей (см. табл.3) – это, по сути, параметрические методы проверки гипотез об однородности выборок. Методы обработки, в которых не предполагается использование какого-то параметрического семейства, называют непараметрическими. Их применяют тогда, когда приходится иметь дело с обработкой данных, распределение которых неизвестно или не подчиняется какому-либо из известных законов распределения.

Если вывод необходимо делать по малым выборкам, и закон распределения неизвестен, то невозможно применение критериев, связанных с параметрами распределения. Непараметрические критерии обладают некоторыми преимуществами: более широкая область применения, меньшая чувствительность к «шуму» в статистических данных и к влиянию ошибок, попавших в практические данные. Однако параметрические критерии обладают большей мощностью. По этой причине, в случаях, когда выборки имеют нормальное распределение, нужно отдавать предпочтение именно параметрическим критериям.

165

2.4.1. Параметрические критерии

При решении вопроса о наличии различий между выборками проводят проверку статистических гипотез о принадлежности обеих выборок одной генеральной совокупности или о равенстве средних. В случае, когда вид распределения или функция распределения нам известны, задачу оценки различий двух групп независимых наблюдений можно решить с использованием параметрических критериев (см. табл.3): критерия Стьюдента (если сравниваются средние значения выборок); критерия Фишера (если сравниваются дисперсии выборок).

Критерий Стьюдента. Английский математик Вильям Госсет, печатавшийся под псевдонимом «Стьюдент», нашѐл закон

	распределения случайной величины	T	x a			, где генеральный
			s / n

параметр σ заменен на его выборочную оценку s . Этот закон, имеющий

непрерывную		функцию				распределения,	описывается	формулой:
		t 2		n 1
				2		для t ; ,
f ( t ) C	1						где C -	константа,
		n 1

зависящая только от числа степеней свободы n 1.

Закон Стьюдента положил начало созданию теории «малой выборки». При большом объѐме выборки особенность распределения в генеральной совокупности не имеет значения, так как распределение отклонений выборочного показателя от генеральной характеристики при большой выборке всегда оказывается нормальным. В выборках небольшого объѐма ( n 30 ) на распределении ошибок выборки будет сказываться характер распределения генеральной совокупности.

Распределение Стьюдента зависит от двух величин: значения t и числа степеней свободы k n 1. С увеличением n , т.е. числа наблюдений, это распределение быстро приближается к стандартизированному

166

n 30

нормальному (с параметрами a 0 и σ 1). Уже при распределение Стьюдента не отличается от стандартизированного нормального распределения. Для практического использования распределения Стьюдента существуют специальные таблицы (см. Приложение 4), в которых содержатся критические значения t для разных уровней значимости α и чисел степеней свободы k .

Пусть сравниваются средние арифметические x и y двух

независимых выборок объемов n1 и n2 , взятых из нормально

распределенных	совокупностей с параметрами a1, σ1 и a2 , σ2 .
Предполагается,	что σ1 и σ2 не известны и разница между средними

d x y возникла случайно. В качестве основной гипотезы выдвигается

следующее предположение H0 : a1 a2 .
Для	проверки нулевой	гипотезы используется	случайная величина
T	x y a1 a2 ,	подчиняющаяся распределению Стьюдента с
	sd
числом степеней свободы k n1 n2 2 . Здесь			sd - ошибка разности

между выборочными средними. Эта величина вычисляется по следующим формулам:

для выборок одинакового объѐма ( n1 n2 n ):

s	d			s2x		s2y			xi x 2 yi y 2 ;
				n1		n2			n( n 1)	n( n 1)

для неравновеликих выборок ( n1 n2 ):

				n 1 s2			n 1 s2			n n
				1	x			2	y
s											1	2
					n			2
	d			n							n n
				1		2					1	2

x		x 2	y			y 2	n n
	i				i			1	2
		n n		2
								n n
		1	2					1	2

167

D a1 a2

При a1 a2 разность a1 a2 0, поэтому критерий будет иметь вид:

Tэмп x y .

sd

При конкурирующей гипотезе H1: a1 a2 верхняя критическая точка находится по таблице (см. Приложение 4) как квантиль уровня

1 α / 2, а нижняя критическая точка расположена симметрично верхней относительно оси ординат: Tкр.н Tкр.в . Если Tэмп Tкр.н или

Tэмп Tкр.в , то основная гипотеза отклоняется с вероятностью ошибки первого рода α .

