§ 10.3 Первый закон термодинамики. Теплоёмкость. Применение первого закона термодинамики к изопроцессам идеального газа

При сообщении системе бесконечно малого количества теплоты dQ его температура изменяется на dT.

Теплоемкостью с системы называют величину, равную отношению сообщенного системе количества теплоты dQ к изменению температуры dT системы:

(10.10)

Различают удельную теплоемкость (теплоемкость 1 кг вещества)

(10.11)

и молярную теплоемкость (теплоемкость 1 моль вещества)

С_μ = μС (10.12)

При различных процессах, протекающих в термодинамических системах, теплоемкости будут различны: если процесс протекает при каком-то постоянном параметре х, то удельная теплоемкость в этом процессе

(10.13)

Зная удельную или молярную теплоемкость системы, можно определить количество теплоты, полученное системой:

dQ = С_xmdT или (10.14)

Количество теплоты, внутренняя энергия и работа в СИ выражаются в джоулях (Дж).

Первое начало термодинамики: количество теплоты, сообщенное телу, идет на увеличение его внутренней энергии и на совершение телом работы над внешними телами:

dQ = dU+dA (10.15)

Первое начало термодинамики - это закон сохранения энергии применительно к тепловым процессам, он подтверждает невозможность построить вечный двигатель первого рода «перпетуум мобиле».

Если при теплообмене окружающие тела нагреваются, т. е. отнимают энергию у рассматриваемого тела, то dQ < 0. Если при изменении внутренней энергии dU тела совершается работа dА над окружающими телами, то эта работа считается положительной (+dA), если же окружающие тела совершают работу над рассматриваемым телом, то эта работа отрицательна (-dА). Если в замкнутой системе, состоящей из нескольких тел, имеющих первоначально различную температуру, происходит теплообмен, то никакая работа внутри системы не совершается.

Применение первого начала термодинамики к изопроцессам

• Изохорный процесс. Рассмотрим нагревание 1 моль газа, происхо­дящее при постоянном объеме. Так как V = соnst, то dV = О, а следова­тельно, и dА = PdV = 0. Из первого начала термодинамики (10.15) следует, что вся теплота, сообщенная газу при изохорном процессе, идет на уве­личение его внутренней энергии:

dQ = dU (10.16)

Так как dQ = C_vdT, тогда C_vdT = dU

(C_v- молярная теплоёмкость газа при постоянном объёме)

Интегрируя выражение C_vdT = dU, имеем

—закон Джоуля (10.17)

Из закона Джоуля и закона о равномерном распределении энергии по степеням свободы вытекает соотношение между С_V и i:

(10.18)

• Изобарный процесс. Рассмотрим нагревание моля газа, происходя­щее при постоянном давлении (P = соnst). При этом изменяются объем и температура, следовательно, совершается работа dA = PdV и изменяется внутренняя энергия dU. Первое начало термодинамики для этого процес­са имеет вид

dQ = dU + PdV (10.19)

При изобарном процессе dQ_p = C_pdT, поэтому первое начало термоди­намики примет вид

C_pdT = dU + PdV (10.20)

или, поскольку внутренняя энергия является функцией лишь температуры

dU = C_VdT

C_pdT = C_vdT + PdV (10.21)

Запишем уравнение состояния для моля идеального газа:

рV = RТ

Для изобарного процесса это уравнение имеет вид

рdV = RdТ (10.22)

Подставим это выражение в формулу (2.83):

C_pdT = C_vdT + RdT (10.23)

Откуда C_p = C_v + R или

C_p - C_v = R (10.24)

- называют уравнением Майера.

Подставляя C_v из уравнения (10.24) в уравнение Майера, имеем

, откуда

(10.25)

• Изотермический процесс. При Т = соnst dU = 0, поэтому все сооб­щаемое системе количество теплоты расходуется на совершение работы против внешних сил:

dQ = dA (10.26)

• Адиабатный процесс

Процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой, на­зывают адиабатным (dQ = 0).

Осуществить процесс, близкий к адиабатному, можно в том случае, если газ находится внутри оболочки с очень хорошими теплоизоляцион­ными свойствами.

Первое начало термодинамики для адиабатного процесса имеет вид

dU+ dA= 0 или dA =-dU (10.27)

При адиабатном процессе работа совершается только за счет изме­нения внутренней энергии газа, т. е. PdV = -С_V dТ, откуда

(10.28)

При адиабатном расширении газ совершает работу, его внутренняя энергия и, следовательно, температура понижаются.

При адиабатном сжатии работа газа отрицательна, его внутренняя энергия и, следовательно, температура возрастает. Явление охлаждения газа при адиабатном расширении широко используется в технике, например в работе холодильных установок.

Для моля идеального газа справедливо уравнение Менделеева-Клапейрона

PV=RT

Из этого уравнения при условии, что изменяются все три параметра (P, V, T), имеем

PdV+ VdP =RdT (10.29)

Учитывая, что , получаем

(10.30)

Используя уравнение Майера (), запишем

C_vPdV+ C_vVdP+ (C_p - C_v )PdV=0 (10.31)

Разделим это выражение на (C_vVP) и введём обозначение . Тогда

(10.32)

Интегрируя это выражение, имеем lnP+γ lnV= lnA, где А – постоянная интегрирования. Тогда

(10.33)

- уравнение Пуассона. Оно связывает параметры состояния газа при адиабатном процессе.

На рисунке представлены адиабата () и изотерма . Согласно уравнению Майера (), C_p > C_v; следовательно, >1, поэтому адиабата идёт более круто, чем изотерма.

Учитывая, что , а , имеем

(10.34)

(γ – показатель адиабаты или коэффициент Пуассона)

Вычислим работу А, совершаемую 1 молем идеального газа при адиабатном процессе:

(10.35)

Так как , то

(10.36)

Процесс	Количество теплоты	Изменение внутренней энергии	Работа	Первый закон термодинамики
Изотермический Т=const	------------	dU=0		dQ=dA
Изохорный V=const	dQ= CV·m·dT	dU =CV·m·dT	dA=0	dQ=dU
Изобарный Р=const	dQ= Cp·m·dT	dU =Cp·m·dT	dA=PdV	dQ=dU+dA
Адиабатный Q=0	dQ=0	dU =CV·m·dT	------------	dU=-dA