2.7ИДЗ матан
.pdfТак как несобственный интеграл равен конечному числу, то он сходится, а следовательно, и исследуемый ряд тоже сходится.
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: ряд |
|
|
|
|
|
|
сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
(n 5) |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
(n 5)ln |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Общий |
|
член |
|
|
|
ряда un |
|
|
|
|
|
. |
|
Составим |
функцию |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(n 5)ln3(n 5) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
найдем |
|
несобственный |
интеграл |
|||||||||||||||||
(x 5)ln3(x 5) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 3(x 5) |
d(x 5) |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
(x 5)d(x 5) |
|
|||||||
(x 5)ln |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
(x 5) |
1 |
|
|
(x 5) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
ln 2 (x 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2ln2(x 5) |
1 |
|
|
2ln2 |
6 |
|
2ln2 |
6 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Так как несобственный интеграл равен конечному числу, то он |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сходится, а следовательно, и исследуемый ряд тоже сходится. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
(n 5)ln |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
(n 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Исследуйте ряды на абсолютную и условную сходимость
|
n 1 |
|
1 n |
||
7.1. |
||
n 1 |
6n 5 |
Данный ряд является знакочередующимся. Проверим сначала выполнение условий теоремы Лейбница. Для этого вычислим предел
lim |
|
un |
|
: lim |
|
( 1)n 1n |
|
lim |
n |
|
1 |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
0. |
||||
|
|
6n 5 |
|
|
|
|
|
||||||||||
n |
|
|
|
n |
|
n 6n 5 |
|
|
n 6 |
|
6 |
|
Так как первое условие теоремы Лейбница не выполняется, т.е. предел общего члена ряда не равен нулю, то ряд расходится.
|
n 1 |
|
1 n |
|
|
Ответ: ряд |
расходится. |
|
n 1 |
6n 5 |
|
71
( 1)n
7.2.n 1 n 4
Данный ряд является знакочередующимся. Проверим сначала выполнение условий теоремы Лейбница. Для этого вычислим предел
lim un :
n
lim |
|
( 1)n |
|
|
lim |
|
1 |
|
1 |
0. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n |
|
|
n 4 |
|
|
n |
n 4 |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, первое условие выполняется. Проверим выполне- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ние |
|
второго условия |
|
un |
|
> |
|
un 1 |
|
. В |
нашем |
случае |
|
|
un |
|
|
|
1 |
|
, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
un 1 |
|
|
|
1 |
|
|
n 5>n 4, то |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
.Так как |
|
|
> |
|
|
|
. Таким образом, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 4 |
|
|
|
|
n 5 |
( 1)n |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
оба условия теоремы Лейбница выполняются и ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится. |
|||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Выясним тип сходимости. Для этого к ряду |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
применим один |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из достаточных признаков сходимости, а именно, интегральный признак. Так как несобственный интеграл
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
d(x 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x 4 |
|
dx x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
x 4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 4) |
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x 4 |
2 |
d(x 4) |
|
|
|
|
2 |
x 4 |
|
1 |
|
2 |
5 |
расходится, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1) |
n |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
то и ряд |
|
|
|
|
|
|
будет расходиться. |
Следовательно, ряд |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n 4 |
|
n 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
||||||||||||||
сходится условно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
( 1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: ряд |
|
|
|
|
|
сходится условно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.3. ( 1) |
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Данный ряд является знакочередующимся. Рассмотрим ряд, составленный из модулей общих членов данного ряда
72
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
( 1)n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
n2 |
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Сравним последний ряд с рядом |
1 |
, который сходится. Применим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
n3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
предельный признак сравнения |
|
n 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
n |
3 |
|
|
|
|
n |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
: |
lim |
|
|
|
|
|
lim |
n |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n n2 |
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
Так как предел равен конечному числу, отличному от нуля, то иссле-
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
||
дуемый ряд |
|
|
n |
ведет себя так же как ряд, с которым сравнивали |
|||||||
n 1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
, т.е. |
сходится. Следовательно, ряд ( 1)n |
n |
сходится абсо- |
||||||
n3 |
n2 |
||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
лютно.
sin
Ответ: ряд ( 1)n n2n сходится абсолютно.
n 1
8. Исследуйте ряды на сходимость, используя различные признаки сходимости
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1) |
n 1 |
n |
5 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
8.1. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 3)! |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1)n 1 n5 |
|||||
Ряд, составленный из модулей ряда |
n 1 |
|
|
|
|
|
, сходится по признаку |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Даламбера. Действительно, |
|
|
|
(n 3)! |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
u |
|
|
|
(n 1)5 |
|
(n 1)5(n 3)! |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
(n 4)! |
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
|
n 1 |
lim |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n5 |
|
n5(n 4)! |
|
|
|
|
|
|||||||
n un |
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
(n 3)!
