Методические указания к контрольной работе

где

	x
		1
	x2
	X
		...
	xn

– вектор-столбец объемов произведенной продукции

(валового выпуска),

		с
		1
		с2
	Y
		...
		сn

–

вектор-столбец

объемов

продукции

непроизводственного потребления.

a		a
	11	12
a21		a22
А
	...
		an2
an1
затрат.
	1	0 ...
	0	1 ...
Е ...
	0	0 ...

...

...

...

0

0

1

a
1n
a2n		– матрица коэффициентов прямых
ann

– единичная матрица.

Из матричной формы модели Леонтьева

E A X Y (1)

можно выразить зависимость вектора валового выпуска Х от вектора конечного непроизводственного потребления Y:

	1	Y .
	X E A
1	называется матрицей полных затрат.
Е А
Соотношение (1) называется		уравнением линейного

межотраслевого баланса.

Вместе с описанием матриц это уравнение носит название

модели Леонтьева.

31

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска Х, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного потребления Y.

Матрица A ≥ 0 называется продуктивной, если для любого вектора Y ≥ 0 существует решение X ≥ 0 уравнения X = AX + Y.

В этом случае модель Леонтьева, определяемая матрицей A, тоже называется продуктивной.

Это определение имеет простой экономический смысл: матрица A ≥ 0 продуктивна, если существует такой план X ≥ 0 , что каждая отрасль может произвести некоторое количество конечной продукции.

Теорема

Матрица матрица Е

(1-й критерий продуктивности):

A ≥ 0 продуктивна тогда и только тогда, когда

А	1	существует и неотрицательна.

Теорема (2-й критерий продуктивности):

Матрица A с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу не превосходит единицы:

a	x	j
ij
j 1

1

,

причем, хотя бы для одного столбца эта сумма, строго меньше единицы.

Пример

Таблица содержит данные баланса трех отраслей промышленности за некоторый период времени. Требуется найти объем валового выпуска каждого вида продукции, если конечное потребление увеличить, соответственно, до 60, 70 и 30 условных денежных единиц.

№	Отрасль		Потребление			Конечный	Валовый
п/п		1		2	3	продукт	выпуск
1	Добыча и переработка	5		35	20	40	100
	углеводородов
2	Энергетика	10		10	20	60	100
3	Машиностроение	20		10	10	10	50

32

Выпишем векторы валового выпуска и конечного потребления и матрицу коэффициентов прямых затрат:

100				40				0,05	0,35	0,4
Х 100			, Y	60		,	А	0,1	0,1	0,4	.
	50							0,2	0,1	0,2
			10

Матрица А удовлетворяет 2-му критерию продуктивности. По
условию задачи, требуется найти новый объем валового выпуска
каждого вида продукции Х	, если конечное потребление увеличить,
соответственно, до 60, 70	и 30 условных денежных единиц, т.е.,

		60
новый вектор конечного потребления	Y	70		. При этом затраты
		30

на производство планируется оставить такими же, т.е. матрица прямых затрат А не поменяется.

Используем уравнение линейного межотраслевого баланса (1) для новых векторов валового выпуска и конечного потребления:

E

Тогда:

	0,95	0,35
	0,1	0,9
	0,2	0,1

A X

0,4

0,4

0,8

Y .

	х			60
	1
	х2			70	.
	х3			30

Далее, решаем эту систему линейных уравнений методом

Крамера. Для этого вычислим определитель матрицы системы										и
вспомогательные определители х				, х	и х	.
			1	2		3
0,95	0,35	0,4			60	0,35	0,4
0,1	0,9	0,4	0,514,	х 70		0,9	0,4	78,2 ,
				1
0,2	0,1	0,8			30	0,1	0,8

33

		0,95	60
	х	0,1	70
	2
		0,2	30

0,4

0,4

0,8

69,8

,

		0,95	0,35
	х	0,1	0,9
	3
		0,2	0,1

60 70 30

47,55

.

Таким образом,

х1 х2



х1

х2

	78,2	152,1,
	0,514
	69,8	135,8	,
	0,514

х			х		47,55	92,5
			3
	3				0,514

и новый вектор валового выпуска

Х

152,6
135,8
	92,5

.

Т.е. для того, чтобы увеличить заданное увеличение компонент конечного продукта, необходимо увеличить соответствующие валовые выпуски: добычу и переработку углеводородов на 52,1%, энергетику – на 35,8%, и машиностроение

– на 85% по сравнению с исходными величинами, представленными в таблице.