Если сравниваемые выборки являются попарно связанными друг с другом значениями варьирующего признака, то при оценке различий между ними используется метод парных сравнений сопряженных вариант. В этом случае оценкой разности между

генеральными средними и дисперсией этой разности σ2D

будет выборочная средняя из суммы разностей между попарно

связанными			вариантами сравниваемых групп x1, x2 , ..., xn и
y , y , ..., y					xi yi	di ,
	n	:		d
1 2					n	n

где n - число парных наблюдений. Тогда выборочная дисперсия будет

	di		2
равна s2		d		, а ошибка средней разности вычисляется как:
d	n 1
				sd		di d	2	.
						n n 1

168

Если варианты генеральной совокупности распределены нормально, то и разность между ними будет подчиняться нормальному

закону распределения. Поэтому случайная величина T d D

sd

будет иметь распределение Стьюдента с k n 1 степенями свободы.

Для основной гипотезы	H0 :	D 0									и конкурирующей H1: D 0
статистика критерия:	T									.
					d
	эмп		s
						d
Если Tэмп Tкр α, n 1 , то основная гипотеза отклоняется с
вероятностью ошибки первого рода α											(для нахождения критического
значения см. Приложение 4).

Замечание*). Если гипотеза о нормальности распределения попарных разностей окажется отвергнутой, то критерий Стьюдента применять не следует. В таких случаях нужно использовать непараметрические критерии.

Замечание**). Критерий Стьюдента можно применять также и тогда, когда сравниваются не средние величины выборок, а их относительные частоты.

Критерий Фишера. Пусть имеются две выборки из нормальных генеральных совокупностей. Если сравниваются дисперсии выборок, то вместо разности s1 s2 Р. Э. Фишер предложил рассматривать разность их натуральных логарифмов z ln s1 ln s2 (при этом предполагается,

что s1 s2), которая имеет нормальное распределение, как для больших выборок, так и для выборок среднего объема. Д. Снедекор заменил

169

s2

разность логарифмов

отношением

выборочных

дисперсий:

F

1

.

s2

2

Рассмотрим 2 случая:

1) Пусть для каждой генеральной совокупности математические

ожидания a

и a

2

- известны. Для нулевой гипотезы H

0

:

σ2 σ2

1

1

2

рассмотрим

альтернативную в

виде

H1:

σ12 σ22 .

Тогда

при

заданном

уровне

значимости

α

критическая

область

будет

двухсторонней и поэтому требуется определить две критические

границы:

θкр.н квантилю уровня (1

α

)

и θкр.в квантилю уровня

α

. При

2

2

этом числа степеней свободы будут равны n1 и n2 .

Если же

альтернативная гипотеза

имеет вид

H

1

:

σ2 σ2 ,

то

1

2

критическая область будет правосторонней и надо будет

определять

только одну критическую

точку

–

квантиль

уровня

p 1 α (см. Приложение 5) для чисел степеней свободы n1

и n2 .

2) Пусть для каждой генеральной совокупности математические

ожидания a1 и a2 - неизвестны. Дальше всѐ аналогично предыдущему случаю с той лишь разницей, что здесь числа степеней свободы равны n1 1 и n2 1 (см. табл.3).

Замечание*). Следует отметить, что критерий Фишера весьма чувствителен к отклонениям от нормальности изучаемого признака в рассматриваемых выборках

170