2.7ИДЗ матан
.pdfПроизводная функции |
|
, тогда: |
|
|
|||||||||
2cos |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
6 |
|
|
6 |
|
|
||||
|
|
|
|||||||||||
L |
2sin 2 2cos 2 d 2 |
|
sin2 cos2 d 2 d |
. |
|||||||||
|
3 |
||||||||||||
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
x et cost sint ,
3.3. 6 t 4.
y et cost sint ,
Так как линия задана в декартовой системе координат параметрически, длину дуги кривой найдём по формуле:
t2 |
|
|
|
yt 2 xt 2dt. |
|||
L |
|||
t1 |
|
|
Производные функций:
x et cost sint et sint cost 2et cost,
.
y et cost sint et sint cost 2et sint.
Тогда:
|
|
|
|
|
4 |
|
2et cost 2 |
2et |
|
L |
||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
4
2 et cos2 t sin2 tdt
6
sint 2 dt
2et |
|
|
|
|
|
|
4 |
2 e4 |
e6 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
Задание 4. Вычислите объёмы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной графиками функций y 4x x2,
y4 x:
4.1.вокруг Ox;
4.2.вокруг Oy.
Решение
4.1. y 4x x2, |
y 4 x вокруг Ox. |
y
y x 4 y = 4x–
V1
x
31
Рис. 4
Построим фигуру вращения – пересечение функций y 4x x2 и y 4 x вращаем вокруг Ox (рис. 4). Найдём абсциссы точек пересечения двух линий:
4x x2 4 x 4 x x 4 x 0
4 x x 1 0 x1 4; x2 1.
Объём фигуры вращения, ограниченной линией y x находим по формуле:
x2
VOx y2 x dx.
x1
В нашем случае, фигура полая, т.е. из объёма фигуры, образован-
ной кривой |
|
y 4x x2 надо удалить объём V |
|
|
фигуры, |
образованной |
||||||||||||||||||||||||||||
линией y 4 x. Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
V 4x |
x |
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
4 x |
|
|
||||||||||||
|
|
dx 4 x |
|
dx 4x x |
|
|
|
dx |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
x5 |
|
|
|
4 |
|
3 |
|
|
2 |
4 |
|
|||||
|
16x |
|
|
8x |
|
x |
|
16 8x x |
|
dx |
|
|
|
2x |
|
5x |
|
4x |
|
16x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
2 44 5 43 |
4 42 16 4 |
|
1 |
|
2 14 |
|
5 13 |
4 12 |
16 1 |
|
||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
|
|
44 |
|
|
|
|
108 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
куб.ед. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.2. y 4x x2, |
|
|
y 4 x вокруг Oy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1-ый способ. Построим фигуру вращения – |
|
пересечение функций |
||||||||||||||||||||||||||||||||
y 4x x2 |
и |
y 4 x вращаем вокруг Oy (рис. 5). В этом случае объём |
||||||||||||||||||||||||||||||||
фигуры вращения, ограниченной линией x x y |
|
находим по формуле: |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
y x |
|
|
y |
|
y = 4x– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VOy x2 y dx. |
|
|||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
V1 |
|
|
|
|
|
Найдём ординаты точек пересе- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чения двух линий. Так как абсциссы |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
V2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мы нашли x1 4; x2 |
1, то ординаты |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32
x
Рис. 5
находим подстановкой x1 и x2 |
в любое уравнение линий, |
например, |
||
в уравнение прямой: y1 4 4 0, y2 |
4 1 3. Выразим |
обратные |
||
функции x x y : |
|
|
|
|
|
|
|
2 4 |
|
y 4x x2 y x2 |
4x 4 4 x 2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
(x 2)2 |
|
|
|
x 2 2 4 y x 2 4 y
x2 4 y – правая и левая ветвь параболы,
y 4 x x 4 y – уравнение прямой.
