1.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ИСЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

1.1.Основные понятия и определения теории вероятностей

Теория вероятностей изучает объективные закономерности массовых случайных явлений, проявляющиеся при многократном воспроизведении заданного основного комплекса условий. С каждым из случайных явлений связаны определенные события, которые могут осуществляться или не осуществляться в результате опыта. Например, если говорят, что процент стандартных деталей 92 % при данных условиях обработки (одна и та же деталь, станок, токарь.), то это означает, что из сотни деталей в среднем 92 стандартные детали. Конечно, не в каждой сотне будет 92 годные детали, иногда их будет 91, 94, 93 и т. д. Но в среднем при многократном изготовлении в одних и тех же условиях процент 92 будет оставаться неизменным.

Событие, которое при заданном основном комплексе условий:

-обязательно произойдет, называется достоверным;

-не может произойти, называется невозможным;

-может произойти, а может и не произойти, называется случайным. Количественной мерой объективной возможности осуществления со-

бытия при фиксированном основном комплексе условий является вероятность этого события. Так вероятность некоторого события A определяется как предел отношения

P A		n
	lim	A	,	(1.1)
	N	N
где N – общее число опытов; nA	– число опытов, в которых произошло со-

бытие A .

Практическая ценность понятия вероятности в том, что, хотя появление рассматриваемого события A (например, изготовление стандартных деталей) не может быть точно предугадано, однако есть все основания полагать, что в любой достаточно длинной серии испытаний относительная частота свершения события A будет мало отличаться от его вероятности.

Очевидно, что для достоверного события A имеем P A , для невозможного P A , для случайного P A .

Два события A и B называются статистически независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от того, произошло или нет другое событие. В противном случае событие A и B статистически зави-

симы.

Вероятность события A , найденная при условии, что осуществилось событие B , называется условной вероятностью события A и обозначается

8

P A | B или иногда PB A и читается – вероятность события A при условии, что состоялось событие B . Аналогично можно ввести условную вероятность

события B : P B | A . Для статистически независимых событий

P A | B P A , P B | A P B .

Вероятность события A, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий 1, 2, … , образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события A (формула полной вероятности)

P A P B P A | B P B P A | B ... P Bn P A | Bn , (1.2) где P B P B ... P Bn .

Пример 1.1. Два завода изготовляют лампочки и поставляют на рынок соответственно 70 % и 30 % всей потребляемой продукции. Из каждых 100 лампочек первого завода 83 стандартных и второго соответственно - 63. Тогда безусловная вероятность покупки стандартной лампочки потребителем на рынке

	P A .
				.				. .
	Но если мы знаем, что на рынке только продукция первого завода, то
	вероятность покупки стандартной лампочки изменится
	P A | B					. .

Здесь через B обозначено событие выпуска продукции первым заводом, через A – событие покупки стандартной лампочки.

Во многих практических ситуациях описание случайных явлений в терминах событий, когда отмечается лишь факт их наличия или отсутствия, т.е. дается качественная характеристика случайного явления, оказывается недостаточным. По этой причине целесообразнее представлять результаты опытов количественно в виде некоторой случайной величины.

Случайная величина есть величина определенной физической размерности, принимающая в результате эксперимента то или иное числовое значение, которое в принципе нельзя предсказать, исходя из основного комплекса условий проведения эксперимента. Случайная величина представляет собой количественную характеристику случайных явлений, не изменяющуюся во времени. Чтобы охарактеризовать случайную величину, необходимо:

1)указать область ее возможных значений;

2)задать способ количественного определения вероятности попадания случайной величины в произвольную подобласть этой области.

В зависимости от того, как определена область возможных значений, случайные величины подразделяются на дискретные и непрерывные.

9

Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа (т.е. между двумя соседними числами нет возможных значений). При этом число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Если случайная величина принимает любое значение в области возможных значений, при этом число возможных значений ее оказывается бесконечным и несчетным, то она называется непрерывной случайной величиной.

Способ количественного определения вероятностей попадания случайной величины в произвольные подобласти области ее возможных значений может быть задан с помощью закона распределения вероятностей случайной величины. Закон распределения вероятностей каждому возможному значению дискретной случайной величины или некоторому интервалу значений непрерывной случайной величины ставит в соответствие вероятность того, что случайная величина примет это возможное значение или попадет в данный интервал.

1.2.Функции распределения вероятностей случайной величины

Аналитическим выражением законов распределения служат функции распределения вероятностей. Кроме аналитического, законы распределения дискретных случайных величин могут быть заданы в виде таблицы или гра-

фика.

Остановимся на понятии функции распределения вероятностей.

Интегральной функцией распределения вероятностей случайной вели-

чины X называется функция
F(x) P X x ,						(1.3)
определяющая для каждого значения x			вероятность того, что случайная ве-
личина X примет значение, меньше чем x .
Здесь X – случайная величина;			x – конкретное значение случайной
величины (теоретическое или наблюдаемое).
Основные свойства интегральной функции распределения или как час-
то ее называют просто функции распределения:
F ( ) P X ;
F ( ) P X ;
F (x) для всех x;						(1.4)
F (x) неубывающая функция,
т.е. F (x		) F (x ),если x			x .

На рис. 1.1 приведен возможный вид интегральной функции распределения непрерывной случайной величины.

10

P x X x F x F x .

Очевидно, вероятность того, что случайная величина X примет значе-
ние, заключенное в интервале a, b , равна
P a X b F(b) F(a).				(1.5)
Аналогично
P X a F(a),				(1.6)
так как можно раскрыть
P X a F( ) F(a) F(a)
F(x)
1
F(b)
F(a)
0	a	b	x
Рис. 1.1. Возможный вид интегральной функции распределения
непрерывной случайной величины

Следствие. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение x , равна нулю P X x , хотя это

возможное событие, т.е.

