Rybleva_teoria veroatnosti_2014

Наиболее употребительной числовой характеристикой центра группирования значений дискретной случайной величины является математической ожидание, обозначаемое большой латинской буквой M, после которой в скобках указывается название случайной величины: M(X) – математическое ожидание случайной величины X.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины X, принимающей возможные значения x1 , x2 ,…, xn , … с

вероятностями p1 , p2 , … , pn , … , называется сумма ряда xi pi

x i Ω

(при условии абсолютной сходимости этого ряда).

Если число возможных значений случайной величины X - конечно,

n

то M X xi pi , где n Ω .

i 1

Пример 1.3 Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для Анри равна 0,3. Его друг Пьер заключает пари: «Ставлю $10 против $3, что Анри не попадет в мишень!». Анри принимает пари. Прав ли он?

Решение: Выигрыши игроков – случайные величины. Обозначим

через X – выигрыш Анри, Y – выигрыш Пьера, составим таблицы распределения для каждой случайной величины:

xi	-3	10
pi	0,7	0,3

y j	-10	3
p j	0,3	0,7

Вычислим средний ожидаемый выигрыш для каждого игрока:

M X -3·0,7 10·0,3 0,9 ; M Y -10·0,3 3·0,7 -0,9 .

Мы видим, что средний ожидаемый выигрыш Анри больше, чем средний ожидаемый выигрыш Пьера, значит, Анри прав, принимая пари.

■

Свойства математического ожидания случайной величины:

1)Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной: M C C .

81

2)Константа выносится за знак математического ожидания:

n	n
M C·X	C·xi ·pi C· xi ·pi C·M X .
i 1	i 1

3)Математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (разности) их математических ожиданий:

M X Y M X M Y .

4)Математическое ожидание произведения независимых случайных

величин равно произведению их математических ожиданий:

M X·Y M X ·M Y .

Замечание 1. Свойства 3, 4 по индукции распространяются на произвольное число случайных величин.

5)Если для любого исхода две случайные величины X и Y связаны

соотношением X≤Y, то их математические ожидания связаны тем же соотношением: M X M Y .

6)Математическое ожидание находится между возможными значениями случайной величины: если каждое значение xi

удовлетворяет неравенству A xi B , то и математическое ожидание удовлетворяет тому же неравенству A M X B .

7) Для любой функции f X ,			определенной на множестве значений
									pi .
дискретной случайной величины, верно: M f X f xi
							i 1
Пример 1.4 Пусть случайная величина X							задана		таблицей
распределения:
		xi		-5	1		3
		pi		0,5	0,4		0,1
Случайная величина Y имеет такой же закон распределения.
Найдите M XY , M X 2	и сравните их.

Решение: Построим вспомогательную таблицу для Z=XY:

82

		X
	zi	-5	1	3
	pi	0,5	0,4	0,1
	-5	25	-5	-15
	0,5	0,25	0,2	0,05
Y	1	-5	1	3
	0,4	0,2	0,16	0,04
	3	-15	3	9
	0,1	0,05	0,04	0,01

В таблице, внутри выделенного жирной линией квадрата, в правом верхнем углу указано возможное значение случайной величины zi , а в левом нижнем углу – соответствующая ему вероятность pi . Тогда ряд распределения случайной величины Z имеет вид:

zi	-15	-5	1	3	9	25
pi	0,1	0,4	0,16	0,08	0,01	0,25

Найдѐм сумму вероятностей:

6

pi 0,1 0,4 0,16 0,08 0,01 0,25 1. i 1

Вычислим математическое ожидание:

M XY M Z	6
	zi pi -1,5 - 2 0,16 0,24 0,09 6,25 3,24 .
	i 1
Проверим,	будет ли выполняться равенство M XY M X M Y ?

Для этого вычислим M X (так как по условию Y имеет такой же закон распределения что и X, то M X M Y ):

M X -2,5 0,4 0,3 -1,8 ; M X M Y -1,8 - 1,8 3,24=M(XY).

ti	25	1	9
pi	0,5	0,4	0,1

83

Теперь построим ряд распределения случайной величины T X 2 :

M T M X 2 12,5 0,4 0,9 13,8 .

Следовательно, мы получили, что M XY M X 2 . Кроме того,

очевидно, что случайные величины X·X и X 2 имеют различное распределение (сравните таблицы распределения для Z и для T).

■

Для характеристики степени вариации значений случайной величины вокруг центра группирования используются дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания:

D X M X - M X 2 .

Утверждение. Если случайная величина X имеет дисперсию D X , то

она может быть определена по формуле:

D X M X 2 - M2 X .

Свойства дисперсии случайной величины:

1)Дисперсия постоянной равна нулю: D C 0 .

2)Постоянная выносится за знак дисперсии с возведением в квадрат:

D CX C2D X .

3)Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин

равна сумме дисперсий: D X Y D X D Y .