73
=lim |
|
(n 1)5(n 3)! |
|
|
lim |
(n 1)5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
5 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
(n 3)!(n 4) |
|
|
|
|
|
|
n |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n 4 |
|
|
n n 5 |
|
|
n n 4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 0 0 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
n |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Следовательно, ряд |
|
|
|
|
|
|
|
сходится абсолютно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(n 3)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1) |
n 1 |
n |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Ответ: ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится абсолютно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(n 3)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.2. ( |
|
2n2 3 |
2n2 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для того чтобы данный ряд исследовать на сходимость, преобразу- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
ем общий член ряда un |
|
2n2 3 |
|
|
2n2 1 следующим образом: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
2n2 3 |
|
|
|
|
|
2n2 1)( 2n2 |
3 |
|
2n2 |
1) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
un 2n |
2 |
|
3 2n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2n2 3 2n2 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
= |
|
(2n2 3) (2n2 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Очевидно, |
|
что un |
|
1 |
|
, поэто- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2n2 3 2n2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n2 3 2n2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
му сравним исследуемый ряд с эталонным рядом |
|
, который расхо- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дится. Используем предельный признак сравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
|
2n2 3 |
|
|
|
2n2 1 |
|
|
=lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2n |
2 |
|
3 2n |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
n |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как предел равен конечному числу, отличному от нуля, то исследуемый ряд ведет себя также как и ряд, с которым сравнивали, т.е. расходится.
Ответ: ряд ( 2n2 3 2n2 1) расходится.
n 1
8.3.tg
n 1 n
74
|
|
Общий член |
ряда |
u tg |
|
|
эквивалентен |
общему члену ряда |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
(использовали |
таблицу эквивалентных |
бесконечно малых |
||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
n 1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
tg при 0). Ряд |
|
|
|
является эталонным, и известно, что он |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
n |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
расходится. Поэтому и ряд tg |
также расходится. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
n |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: ряд tg |
|
расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
1 |
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.4. ( 1) |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Данный ряд является знакочередующимся. Проверим первое условие
признака Лейбницаlim un 0:
n
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|||||
|
1 |
|
1 |
n |
|
|
|
1 |
|
lim |
1 |
|
||||||||
n |
|
e0 1 0. |
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
lim 1 |
|
|
|
lim 1 |
|
|
|
|
|
=lim |
1 |
|
|
|
|
|
en n |
|||
n |
2 |
n |
2 |
|
|
n |
2 |
|
||||||||||||
n |
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
1 |
|
n |
|||
Так как условие не выполняется, то ряд ( 1) |
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
расходится. |
|||||||||||||||
|
n |
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|||
|
n 1 |
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: ряд ( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
расходится. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)n |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
8.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
n! |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Так как общий член ряда u |
|
|
(n 1)n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n |
|
|
|
|
|
содержит факториал, то для |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n n! |
|
|
|
|
|
|
исследования ряда на сходимость можно использовать признак Далам-
бера. Найдем предел отношения un 1 : un
75
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 2)n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 2)n 1 2n n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
lim |
n 1 |
lim |
|
2n 1 (n 1)! |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n un |
|
|
n |
|
|
|
|
(n 1)n |
|
|
|
|
|
|
n 2n 1 |
(n 1)! (n 1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 2)n (n 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
lim |
(n 2)n (n 2) 2n n! |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n 2n 2 n! (n 1)n (n 1) |
|
|
n 2 (n 1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
(n 2)n |
|
|
|
|
|
n 2 |
1 |
|
|
|
|
n 2 n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2n (n 1) |
n n 1 |
|
2n n |
|
|
|
2n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(n 1) n 1 |
|
|
1 |
lim |
|
n |
1 |
|
e |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
lim |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
en n 1 |
|
|
|
e |
|
>1. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)n |
|
|
|
||||||||
Так как значение предела меньше единицы, то ряд |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2nn! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Ответ: ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
n |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение типового варианта и образец оформления индивидуального задания № 6
Вариант №0
76
|
|
|
3x |
2 |
2 |
|
n |
1. Исследуйте функциональный ряд |
|
на сходимость в точ- |
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
n 1 |
2x 5 |
|
|
ке x 1,5.