Фигура полая, т. е. из объема фигуры, образованной правой ветвью
x 2 |
4 y надо удалить объём V2 |
фигуры, |
образованной прямой |
|||||||
x 4 y. Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
4 y |
4 y |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
VOy 2 |
|
|
dy. |
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Однако, фигура, образующая тело вращения, достигает своего наибольшего значения в вершине параболы y0 4 . На промежутке от y 3 до y 4 фигура вращения формируется за счёт правой и левой ветвей параболы. Фигура полая, следовательно, из объёма фигуры, образованной правой ветвью x 2 4 y надо удалить объём V1 фигуры, об-
разованной левой ветвью x 2 4 y . Тогда:
4 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
4 y |
4 y |
||||||
VOy 2 |
2 |
|
dy. |
|||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, фигура вращения вокруг Oy состоит из двух частей
VOy и VOy , и искомый объём есть сумма VOy VOy.
33
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 y |
4 y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
VOy VOy 2 |
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
4 y |
2 4 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 7y y |
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
dy |
4 4 y |
|
dy |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||
8 |
4 ydy |
|
4 y 2 |
8y |
y |
|
y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
2 |
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
8 2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
56 |
|
|
|
3 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
4 y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22.5 куб.ед. . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2-ой способ. Чтобы не разбивать фигуру вращения на элементарные (образованные только двумя – внешней и внутренней граничными функциями), для вычисления объема VOy можно использовать другую
формулу:
x2
VOy 2 x y x dx.
x1
При этом необходимо учитывать, что фигура полая, т.е. не забываем вычесть объём полости. Тогда:
4 |
4 |
VOy 2 x 4x x2 dx 2 x 4 x dx |
|
1 |
1 |
4 |
4 |
2 x [ 4x x2 4 x ]dx 2 [5x2 x3 4x]dx
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
5 |
x3 |
|
1 |
x4 |
2x2 |
4 |
2 |
11 |
1 |
|
22.5 куб.ед. . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Задание 5. Исследуйте на сходимость несобственные интегралы:
|
|
dx |
|
1 |
tgxdx |
|
|
||
5.1. |
|
; |
5.2. |
|
. |
||||
|
2 |
1 sin 3 |
|
|
5 |
||||
|
xln |
x 1 |
|
|
|
|
|
||
2 |
|
1 |
x4 |
1 |
Решение
|
dx |
||
5.1. 2 |
|||
|
. |
||
xln2 x 1 |
34
Это несобственный интеграл I рода. Для исследования сходимости
применим предельный признак сравнения. Функция g x эк-
1
вивалентна подынтегральной функции f x при x , xln2 x 1
так как:
lim |
f x |
lim |
xln2 x |
1. |
|
|
|
x 1 |
|||
x g x |
x xln2 |
|
Поэтому, исследуем сходимость интеграла для функции
1
g x xln2 x , а согласно признаку сходимости, интеграл от функции
1
f x будет вести себя так же. По определению: xln2 x 1
dx |
lima |
dx |
lim |
1 |
|
|
a |
0 |
1 |
const |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 xln2 x |
a 2 |
xln2 x |
a lnx |
|
|
2 |
|
ln2 |
|||
|
|
интеграл от функции g(x) сходится по предельному признаку сходимости. Исходный интеграл тоже сходится.
Замечание.
Поскольку мы применили признак сравнения для исходного интеграла и вычислили значение интеграла для эквивалентной функции, нельзя утверждать, что значение исходного интеграла
равно 1 . Можно лишь утверждать, что исходный интеграл ln2
сходится.
Вместо предельного признака сравнения можно было использовать 1-ый признак сравнения, т. е. подобрать бóльшую функцию
g x f x , интеграл от которой будет сходиться.
