2.7ИДЗ матан
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sin n 0, |
cos n ( 1)n. |
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Найдем |
значения |
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коэффициентов |
ряда |
Фурье |
для функции |
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f (x) 3 4x: |
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(3 4x)2 |
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a0 |
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f (x)dx |
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(3 4x)dx |
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(3 4 )2 (3 4 )2 |
48 6; |
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u 3 4x |
du 4dx |
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f (x)cosnxdx |
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(3 4x)cosnxdx |
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dv |
cosnxdx v |
sinnx |
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n |
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(3 4x) |
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sinnx |
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sinnxdx |
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n |
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n |
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4 |
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cosnx |
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(cosn cosn ) 0. |
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n n |
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n n |
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u 3 4x |
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du 4dx |
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bn |
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f (x)sinnxdx |
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(3 4x)sinnxdx |
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dv sinnxdx v |
cosnx |
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n |
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1 |
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1 |
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(3 4x) |
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cosnx |
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cosnxdx |
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n |
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n |
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1 |
( 3 4 cosn (3 4 )cos( n )) |
1 |
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sinnx |
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n2 |
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n |
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8cos n 8( 1)n 1 . n n
Подставим полученные значения коэффициентов в ряд Фурье:
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n 1 |
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f (x) 3 8n 1 |
( 1) |
sinnx, x [ ; ]. |
n |
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2x 1, |
3 x 0, |
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7.2. f (x) |
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[ 3;3] |
0, |
0 x 3 |
Ряд Фурье для функции f (x), заданной на произвольном отрезке [ l;l] имеет вид
91
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a |
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n x |
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n x |
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f (x) |
o |
an cos |
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bn sin |
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, |
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2 |
l |
l |
|||||||
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n 1 |
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где коэффициенты a0,an,bn находятся по формулам
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1 |
l |
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a0 |
l |
f (x)dx; |
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l |
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1 l |
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n x |
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|||||
an |
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l |
f (x)cos |
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dx; |
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l |
l |
|||||||||||
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1 l |
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n x |
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||||
bn |
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l |
f (x)sin |
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dx. |
|||||
l |
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l |
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В нашем случае l 3, а для вычисления коэффициентов Фурье необходимо воспользоваться свойством аддитивности определенного интеграла:
b c b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx, если c a;b .
a a c
Найдем значения коэффициентов ряда Фурье для заданной функции:
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1 |
3 |
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0 |
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1 |
3 |
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1 |
0 |
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1 1 (2x 1) |
2 |
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3 |
||||||||||||||||||
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a0 |
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f (x)dx |
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(2x |
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1)dx |
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0dx |
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(2x 1)dx |
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3 |
3 |
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3 |
3 |
3 |
2 |
2 |
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1 |
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3 |
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3 |
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0 |
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3 |
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3 |
||||||
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25 49 2; |
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12 |
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1 3 |
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n x |
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1 0 |
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n x |
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||||||||||||||||||||||||||
an |
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3 |
f (x)cos |
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dx |
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3 |
(2x 1)cos |
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|
dx |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
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3 |
3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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u 2x 1 |
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du 2dx |
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n x |
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3 |
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|
n x |
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|
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|||||||||||||||
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dv |
cos |
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dx v |
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|
sin |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
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|
n |
|
|
|
3 |
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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|
|
3 |
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|
n x |
|
0 |
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6 0 |
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|
n x |
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||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
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(2x 1) |
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|
sin |
|
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sin |
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dx |
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|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
0 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
n 3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
3 |
cos |
n x |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
(cos0 cosn ) |
6 |
1 ( 1) |
n |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
n |
|
|
|
|
n |
2n2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
bn |
|
3 |
f (x)sin |
|
|
|
dx |
|
|
3 |
(2x |
1)sin |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
u 2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
du 2dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dv |
|
sin |
|
n x |
dx v |
|
|
3 |
|
|
|
cos |
n x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
n |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
92
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
n x |
|
|
0 |
|
|
6 |
|
0 |
|
|
|
|
n x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
(2x 1) |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
dx |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
3 |
|
21 |
( 1) |
n |
|
2 |
|
|
|
|
3 |
sin |
|
n x |
|
|
|
1 |
1 ( 1) |
n |
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
3 |
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
n n |
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
n |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим полученные значения коэффициентов в ряд Фурье:
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
6 |
|
1 ( 1)n |
( 1) |
|
|
n x |
|
|
1 |
1 ( 1)n cos |
n x |
|
||||
f (x) 1 |
|
|
sin |
|
|
|
, |
||||||||||
2 |
2 |
n |
|
|
|
|
n |
|
|||||||||
n 1 |
n |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|||||||
x [ 3;3]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
8.1. Разложите функцию |
f (x) sin |
5x |
, |
x [0; ] в ряд Фурье по си- |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
нусам.
Для того чтобы разложить заданную функцию в ряд Фурье по синусам, необходимо доопределить ее на полуинтервале ;0 как не-
четную. Таким образом, коэффициенты a0 и an равны нулю. Вычислим коэффициент bn :
|
|
2 |
|
2 |
|
|
bn |
|
f (x)sinnxdx |
sin2,5x sinnxdx |
|||
|
|
|||||
|
|
0 |
0 |
1 cos(n 2,5)x cos(n 2,5)x) dx
0
|
|
1 |
1 |
|
|
sin(n 2,5)x |
1 |
sin(n |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
n 2,5 |
|
|
|
|
|
n 2,5 |
||||||
|
sin(n 2,5) |
|
sin(n 2,5) |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
(n 2,5) |
|
(n 2,5) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(n 2,5) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f |
(x) |
sin(n 2,5) |
|
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
(n 2,5) |
(n 2,5) |
2,5)x 0
sinnx, x [0; ].
8.2. Разложите функцию f (x) sin5x , x [0; ] в ряд Фурье по ко-
2
синусам.
Для того, чтобы разложить заданную функцию в ряд Фурье по косинусам необходимо доопределить ее на полуинтервале ;0 как чет-
93
ную. Таким образом, коэффициент bn |
будет равен нулю. Вычислим ко- |
|||||||||||||||||||||
эффициенты a0 |
и an : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
cos2,5x |
|
|
|
|
2 |
cos2,5 1 |
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
a0 |
|
|
f (x)dx |
sin2,5xdx |
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2,5 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
2,5 |
5 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
|
f (x)cosnxdx |
sin2,5x cosnxdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 sin(n 2,5)x sin(n 2,5)x) dx
0
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(n |
2,5)x |
|
|
|
|
|
cos(n 2,5)x |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
n 2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2,5 |
|
|
0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n 2,5 |
|
|
n 2,5 |
|
|
|
6,25) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
f (x) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
cosnx, |
x [0; ]. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
n 1 (n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
6,25) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ответ: f (x) |
|
|
2 |
|
|
|
|
2n |
|
cosnx, x [0; ]. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
n 1 (n2 |
6,25) |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
94