Примеры решения задач

1. В теплоизолированном сосуде находятся вода и лед при температуре 0С. Массы воды и льда соответственно равны 0,5 кг и 60 г. В воду впускается водяной пар массой 10 г при температуре 100С. Какой станет температура воды в сосуде после установления теплового равновесия? Теплоемкость сосуда в расчетах не учитывать.

РЕШЕНИЕ:

Проверим сначала, достаточно ли выделяющегося при конденсации пара количества теплоты Q₃ для плавления льда.

При конденсации пара выделяется количество теплоты Q₃:

Q₃ = - rm₃.

Для плавления льда требуется количество теплоты Q₂:

Q₂ = m₂;

Q₂ = 610^-2 кг3,310⁵ Дж/кг  210⁴ Дж;

Q₃ = 2,2610⁶ Дж/кг10^-2 кг = 2,2610⁴ Дж.

Сравнение количеств теплоты Q₃ и Q₂ показывает, что Q₃  Q₂, поэтому уравнение теплового баланса имеет вид

rm₃ + cm₃ (T₂ – T₃) = m₂ + c(m₁ + m₂)(T₃ – T₁).

Теплота выделяется при конденсации пара массой m₃ и остывании сконденсировавшейся воды от температуры Т₂ до некоторого значения Т₃, а поглощается при плавлении льда массой m₂ и нагревании воды массой (m₁ + m₂) от температуры Т₁ до равновесного значения Т₃. Обозначив Т₃ – Т₁ = Т, для разности Т₂ – Т₃ получим

Т₂ – Т₃ = Т₂ – Т₁ – Т = 100 – Т.

Уравнение теплового баланса приобретает вид

rm₃ + cm₃ (100 - Т) = c(m₁+ m₂) Т +m

c(m₁ + m₂ + m₃) Т = rm₃ + cm₃100 - m₂;

Отсюда

;

.

Тогда Т₃ = 273 К + 3 К = 276 К.

2. Смешивают m₁ = 300 г воды при температуре t₁ = 10С и m₂ = 400 г льда при температуре t₂ = -20С. Определить установившуюся температуру  смеси. Удельная теплоемкость воды с₁ = 4,1910³ Дж/(кгК), льда с₂ = 2,110³ Дж/(кгК), удельная теплота плавления льда  = 33010³ Дж/кг.

РЕШЕНИЕ:

Подсчитаем сначала количество теплоты, необходимое для нагревания льда до температуры плавления t_пл = 0С.

Q₂ = c₂m₂ (t_пл – t₂) = 16 800 Дж.

Теперь найдем количество теплоты, которое отдает вода, охлаждаясь до 0С:

Q₁ = c₁m₁ (t₁ – t_пл) = 12 570 Дж.

Для того, чтобы нагреть весь лед до 0С недостает Q₂ – Q₁ = 4230 Дж. Такое количество теплоты выделится при превращении в лед некоторыой массы воды m₃:

Q₂ – Q₁ = m₃,

Откуда

= 12,8 г.

Таким образом, в конечном состоянии в cосуде будет m₂ + m₃ = 412,8 г льда и m₁ - m₃ = 287,2 г воды при температуре  = 0С.

3. Азот нагревается при постоянном давлении 100 кПа. Объем азота изменяется на 1,5 м³. Определить: 1) работу расширения, 2) количество теплоты, сообщенное газу, 3) изменение внутренней энергии газа, если молярные теплоемкости азота при постоянном объеме и постоянном давлении равны соответственно C_v = 20,9 Дж/(мольК), C_p = 29,3 Дж/(мольК).

РЕШЕНИЕ:

Работа расширения газа при p = const, A = p(v₂ – v₁) = pv,

A = 1,5010⁵ Дж = 150 кДж.

2. Q = c_pMT, где c_p - удельная теплоемкость при постоянном давлении,

c_p = , где - молярная масса газа.

Следовательно, .

Воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона для двух состояний газа и. Вычитая из второго уравнения первое, имеем

, , или, тогда

; Q = 5,2510⁵ Дж = 525 кДж.

2. Изменение внутренней энергии при постоянном объеме равно количеству теплоты , поэтому;

U = 3,7510⁵ Дж = 375 кДж.

4. КПД тепловой машины, цикл которой состоит из 12 – изотермы, 23 – изохоры и 31 – адиабаты, равен . Рабочее вещество машины -  молей идеального газа. КПД машины, работающей по циклу Карно с теми же нагревателем и холодильником, имеющими ту же максимальную и минимальную температуру рабочего вещества, что и в первой машине, равен _К. Найти работу газа в первой машине на участке 12, если в состоянии 1 внутренняя энергия газа равна U_Г.

Решение:

Процесс, проводимый газом, показан на рис. 47. Для исследуемого цикла Т₁ = Т₂ > Т₃, поэтому , откуда. Найдем теперь КПД цикла, он равен

.

Рис.47

Найдем каждую из теплот

Q₁₂ = A₁₂, Q₂₃ = C_v(T₃ – T₁), Q₃₁ = 0

и подставим в выражение для :

,

откуда

.

Но C_v Т₁ = U_Г, откуда окончательно

.