1 |
tgxdx |
|
|
|||
5.2. |
|
. |
||||
|
|
|
5 |
|||
1 sin 3 x4 |
||||||
1 |
1 |
Это несобственный интеграл II рода, так как подынтегральная функция имеет на отрезке интегрирования точку разрыва II рода x0 0. Для исследования сходимости применим предельный признак сравне-
35
ния. Используя эквивалентные бесконечно малые, найдём эквивалент для подынтегральной функции при x 0:
f x |
tgx |
|
|
|
x |
|
|
1 |
. |
||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 sin 3 x4 |
53 x4 |
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
5x |
3 |
|
|
1
Исследуем сходимость интеграла для функции g x 1 . Согласно
x3
tgx
признаку сходимости, интеграл от функции f x бу-
1 sin 3x4 5 1
дет вести себя так же. По определению:
1 |
dx |
|
0 |
dx |
|
1 |
dx |
lim |
0 dx |
lim |
1 |
dx |
. |
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 x3 |
|
1 x3 |
|
0 x3 |
|
1 x3 |
|
0 x3 |
Исследуем каждый интеграл отдельно. Если хотя бы один из интегралов расходится, то весь интеграл расходится
0 dx |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
0 |
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
|
|
|
lim |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 3 |
|
|
|
const |
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
интеграл сходится; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
dx |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
lim |
|
|
lim |
3 |
x |
|
|
|
|
|
3 |
(1 |
|
0) |
3 |
const |
|||||||||||||||||
|
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
0 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
0 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интеграл сходится. Таким образом, оба интеграла сходятся, следовательно, исходный интеграл сходится согласно предельному признаку сравнения.
36
Решение типового варианта и образец оформления индивидуального задания № 3
Вариант 0
1. Найдите общий интеграл дифференциального уравнения с разделяющимися переменными
1.1. 5xdx ydy 3x2 ydy xy2dx; |
1.2. 2 3y2 |
yy |
16 x2 |
0. |
2. Найдите общий интеграл однородного дифференциального уравнения первого порядка
2.1. 3y |
y2 |
|
8y |
|
2.2. xy |
3y3 10yx2 |
|
|
|
|
4; |
|
. |
||
x2 |
x |
y2 x2 |
3. Найдите общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка
|
|
|
|
xy |
|
x |
|
2 |
|
|
|
3.1. |
y |
|
|
|
|
|
3.2. 2(cos y cos2y x)y |
sin2y. |
|||
2(1 x2) |
|
2 |
; |
||||||||
|
|
4. Найдите общее решение уравнения Бернулли
8xy 12y (5x2 3)y3.
5. Найдите общий интеграл дифференциального уравнения в полных дифференциалах
|
|
xey2 dx (x2 yey2 |
tg y)dy 0. |
6. Решите задачу Коши |
|
||
6.1. y |
y |
x2,y(1) 1; |
6.2. y ctgx y 2,y(0) 2; |
|
2x
6.3.y2 x2 y xyy ,y(1) 1.
7. Определите тип дифференциального уравнения первого порядка и укажите метод его решения
7.1. y(3 x |
2 |
)y 1 y |
2 |
|
7.2. xy |
|
|
y |
|
||||
|
|
; |
y 1 ln |
|
|
; |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||
7.3. sin2x 2cos(x y) dx 2cos(x y)dy 0; |
7.4. |
y |
|
|
y |
|
|
|
|
||||
x y2 . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
37
Решение
1. Найдите общий интеграл дифференциального уравнения с разделяющимися переменными
1.1. 5xdx ydy 3x2 ydy xy2dx;
Перенесем слагаемое, содержащее dx из правой части уравнения в левую, а слагаемое с dy – из левой части в правую:
5xdx xy2dx 3x2 ydy ydy.