34

РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задание 1

Даны матрицы A, B, C, K.

Найти следующие комбинации этих матриц:

а) L 2В С ; б) I AT A, в) N K 3 .

			2	1	1				2	0	1				1	3	2
																			1		2
	А		1	3	0		В		2	1	3		С		0	1	5
						,						,						,	K
																				1	4
			5	2	4				1	3	4				4	2	1

Решение
а) Найдем матрицу						L 2В С .							2 1
	2	0	1						2 2	2 0						4
									2
2В 2 2		1	3				2			2 1			2 3			4
	1	3	4						2 1	2 3			2 4			2
																3
	4	0	2				1		3	2			4 1		0
2В С	4	2	6					0	1	5			4 0		2 1
	2	6	8					4	2				2 4		6 2
										1

		2	3	4
Таким образом,	L 2B C	4	1	1	.
		2	8	9

0		2
2		6
6		8
	2 2
	6 5
	8 1
		2	3		4
		4
			1		1 .
		2	8		9

	б) Найдем матрицу										T		. Для этого сначала вычислим А						Т	.
								I A A
	2		1 1			Т		2			1 5
	АТ	1 3			0				1 3				2		.
		5	2		4				1		0 4
			2 1				5 2				1				1
	I AT A
				1 3			2			1		3			0
				1 0			4			5	2			4
	2 2 1 1 5 5							2 1 1 3 5									2	2 1 1 0 5 4
	1 2 3 1 2 5						1 1 3							3 2 2				1 1 3 0 2
																				4
	1 2 0 1		4 5				1 1				0 3 4 2							1 1 0 0 4 4

35

в) Найдем матрицу

		30	9
		9	14
		18	7

N K 3

18
7
17

.

K

K

K

3

2

3

K K						1			2			1		2			1	2
			K
									4				1	4				4	.
	K	2				1											1
											K	2
													1 1 2 1						1 2 2 4
	1		2				1		2
	1		4				1		4							4 1			1 2		4 4
													1 1
																							3
																							5
						3		10					1	2
K 2 K
									18					4
				5							1
								3 1			10 1						3 2 10 4					13
									5 1 18 1								5 2 18 4					23

10
18

46
82

.

.

Задание 2

Вычислить определитель четвертого порядка, используя алгебраические дополнения и элементарные преобразования матриц:

1	3	3	2
3	3	2	2
4	1	4	2
3	1	2	1

Используя свойства определителей (п. 1.1.5), преобразуем исходный определитель так, чтобы какая-либо его строка или столбец содержали как можно больше нулей.

Для этого, например, сложим вторую и четвертую строку. В результате получим:

1	3	3	2
3	3	2	2
4	1	4	2 .
0	4	0	1

Далее, умножим первую строку на 3 и прибавим ко второй:

36

		1	3	3	2
		0	6	11	4		.
		4	1	4	2
		0	4	0	1
И, наконец, умножим первую строку на 4 и прибавим к
третьей:
		1	3	3	2
		0	6	11	4		.
		0	11	16		6
		0	4	0	1
Теперь разложим полученный определитель по первому
столбцу:
1	3	3	2		6		11	4
0	6	11	4
				1	11		16	6
0	11	16	6
					4		0	1
0	4	0	1
6 16 1 0 4 11 6 4 16 4 0 11 11 1 17.

Задание 3

См. п. 1.3.1

Задание 4

Решить систему линейных уравнений

	х		х	2	х		6
		1				3
		х	2х			х		9
					2		3
		1
		х	4х			2х		3
					2
		1					3

а) методом Крамера; б) методом обратной матрицы; в) методом Гаусса.

Решение

а) метод Крамера (п. 1.2.2):

1	1	1
1	2	1	1 2 2 1 4 1 1 1 1
1	4	2
			1 2 1 1 1

2 1 1

4

3

.

	6	1	1
х	9	2	1	6 2 2 9 4 1 3 1 1
1
	3	4	2

37

х2

х3

			3 2 1 9 1 2 4 1 6 3.
1	6	1
1	9	1	1 9 2 1 3 1 6 1 1
1	3	2
			1 9 1 1 3 1 1 6 2 9 .
1	1	6
1	2	9 1 2 3 1 4 6 1 9 1
1	4	3
			1 2 6 1 1 3 1 9 4 12 .