4) Дисперсия произведения независимых случайных величин X и Y равна разности произведения математических ожиданий квадратов случайных величин и произведения квадратов математических ожиданий случайных величин:

D XY M X 2 M Y 2 - M2 X M2 Y . 84

Ковариацией случайных величин X и Y называется математическое ожидание произведения их отклонений от своих

математических ожиданий:

cov X,Y M X - M X Y - M Y M XY - M X M Y .

Замечание 2. Ковариация является характеристикой зависимости случайных величин X и Y. Если cov X,Y 0 , то случайные величины X

и Y – независимы. Следовательно, M X,Y M X ·M Y .

Замечание 3. Дисперсия – это частный случай ковариации случайной величины X: cov X, X M X 2 - M2 X D X .

5)Дисперсия суммы (разности) зависимых случайных величин X и Y

равна сумме их дисперсий плюс (минус) удвоенная ковариация этих случайных величин: D X Y D X D Y 2 cov X ,Y .

Размерность дисперсии есть квадрат размерности самой случайной величины, что не всегда удобно. Иногда предпочтительнее иметь характеристику разброса значений случайной величины такой же размерности как и она сама.

Квадратный корень из дисперсии случайной величины называется ее средним квадратическим отклонением или стандартным отклонением:

σ X D X .

Замечание 4. Числовые характеристики случайной величины X (ее математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение) являются величинами неслучайными, постоянными.

Свойства стандартного отклонения случайной величины:

1)Стандартное отклонение постоянной равно нулю: σ C 0 ;

2)Если для случайной величины X стандартное отклонение σ X 0 ,

то эта величина с вероятностью 1 постоянна.

85

3)Стандартное отклонение не меняется при сдвиге на любую постоянную: σ X - C σ X .

4)Константа выносится за знак стандартного отклонения под знаком модуля: σ С·X C·σ X .

5)Для независимых случайных величин X и Y стандартное отклонение их суммы равно квадратному корню из суммы квадратов их стандартных отклонений:

σ X Y σ2 X σ2 Y .

Пример 1.5 Фирма предложила клиенту два варианта инвестиций (возможная чистая прибыль и соответствующие ей вероятности для двух вариантов вложений капитала приведены ниже в таблице).

прибыль	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
вероятность 1	0	0	0	0,2	0,3	0,2	0,2	0,1
вероятность 2	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,2	0,2

Произведите расчеты и выясните - какой вариант выгоднее для клиента?

Решение: В условиях рыночной экономики, как правило, выигрывает тот, кто умеет лучше считать, планировать, анализировать имеющуюся информацию для принятия обоснованного решения. Принимая решение в условиях неопределенности можно использовать числовые характеристики случайных величин. В данном случае можно рассчитать для каждого варианта вложения капитала ожидаемую среднюю прибыль и выбрать решение с максимальным значением ожидаемой прибыли.

Исходные значения возможной чистой прибыли можно рассматривать как значения некоторой дискретной случайной величины, а потому ожидаемая средняя прибыль – это математическое ожидание случайной величины X для первого варианта инвестиций и математическое ожидание случайной величины Y для второго варианта инвестиций. Произведем расчеты для каждого варианта:

86

M(X)=-3·0+(-2)·0+(-1)·0+0·0,2+1·0,3+2·0,2+3·0,2+4·0,1=1,7; M(Y)=(-3)0,1+(-2)·0,1+(-1)·0,1+0·0,1+1·0,1+2·0,1+3·0,2+4·0,2=1,1.

Если принимать во внимание только ожидаемую прибыль, то первый вариант вложения капитала выгоднее. Если бы решение об инвестициях принималось много раз при одних и тех же условиях, то прибыль в среднем составила бы 1,7 денежных единиц. Однако пока не учитывался риск, связанный с инвестициями, т. е. «разброс» возможных исходов. Этот риск может быть учтен с помощью стандартного отклонения прибыли.

Для первого варианта получаем:

σ X			D(X ) M(X 2) M2(X ).
	D(X );
M(X 2 ) 1·0+0·0,2+1·0,3+4·0,2+9·0,2+16·0,1=4,5;
D X 4,5 - 1,7 2			1,61	=>	σ X		1,27 .
						1,61
Для второго варианта:
M Y 2 6,9 =>			D Y 6,9 - 1,1 2		5,69 =>	σ Y			2,385 .
								5,69

Риск для инвестиций по первому варианту меньше (1,27), чем по второму (2,385), а средняя ожидаемая прибыль – больше, поэтому первый вариант предпочтительнее второго. ■

Пример 1.6 Предположим, что Вы – владелец кондитерской. В начале каждого дня Вам нужно решить вопрос, сколько пирожных следует иметь, чтобы удовлетворить спрос. Затраты на каждое пирожное составляют 7 руб., а доход от продажи – 10 руб. Невостребованный остаток продать на следующий день нельзя (пострадает престиж), поэтому его распродают в конце дня по 3 руб.

Спрос (штук в день)	20	30	35	40
Частота	20	30	40	10

Определите оптимальный объѐм предложения пирожных. Сколько пирожных в среднем за день приходится распродавать?