2. Найдите область сходимости функционального ряда:
|
enx |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5x 3)n |
|
|
|
|
|
|
|
5n 1 |
|
|
|
|
||||||||
2.1. |
|
|
; |
|
|
|
2.2. |
|
; |
|
2.3. |
|
|
|
. |
||||||||||||||||
2n 3 |
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
n |
||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
n4 |
|
|
|
|
n 1 |
1 9x |
|
|
|
|
||||||||||||
3. Найдите интервал и радиус сходимости степенного ряда |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
( 1)n(x 6)n |
|
|
|
|
|
|
(x 7)2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!xn |
|||||||||||||
3.1. n 1 |
|
|
|
|
; |
3.2. |
|
n 1 |
|
|
; |
|
|
3.3. n 1 |
|
|
. |
||||||||||||||
|
(n 3)ln(n 3) |
|
(2n2 |
5n)4n |
|
4n |
|||||||||||||||||||||||||
4. Разложите функцию |
f (x) |
|
в ряд Тейлора по степеням (x a) и ука- |
||||||||||||||||||||||||||||
жите интервал сходимости полученного ряда: |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4.1. f (x) lnx, a 3; |
|
|
|
|
|
|
4.2. |
f (x) |
|
, a 2. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Разложите функцию |
в ряд Маклорена и укажите интервал схо- |
||||||||||||||||||||||||||||||
димости полученного ряда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5.1. f (x) |
|
|
|
|
x |
; |
|
|
|
|
|
5.2. |
f (x) xsin2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x |
2 3x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5.3. f (x) (x 1)ln 4 x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6. Вычислите определённые интегралы с точностью 0,001: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
0,1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
0,25 |
|
|
|
|
|
1/6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6.1. |
|
|
|
|
; |
|
|
6.2. |
|
x2 sin(10x2)dx; |
|
|
6.3. e x2 |
5 dx. |
|||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
32 x |
5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Разложите функцию в ряд Фурье на указанном отрезке. Постройте график суммы ряда Фурье:
7.1. f (x) 3 4x, [ ; ]; |
|
|
2x 1, |
|
3 x 0, |
||||||
7.2. f (x) |
|
|
0 x 3 |
[ 3;3]. |
|||||||
|
|
5x |
0, |
|
|
||||||
8. Разложите функцию f (x) sin |
, x [0; ] в ряд Фурье |
||||||||||
|
|||||||||||
8.1. по синусам; |
2 |
|
|
|
8.2. по косинусам. |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
n |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
3x |
2 |
|
|||
1. Исследуйте функциональный ряд |
|
|
|
|
на сходимость в |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
n 1 |
2x 5 |
|
точке x 1,5.
77
|
3x |
2 |
2 |
n |
x 1,5: |
||
Подставим в общий член ряда un(x) |
|
|
значение |
||||
2x 5 |
|||||||
|
|
|
|
|
3 2,25 2 |
n |
8,75 n |
|
35 n |
|
|
|
||||||||||||||||
un( 1,5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. В результате получаем чи- |
||||||||
2 ( 1.5) 5 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||||
словой ряд |
|
|
|
, |
который является эталонным рядом q |
|
. Так |
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n 1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
35 |
n |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
как в нашем случае q |
|
|
1, то ряд |
n 1 |
|
|
|
|
расходится. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: Ряд |
|
3x |
2 |
|
в точке x 1,5 расходится. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n 1 |
2x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Найдите область сходимости функционального ряда:
enx2
n 1 2n 3
В нашем случае u |
(x) |
enx2 |
|
|
|
e(n 1)x2 |
|
enx2 |
ex2 |
||||
|
, u |
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
.Вычислим |
|||
|
|
2(n 1) 3 |
|
|
|||||||||
n |
|
2n 3 |
n 1 |
|
|
|
2n 5 |
||||||
предел модуля их отношения т.е. |
lim |
un 1(x) |
. Получаем |
|
|
||||||||
|
|
|
n un (x)
lim |
enx2ex2 |
(2n 3) |
=ex2 |
lim |
2n 3 |
=ex2 . |
2 |
|
|
||||
n enx (2n 5) |
n 2n 5 |
|
Для того, чтобы найти область сходимости исследуемого ряда, решим
неравенство ex2 1. Откуда x2 0. Решения данное неравенство не имеет. Следовательно, ряд расходится на всей числовой оси, а областью сходимости является пустое множество.
