ЭМС

лом витков w (см. рис. 1.5), внутри которого не вакуум, а ферромагнитный сердечник. Этот сердечник имеет также тороидальную форму, сечение площадью S и длину средней линии lCP.

Из выражений (1.2) и (1.6) видно, что для заданной магнитной системы магнитный поток Ф пропорционален индукции B, а МДС Iw пропорциональна напряжённости H. Поэтому графики Ф = f(Iw) и B = f(H) различаются только масштабом отображения. Характеристика Ф = f(Iw) называется вебер-ампернной, но в большинстве случаев используется зависимость B = f(H), график которой показан на рис. 1.6. Характер всей зависимости объясняется доменной структурой ферромагнетика.

В начальной точке 0 напряжённость H = 0 (сердечник размагничен, тока в обмотке нет), и никакого внешнего магнитного поля тоже нет (B = 0), поскольку домены распределены хаотичным образом и их магнитные моменты взаимно компенсируются. При увеличении напряжённости возрастает индукция поля по кривой 0-A-C-S. На начальном участке 0-А (см. рис. 1.6) происходит обратимое смещение границ доменов. Те домены, которые сориентированы навстречу полю обмотки, сокращают свой объём. Домены, сориентированные согласно с внешним полем, расширяют свои границы. При этом в ферромагнетике возникает нескомпенсированное магнитное поле, которое складывается с внешним полем обмотки. За счёт этого индукция B в ферромагнетике возрастает существенно больше, чем в вакууме.

Второй участок А-С (см. рис. 1.6) характеризует необратимые изменения границ доменов. Возврат из любой точки этого участка в точку 0 при отключении тока будет невозможен. Кривизна участка А-С мала, а длина наибольшая. В точке С происходит полное вырождение доменов, сориентированных навстречу внешнему полю. Поэтому уже все домены усиливают магнитное поле обмотки.

Однако в точке С многие домены расположены не строго по направлению внешнего поля, а под некоторым углом. Дальнейшее увеличение напряжённости H заставляет домены разворачиваться и ещё больше усиливать поле. И в точке S достигается максимальное влияние ферромагнетика на магнитное поле, поскольку все домены сориентированы строго по направлению поля. Это явление называется насыщением ферромагнетика, а значение BS называется индукцией насыщения. Дальнейшее увеличение напряжённости (тока в обмотке) приводит к медленному росту индукции только за счёт явления, описанного законом Био-Савара-Лапласа (1.1), так же, как в вакууме. Кривая 0-А-С-S называется начальной кривой намагни-

чивания.

Как уже отмечалось, часть доменных процессов, происходящих при намагничивании, были необратимыми. Поэтому домены не могут вернуться в исходное первоначальное состояние (в точку 0) самопроизвольно после снятия поля. При отключении тока (H = 0) индукция уменьшается не

1 1

до нуля, а до значения Br (см. рис. 1.6). Величина Br называется остаточной индукцией. Для того чтобы снизить индукцию до нуля, надо в обмотку подать встречный ток (H < 0). Напряжённость поля H = – HC, при которой индукция B = 0, называется коэрцитивной силой. При дальнейшем наращивании отрицательного тока процесс деформации и разворота доменов происходит аналогично, только лишь в противоположную сторону.

Таким образом, если ток в обмотке изменять циклично, то получим полную характеристику материала, которая имеет вид петли гистерезиса (см. рис. 1.6). Если при построении петли достигалось насыщение (точка S на рис. 1.6), то полученная петля называется предельной. В противном случае петля называется частной и будет располагаться внутри предельной (рис. 1.7 пунктирные линии). Частные петли могут быть симметричными или несимметричными (см. рис. 1.7). Если провести много симметричных петель гистерезиса и соединить все их вершины, то получим основную кривую намагничивания (см. рис. 1.7). Эта кривая мало отличается от начальной.

