- •Федеральное государственное бюджетное образовательное
- •Предисловие
- •Порядок выполнения контрольных работ
- •Задача 2. Теория двойственности
- •1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум прибыли от реализации продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
- •2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
- •3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
- •4. На основе двойственных оценок и теорем двойственности:
- •Задача 3. Решить транспортную задачу средствамиMsExcel
- •1. Построим математическую модель транспортной задачи.
- •2. Подготовим форму для ввода исходных данных и запуска программы Поиск решения
- •Мастер функций / Математические / сумм(i3:l3)
- •Мастер функций / Математические / сумм(i3:i5)
- •Задача 4. Решить задачу смо средствами ms Excel.
- •Задача 5. Имитационное моделирование.
- •Задача 6. Игры с природой.
- •Решения, принятые в зависимости от используемого критерия
- •Задача 7. Экспертные оценки
- •Задача 8. Управление запасами.
- •Контрольная работа №1 «Задачи линейного программирования»
- •Контрольная работа №2 «Оптимальные решения для отдельных классов задач оптимизации и задач в условиях неопределенности»
- •Рекомендуемая литература
- •Оглавление
Задача 2. Теория двойственности
В предлагаемой альтернативной хозяйственной ситуации получите с помощью средств MS Excel (надстройка Поиск решения) оптимальный план производства продукции, проведите экономико-математический анализ оптимального плана с помощью двойственных оценок.
Предприятие выпускает три сорта мороженого: «Шоколадный пломбир», «Белочка» и «Лакомка» и реализует его по цене 57, 53 и 55 руб. за килограмм соответственно. Для производства используются три вида сырья. Расход сырья на производство одного килограмма мороженого и его запасы приведены в таблице:
Сырье |
Запас Сырья (кг.) |
Расход сырья на производство 1кг. мороженого | ||
«Шоколадный пломбир» |
«Белочка» |
«Лакомка» | ||
Молоко |
24 |
0,6 |
0,7 |
0,6 |
Масло |
15 |
0,2 |
0,2 |
0,3 |
Шоколад |
5 |
0,2 |
0,1 |
0,1 |
Требуется:
1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум прибыли от реализации продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
Построим математическую модель прямой задачи.
Введем управляющие переменные:
- количество произведенного мороженого «Шоколадный пломбир» (кг.),
- количество произведенного мороженого «Белочка» (кг.),
- количество произведенного мороженого «Лакомка» (кг.).
Построим функцию цели. Если реализовать кг мороженого по цене 57 руб./кг, то прибыль составитруб. и т.д. Следовательно, целевая функция - прибыль предприятия – запишется выражением
.
Исходя из требования максимизации прибыли:
.
Построим систему ограничений. Расход каждого вида сырья определяется выражением:
для молока - ,
для масла - ,
для шоколада - .
Так как расход сырья не может превышать количества, которым располагает предприятие, получим систему неравенств:
По смыслу задачи ясно, что переменные могут принимать лишь неотрицательные значения, т.е.,и.
Теперь можно сформулировать математическую модель задачи:
найти
при ограничениях: ,
,и.
Решим задачу с помощью программы Excel«Поиск решения».
Подготовим форму: введем исходные условия задачи, зависимости для целевой функции и левых частей ограничений. Запустим программу Поиск решений.
Результат поиска решения:
В результате решения задачи найден оптимальный план ,и. При этом.
Ответ : максимальная прибыль составит 2220 руб. и будет получена при выпуске 10 кг. мороженого «Шоколадный пломбир» и 30 кг. мороженого «Лакомка».
Сформируем отчет по устойчивости.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
Применим правила построения модели двойственной задачи:
Число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений исходной задачи. Введем обозначения: - двойственная оценка-го сырья. Все переменные,инеотрицательны.
Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены системы ограничений прямой задачи .
Прямая задача – на максимум, следовательно, двойственная к ней – на минимум: .
Число ограничений в двойственной задаче равно числу переменных в прямой – 3.
В прямой задаче все неравенства в системе ограничений имеют вид «», следовательно, в двойственной задаче – вид «».
Матрицы ограничений исходной и двойственной задач являются транспонированными друг к другу:
Правыми частями в ограничениях двойственной задачи являются коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи .
Учитывая эти правила, запишем модель двойственной задачи:
найти
при ограничениях
.
Значения двойственных оценок находятся в отчете по устойчивости в столбце «Теневая цена»: ,и
Вычислим значение целевой функции двойственной задачи:
Как и должно быть в соответствии с Теоремой 1, экстремальные значения целевых функций прямой и двойственной задач совпадают, значит, оптимальный план двойственной задачи найден верно.