Таким образом,

	х1	3	1;	х2
		3

решение системы:

	9	3	;	х3	12	4 .
	3				3

б) метод обратной матрицы (п. 1.2.3):

	1		1	1
Матрица системы	А 1		2	1
		1	4	2

,

столбец свободных

коэффициентов

В

	6
	9
	3

, столбец неизвестных

Х

	х
	1
	х2
	х3

   

.

Для того, чтобы найти обратную матрицу	А	1	необходимо

пересчитать алгебраические дополнения всех элементов матрицы А

(п. 1.1.6).

A 2					1 2 2 4 1 4 4 8 ,
11		4			2
A12			1		1		1 2 1	1 2 1 3 ,
			1
						2
A13		1		2			1 4 1	2 4 2 2,
		1			4
A 1							1 1 2 1 4 2 4 6 ,
21			4				2
A 1				1 1 2 1 1 2 1 3 ,
22		1		2
A 1					1 1 4 1 1 4 1 3 3,
23			1	4
A 1 1 1 1 2 1 1 2 1,
31		2			1

38

A32			1	1	0		,
			1	1
A33		1		1		1 2 1		1 2	1 1.
		1		2

Тогда матрица алгебраических дополнений:

									A				A			A			8			3	2
										11				12		13
				Aij				A21					A22			A23		6			3		3	.
									A				A			A			1			0	1
										31				32		33
							8			6				1
Далее,		Aij		T			3			3				0		, следовательно
							2			3				1
																6						8	2
														8				1
	А	1		1				T			1					3						3	1
							A							3				0				1
				А			ij				3											2
														2		3		1					1
																						3
Т.к.	Х A			1	В , то

1

3 0

1

3

     

.

		8		2
		3
Х				1
		1
			2
				1
			3

1
3				6
0				9
	1			3
	3

		8	6		2 9	1	3
		3				3					16 18 1
	1 6 1 9 0						3				6 9
			2				1				4 9 1
				6 1 9
			3				3		3

   

 4

1 3

.

в) метод Гаусса (п. 1.2.4):

	1	1	1	6
Расширенная матрица системы:		2
	1		1	9
		4	2 3
	1

ступенчатому виду. Для этого умножим первую прибавим ко второй и третьей строкам:

	. Приведем её к
		1 и
строку на

	1		1	1	6		1
			2
	1			1	9		0
		1	4	2 3				0

Далее, умножим вторую строку на результате получим:

1

1

3

3

	1	6
	0	3	.
	3	3

и прибавим к третьей. В

39

	1		1	1	6		1		1
			1
	0			0	3		0		1
		0	3	3	3			0	0

1 03

	6
	3
	12

,

откуда, используя обратный ход

уравнения:	3х3 12		х3 4 ,
третьего: х1	х2 х3 6	х1 3 4
Ответ: 1; 3; 4 .

метода Гаусса, найдем из третьего

из	второго:	х2 3	х2 3	, из
6	х1 1.

Задание 5

В таблице приведены данные по балансу за некоторый промежуток времени между тремя отраслями промышленности. Необходимо: установить объём валового выпуска каждого вида продукции, если конечное потребление по отраслям возрастет

соответственно до		у1, у2 , у3	условных	денежных	единиц и
определить	процентные		изменения	валовых	выпусков,

необходимых для обеспечения заданного увеличения компонент вектора конечного продукта.

	Потребление				Конечное					Валовой
	1	2	3		потребление					выпуск
1	20	5	35				40			100
2	20	5	15				10			50
3	20	10	10				60			100
			y		60, y	2	30, y		70
			1				3

Решение

Выпишем матрицу коэффициентов прямых затрат и векторы валового выпуска и конечного потребления:

			20	5	35
			100	50	100			0,2	0,1
			20	5	15
	А							0,2	0,1
			100	50	100
								02,	0,2
			20	10	10
			100	50	100

0,35
0,15
0,1

,

Х

100
	50
100

,

Y

	40
10
	60

.

Матрица А удовлетворяет 2-му критерию продуктивности: сумма коэффициентов по каждому столбу (строке) строго меньше единицы. По условию задачи, требуется найти новый объем валового выпуска каждого вида продукции Х , если конечное потребление увеличить, соответственно, до 60, 30 и 70 условных денежных единиц, т.е., новый вектор конечного потребления

40