Ответ: x .
|
|
|
|
|
(5x 3)n |
|
|
|
|||||
|
|
2.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
n4 |
n |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В нашем случае u |
(x) |
(5x 3)n |
, u |
n 1 |
(x) |
(5x 3)n 1 |
|
(5x 3)n(5x 3) |
. |
||||
n4n |
(n 1)4n 1 |
(n 1) 4n 4 |
|||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
78
Вычислим предел модуля их отношения, т.е. lim un 1(x) . Получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n un (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
(5x 3)n(5x 3) |
|
n4n |
|
lim |
|
(5x 3)n |
|
|
|
5x 3 |
|
lim |
|
n |
|
|
|
5x 3 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n |
|
(n 1)4n 4 |
|
(5x 3)n |
|
n |
|
4(n 1) |
|
4 |
|
n |
n 1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для того, чтобы найти область сходимости исследуемого ряда решим неравенство
5x 3
1.
4
Откуда |
|
5x 3 |
|
4 |
5x 3 4, |
5x 1, |
x 0,2, |
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
5x 3 4. |
5x 7. |
x 1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом интервал сходимости функционального ряда равен x ( 1,2;0,2). Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:
|
|
( 1)n |
|
|
при x 1,2 |
получаем числовой ряд |
. Это знакочередующийся |
||
n |
||||
|
n 1 |
|
ряд и он сходится условно. Следовательно исходный функциональный ряд в точке x 1,2 сходится;
|
1 |
|
|
при x 0,2 получаем числовой ряд |
. Это гармонический ряд и он |
||
|
|||
n 1 |
n |
||
расходится. Следовательно, исходный |
функциональный ряд в точке |
||
x 0,2 расходится. |
|
|
С учетом полученных результатов интервалом сходимости функцио-
|
|
|
(5x 3)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
нального ряда |
|
|
|
|
является промежуток 1,2;0,2). |
|
||||||||||
n4 |
n |
|
|
|
||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: x 1,2;0,2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.3. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
1 9x |
|
|
|
|
|
||
В нашем случае |
5n 1 |
|
|
|
|
|
|
5(n 1) 1 |
|
|
|
|
5n |
|
||
u |
(x) |
|
|
, u |
|
(x) |
|
|
|
|
|
. |
||||
(1 9x2)n |
|
(1 9x2)n 1 |
(1 9x2)n(1 9x2) |
|||||||||||||
n |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
Вычислим предел модуля их отношения, т.е. lim un 1(x) . Получаем
n un (x)
79
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
5n |
|
|
|
|
|
(1 9x2)n |
|
|
lim |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
. Для того чтобы |
|||||||||||||
(1 9x2)n (1 9x2) |
|
5n 5 1 |
|
1 9x2 |
|
|
1 9x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
найти область сходимости исследуемого ряда, решим неравенство |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 9x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
, |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Откуда |
|
|
1 9x |
5 |
|
1 9x 5, |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 9x |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
4 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости (это четыре точки):
|
|
4 |
|
|
n |
n 1 |
|
при x |
|
получаем числовой ряд |
( 1) 5 |
|
. Это знакочередую- |
||
|
|
n |
|
||||
3 |
|
n 1 |
3 |
|
|
щийся ряд и он расходится, так как не выполняется необходимый при-
знак сходимости |
lim |
u |
|
|
|
|
0 |
|
. Следовательно, исходный функциональ- |
|||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ный ряд в точке x |
|
4 |
|
|
|
расходится; |
|
|||||||||
3 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
при x |
|
получаем числовой ряд |
( 1)n5n 1 . Это знакочередую- |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
щийся ряд и он расходится, так как не выполняется необходимый при-
знак сходимости |
lim |
u |
|
|
|
0 |
|
. Следовательно, исходный функциональ- |
|||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ный ряд в точке x |
|
2 |
|
|
расходится; |
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n 1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
при x |
|
получаем числовой ряд |
|
( 1) 5 |
|
. Это знакочередую- |
|||||||||||
|
|
n |
|
||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
3 |
|
|
щийся ряд и он расходится, так как не выполняется необходимый при-
80