(1.7)

Пример 1.2. Интегральная функция непрерывной случайной величины X (время безотказной работы устройства) равна

F (x) e x / T , для x .

Найти вероятность безотказной работы устройства за время x T .

Решение. P X T P X T P X T

F (T ) F ( ) e e . e e

Пример 1.3. Закон распределения дискретной случайной величины задан в виде следующей таблицы, первая строка которой содержит возможные

значения xi , а вторая - вероятности pi .

	xi	2	4	7
					, где pi	.
	pi	0.5	0.2	0.3
					i
Необходимо найти интегральную функцию					F (x) и начертить ее гра-

фик.

11

Решение. Если x , то F (x) . Если x , то F(x) . , еслиx , то F (x) . . Если x , то F(x) . Вероятности для последую-

щих интервалов суммируются с предыдущими. Окончательно имеем (рис.

1.2).

																																							при								x ,
																																							при								x ,
									F (x)																				.
																																							при								x ,
																															.
																																							при								x .
1								F(x)
0.7
0.5
0		2																											4										7									x
							Рис. 1.2. Пояснения к примеру 1.3

Если интегральные функции распределения непрерывных случайных величин дифференцируемы во всей области их возможных значений, то закон распределения вероятностей может быть описан в аналитической форме

с помощью дифференциальной функции распределения вероятностей
f (x)	dF (x)	lim		P x X x x		,	для x . (1.8)
	dx	x		x
Если x – достаточно малая величина, то
	f (x)		P x X x x		,
				x

т. е. функция f (x) равна отношению вероятности попадания случайной величины X внутрь интервала (x, x x) , к величине этого интервала. Поэто-

му зачастую эту функцию называют функцией плотности распределения вероятностей.

Основные ее свойства:

		x
f (x) ;	f (x)dx ;	f (x)dx F (x) .	(1.9)

Следствие

12

P a X b		b
		f (x)dx;
		a
	a
P X a	f (x)dx;			(1.10)
P X b
	f (x)dx.
	b

Возможный вид дифференциальной функции распределения вероятностей приведен на рис. 1.3. Площадь заштрихованных зон соответствует вероятности попадания случайной величины в соответствующий интервал.

		f(x)
P X a		P a X b
			P X b
a	0	b	x

Рис. 1.3. Возможный вид функции плотности вероятности непрерывной случайной величины

Примеры функций распределения случайных величин.

Равномерное распределение имеет следующую функцию распределения вероятностей

			, если a x b,
		a
f (x) b
			если x a, x b,
,

где a b .

плотности

(1.11)

Числовые характеристики равномерного распределения – математиче-

ское ожидание m	x	и дисперсия		равны
			x
			a b				(b a)
		mx			, x			.	(1.12)

В системе Mathcad вычисление интегральной F (x) , дифференциальной f (x) функции равномерного распределения с параметрами a ,b на интервале (-1, 6) с шагом x . и вычисление числа c , удовлетворяющего

13

условию P X c p , где p . – заданная вероятность этого события,

представлено на рис. 1.4.

Нормальное распределение (Гаусса) определено следующей функцией плотности распределения вероятностей

						( x mx )
f (x)				e			x	,	(1.13)
		x

где mx , x – математическое ожидание и дисперсия случайной величины X .

В системе Mathcad вычисление интегральной, дифференциальной функции нормального распределения с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением σ 2 в интервале ( , ) с ша-

гом x 0.1 и	вычисление числа x1, удовлетворяющего условию
P( X x ) p , где	p . – заданная вероятность, представлено на рис.1.5.

Рис. 1.4. Функции и графики равномерного распределения в системе Mathcad

14

Рис. 1.5. Функции и графики нормального распределения в системе Mathcad

Это распределение полностью задается двумя параметрами: математическим ожиданием mx и дисперсией x . Поэтому во многих практических задачах, предполагая, что распределение случайной величины X является нормальным, пытаются оценить mx и x . Нормальное распределение ис-

пользуется наиболее часто для описания свойств различных случайных величин.

Теоретическое обоснование существования нормального распределе-

ния дает центральная предельная теорема.

Суть ее такова. Когда есть основание рассматривать исследуемую случайную величину как сумму большого числа независимых случайных воздействий, влияние каждого из которых ничтожно мало, то даже если распре-

15

деления составляющих воздействий неизвестны, то можно ожидать, что исследуемая случайная величина будет распределена по нормальному закону. Отсюда не следует, что любая случайная величина, если не доказано противное, имеет нормальное распределение. Нормальное распределение есть один из типов распределений, встречающихся в природе, хотя и имеющее наибольшее практическое приложение. Оно обладает удобными математическими свойствами, поэтому, в частности, большинство методов математической статистики построено в предположении, что исследуемая величина подчиняется нормальному распределению, хотя на практике всегда требуется проверка данного предположения.

Для нормального распределения вероятность того, что Х примет значение в интервале a,b равно

P a X

				x	x	/
где Ф(x)
				e		dx

b m				a m
b Ф		x		Ф		x		,	(1.14)
	x				x

– функция Лапласа, сведенная в таблицы, имеется

во многих справочниках.

В частности, вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа ,

	P | X m | Ф			.	(1.15)
	x
			x
Пример 1.4. Пусть X – нормально распределенная случайная величи-
на с mx и x	. Необходимо найти вероятность того, что в результате

	испытаний X примет значение из интервала (12, 14).
	Решение.
	P X Ф			Ф			Ф( ) Ф( ) ,
	где
	Ф( ) . ,			Ф( ) . .

Следовательно,

P X . .

В системе Mathcad этот расчет выглядит следующим образом: pnorm (14, 10, 2) – pnorm (12, 10, 2) = 0. 136.

16