Рис. 1.6

Рис. 1.7

Существование гистерезиса в свойствах ферромагнетиков вызвано тем, что часть доменных процессов необратима. На выполнение этих процессов тратится энергия внешнего магнитного поля, и эта энергия не возвращается назад. Энергия, затраченная на полный цикл по петле гистерезиса, пропорциональна её площади. Таким образом, ферромагнетик, у которого структура такова, что домены разворачиваются с трудом, имеет широкую петлю гистерезиса (большое значение HC). В зависимости от характеристик петли гистерезиса ферромагнитные материалы делятся на три группы.

► Магнитомягкие материалы имеют узкую петлю гистерезиса, с маленькой площадью, маленькое значение коэрцитивной силы, большую индукцию насыщения и большое значение магнитной проницаемости (рис. 1.8, петля 1). Они легко намагничиваются с малыми потерями на пе-

1 2

ремагничивание. Как правило, это мягкие отожжённые стали и сплавы (низкоуглеродистая сталь, кремнистая сталь, пермаллои – сплав железа с никелем и кобальтом и др.). Их свойства и определяет область применения. Магнитомягкие материалы используют для изготовления магнитопроводов в электромагнитных устройствах (сердечники трансформаторов, генераторов, двигателей, электромагнитов и др.).

Из выражения (1.7) получим значение относительной магнитной проницаемости ферромагнитной среды

μ= 1 B =Tg(α) .

μ0 H

Для пояснений обратимся к рис. 1.9, где показана основная кривая намагничивания. Относительная магнитная проницаемость в точке A определяется по значениям B и H в этой точке. Однако из-за нелинейного характера кривой намагничивания значение μ не постоянно и меняется в широких пределах. Максимальное значение μ достигается вблизи верхнего изгиба (колена) на кривой намагничивания (см. рис. 1.9, αMAX). В тоже время на начальном участке (вблизи нуля) проницаемость низка (см. рис. 1.9, αНАЧ). Малое значение μ в слабых магнитных полях является существенным недостатком для большинства ферромагнитных материалов.

BS	B
		αMAX
	А
0	α	αНАЧ	H
Рис. 1.8		Рис. 1.9

► Ко второй группе ферромагнетиков относятся магнитотвёрдые материалы. У них широкая петля гистерезиса и большое значение коэрцитивной силы (рис. 1.8, петля 2). Перемагничиваются такие материалы с большим трудом, поэтому после снятия намагничивающего поля в них остаётся большой запас магнитной энергии. Это свойство используется при изготовлении постоянных магнитов. Для получения магнитотвёрдых материалов применяют сплавы Fe-Ni-Al-Co в разных сочетаниях, магнитотвёрдые ферриты бария или кобальта, сплавы на основе редкоземельных элементов, например SmCo5, а также материалы типа феррум-неодим-бор (Fe-

1 3

Nd-B). Рабочий участок петли гистерезиса у постоянных магнитов лежит во втором квадранте. Эта часть петли называется кривой размагничивания. К основным характеристикам магнитотвёрдых материалов относится остаточная индукция Br, коэрцитивная сила HC и максимальная удельная магнитная энергия WMAX = BD HD / 2, где D – точка на кривой размагничивания, соответствующая максимальной магнитной энергии магнита.

► В третью группу входят магнитные материалы специального назначения. К ним можно отнести материалы с прямоугольной петлёй гистерезиса, магнитострикционные, термомагнитные, ферриты СВЧ, материалы со средней магнитной твёрдостью (реманентные) и некоторые другие.

1.4. Ещё два закона электромагнетизма

1.4.1.Закон электромагнитной индукции

Этот закон является основополагающим законом электромеханики. Нет ни одного электромагнитного устройства, в котором не действовал бы этот закон. Открыл его Майкл Фарадей в 1831 году. Причём характерно, что к тому времени электродвигатель, т.е. преобразователь электрической энергии в механическую, был уже изобретён (в 1821 году), и напрашивалась идея об обратном превращении, т.е. механической энергии в электрическую.