87

Решение: При выборе оптимального объѐма предложения будем руководствоваться правилом максимизации ожидаемой прибыли. Прибыль будем определять как разницу между доходом и затратами,

не учитывая налоги. Обозначим через Y – спрос. Тогда таблица распределения этой случайной величины получается на основе исходной таблицы для частот:

y i	20	30	35	40
pi	0,2	0,3	0,4	0,1

Пусть X – объѐм предложения (также величина случайная), тогда прибыль представляет собой функцию от случайных величин X и Y:

		(10 - 7)X , если X ≤ Y
π X,Y
10Y - 7X 3 X - Y , если				X Y
3X ,		если	X ≤ Y
π X,Y			X Y
	7Y - 4X ,

При этом целевая функция – средняя ожидаемая прибыль – вычисляется как математическое ожидание от функции случайной величины:

Π(X)=M(π(X;Y))=π(X;20)·0,2+π(X;30)·0,3+π(X;35)·0,4+π(X;40)·0,1

Вычислим значения Π(X):

Π(20)=M(π(20;Y))=3·20=60; Π(30)=M(π(30;Y))=(7·20-4·30)·0,2+3·30·0,8=76; Π(35)=M(π(35;Y))=(7·20-4·35)·0,2+(7·30-4·35)·0,3+3·35·0,5=73,5;

Π(40)=M(π(40;Y))=57.

Отсюда видно, что оптимальный объѐм предложения, соответствующий максимальному значению средней ожидаемой прибыли, X * - это 30 пирожных в день. Средний ожидаемый спрос на пирожные: M(Y)=20·0,2+30·0,3+35·0,3+40·0,1=31 (штука).

Так как X * =30<M(Y)=31, то распродавать пирожные не придется.

■

88

Задачи для самостоятельного решения:

1.1Случайная величина X определяется как разность между большим и меньшим числами, выпавшими при бросании двух игральных костей. Если они равны между собой, то переменная X считается равной нулю.

Найдите распределение вероятностей для X и ее математическое ожидание. Постройте график F x .

1.2Продавец проездных билетов покупает их у фирмы по $3 за штуку, а продает покупателю по $4. Обработав статистику спроса, он выяснил, что спрос (X, в десятках) имеет следующее распределение:

xi	3	4	5	6	7	8	9
pi	0,01	0,1	0,3	0,4	0,1	0,06	0,03

Сколько же нужно закупить билетов, чтобы средняя ожидаемая выручка была максимальной?

1.3В лотерее имеется m1 выигрышей стоимостью k1, m2 -

стоимостью k2 , … , mn - стоимостью kn . Всего билетов N. Какую стоимость билета следует установить, чтобы средний ожидаемый выигрыш на один билет был равен половине его стоимости?

1.4Первый игрок бросает 3, а второй – 2 одинаковых монеты. Выигрывает и получает все пять монет тот, у которого выпадает большее число гербов. В случае ничьей игра повторяется до получения определенного результата. Каким будет средний ожидаемый выигрыш каждого игрока?

1.5Два баскетболиста поочередно забрасывают мяч в корзину до тех пор, пока один из них не попадет. Построить ряд распределения случайной величины X - числа бросков, производимых каждым из баскетболистов, если вероятность попадания для первого равна 0,4, а для второго – 0,6.

1.6 (Из	опыта	второй	мировой	войны:	алгоритм	Дофмана).
Большому	числу	N людей	срочно	требуется	сделать	анализ крови.

89

Стоимость одного анализа $5. Дофман предложил смешивать кровь k человек и анализировать смесь. В случае положительного результата для смеси проверяют каждого в отдельности. Было решено выплатить Дофману 20% от сэкономленной суммы. Каков размер премии, если: а)

N=100000, k=10, p=0,01; б) N=100000, k=10, p=0,001?

1.7В партии из 10 изделий 2 дефектных. Для контроля выбирают 2 изделия. Если среди них имеется хотя бы одно бракованное, то проверяют еще 4. Стоимость проверки одного изделия 20 руб. Составьте таблицу распределения, постройте график функции распределения, вычислите математическое ожидание и стандартное отклонение для случайных величин: T – число проверенных изделий, R

– расходы на контроль.

1.8Игроки A и B начинают со стартовым капиталом 4 и 2 руб. Подбрасывается монета и в случае герба игрок B выплачивает игроку A 1 руб. В случае решки – наоборот. Найдите ожидаемый доход игроков при условии, что общее число бросаний ограничено пятью.

1.9В шестизарядном револьвере один патрон. Составьте таблицу

распределения X - числа испытаний «русской рулетки», найдите функцию распределения F x и математическое ожидание M X .

1.10Марья Потаповна решила стать businesswoman: если она откроет ресторан, то, возможно, получит через год прибыль в размере 20%, но вероятность разорения равна 0,3; если тетя Маша займется «цветочным» бизнесом, то вероятная прибыль через год – 10%, шансы разориться – 0,1. Найдите среднюю ожидаемую прибыль через год для каждого варианта вложения денег, если для этой цели Марья Потаповна располагает суммой в $20 тыс.

1.11Производятся независимые последовательные испытания четырех приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0,8.

90