Вынесем общие множители за скобки
xdx(5 y2) ydy(3x2 1)
Разделим обе части уравнения на выражение (5 y2)(3x2 |
1): |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
ydy |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 1 |
|
|
|
|
y2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Интегрируя обе части уравнения получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
ydy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
y 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 d(3x2 1) |
|
1 d(y |
2 5) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
3x2 1 |
2 y2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
ln |
|
3x2 1 |
|
|
1 |
ln |
|
y2 |
|
1 |
|
|
C или ln |
|
3x2 1 |
|
3ln |
|
y2 |
1 |
|
6C. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3x2 1 |
|
|
|
y2 |
|
|
|
6C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Ответ: ln |
3ln |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1.2. |
|
2 3y2 |
yy 16 x2 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Выразим производную неизвестной функции |
y через дифференциалы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переменных y |
dy |
и умножим обе части уравнения на dx: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3y2dx y 16 x2dy 0. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Разделим обе части уравнения на выражение |
|
|
|
|
2 3y2 |
16 x2 : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ydy |
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 x2 |
|
|
|
|
2 3y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя обе части уравнения получим общий интеграл уравнения:
|
|
dx |
|
|
|
|
ydy |
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 arcsin |
|
2 |
2 3y2 C 0. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
16 x2 |
2 3y2 |
4 |
6 |
|
|
|
38
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
Ответ: arcsin |
|
|
2 3y2 |
C 0. |
|||
|
|
43
2.Найдите общий интеграл однородного дифференциального уравнения первого порядка
2.1.3y y2 8y 4;
x2 x
Данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением так как его правая часть является однородной функцией нулевого измерения :
f |
( x; y) |
( y)2 |
|
8 y |
4 |
y2 |
|
8y |
|
4 f (x;y). |
|
( x)2 |
x |
x2 |
x |
||||||||
|
|
|
|
|
y t x t исходное уравнение |
||||||
С помощью подстановки y t(x) x, |
преобразуется к уравнению с разделяющимися переменными:
tx t t2x2 8tx 4 3x2 3x
tx t t2 8t 4 3 3
tx t2 11t 4 3 3
dt x t2 11t 12. dx 3
В последнем уравнении разделим переменные:
dt |
|
dx |
. |
t2 11t 12 |
|
||
|
3x |
Вычислим отдельно интеграл от левой и правой частей уравнения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
1 |
|
|
dx |
|
1 |
ln |
|
x |
|
C, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
3 |
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
t2 |
11t 12 |
(t 5,5)2 42,25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
d(t 5,5) |
|
1 |
|
ln |
|
t 5,5 6,5 |
|
C |
1 |
ln |
|
t 12 |
|
C |
|||||||||||||||||||||
(t 5,5)2 |
(6,5)2 |
2 6,5 |
|
t 5,5 6,5 |
|
13 |
|
t 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
(yx) 12 |
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
13 |
(y |
) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39
Приравнивая полученные результаты получим общий интеграл уравнения :
1 |
ln |
|
x |
|
C |
1 |
ln |
|
(yx) 12 |
|
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
|
|
|
13 |
(y |
) 1 |
|
||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
Ответ: |
1 |
ln |
|
x |
|
C |
|
1 |
ln |
|
(yx) 12 |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
|
|
|
|
|
13 |
|
(y |
) 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
2.2. xy 3y3 10yx2 . y2 x2
Приведем это уравнение к виду y f (x;y). Для этого обе части уравнения разделим на x:
y 3y3 10yx2 . x(y2 x2)
Данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением так как его правая часть является однородной функцией нулевого измерения:
f ( x; y) |
3( y)3 10 y ( x)2 |
|
3y3 |
10yx2 |
f (x;y). |
|
x ( y)2 ( x)3 |
x y2 x3 |
|||||
|
|
|
||||
С помощью подстановки y t(x) x, |
y t x t уравнение преобразует- |
ся к уравнению с разделяющимися переменными: tx t 3t3 10t .
Перенесем t из левой части уравнения в правую и приведем к общему знаменателю:
tx 3t3 10t t t2 1
tx 3t3 10t t3 t t2 1
tx 2t3 11t t2 1
dt x 2t3 11t. dx
Разделим переменные в последнем уравнении:
40