Существует легенда о том, что опыт с обмоткой и магнитом некий неудачливый изобретатель проделал раньше Фарадея. Опыт был поставлен корректно: гальванометр был подключён к обмотке, внутрь которой вставлялся постоянный магнит. Однако он перестарался, решив, что магнит будет действовать не только на обмотку, но и на гальванометр. Поэтому гальванометр на длинном проводе он разместил в соседней комнате. И когда он прибегал смотреть на гальванометр после того, как вставлял магнит в обмотку, прибор уже ни чего не показывал, поскольку ЭДС возникает только во время изменения магнитного потока.

В соответствии с законом электромагнитной индукции в контуре

(см. рис. 1.3) с числом витков w индуцируется ЭДС e, пропорциональная производной от потокосцепления Ψ по времени

e = −	dΨ	= −w	dФ	.	(1.8)
	dt
			dt

Во-первых, из выражения (1.8) следует, что ЭДС возникает только при изменении магнитного потока. Причём важно не значение потока, а скорость его изменения.

Во-вторых, знак минус в выражении (1.8) показывает на то, что явление электромагнитной индукции препятствует изменению потокосцепления. Рассмотрим это утверждение на примере контура по рис. 1.3. Предположим, что вся цепь контура (обмотка, проводники и источник питания) имеет активное сопротивление R = 0. По контуру протекает ток i1, и его пронизывает первичный магнитный поток Ф1, созданный этим током.

1 4

Предположим теперь, что в контур вставили ферромагнитный сердечник, в результате чего магнитный поток должен возрасти. Но как только поток увеличится до значения Ф1+ Ф, сразу же в контуре возникнет ЭДС самоиндукции (в соответствии с (1.8)) и, следовательно, дополнительный ток, который создаст свой магнитный поток (в соответствии с законом Био- Савара-Лапласа), направленный навстречу потоку Ф1+ Ф, и вернёт суммарное значение до уровня Ф1. И наоборот, если первичный магнитный поток уменьшается, то в системе возникает свой поток, препятствующий его уменьшению.

Следует отметить, что поток и потокосцепление будут строго неизменными только в контуре с нулевым сопротивлением. Если сопротивление не равно нулю, то часть ЭДС самоиндукции будет тратиться на активном сопротивлении контура, и оставшейся части ЭДС уже не хватит для полного восстановления потока.

Поскольку применение такого запутанного правила вызывает затруднение, придумали мнемоническое правило правой руки. Это правило применяется для анализа работы генератора. Правую руку надо расположить так, чтобы силовые линии магнитного поля (индукция B) входили в её ладонь (рис. 1.10), большой отогнутый палец правой руки должен показывать направление перемещения проводника (скорость V), относительно

поля, тогда четыре пальца правой руки покажут направление ЭДС e в этом проводнике.

В качестве примечания следует отметить, что закон электромагнитной индукции иногда называют законом Ленца или законом Фарадея, а дифференциальная форма закона электромагнитной индукции соответст-

вует второму уравнению Максвелла:

rot(E) = − ddtB ,

где: E – вектор напряжённости электрического поля в точке.

1.4.2. Закон Ампера

На элементарный проводник длиной dl с током I, находящийся в

магнитном поле с индукцией B , действует сила Ампера
dF = I [ dl , B ],	(1.9)

где: dl – вектор, численно равный dl и направленный в сторону тока I. Векторное произведение в выражении (1.9) раскрывается следую-

щим образом:

dF = I dl B Sin(α),

где: α – угол между векторами dl и B .

1 5

Направлена сила Ампера dF перпендикулярно к плоскости, в кото-

рой лежат векторы dl и B , таким образом, чтобы из конца вектора dF

было видно кратчайшее вращение вектора dl в сторону вектора B против часовой стрелки.

Упростить применение закона Ампера можно с помощью мнемонического правила левой руки. Это правило применяется при анализе работы двигателя постоянного тока. Левую руку надо расположить так, чтобы силовые линии магнитного поля (индукция B) входили в её ладонь (рис. 1.11), четыре пальца левой руки должны быть направлены в сторону тока I, тогда большой отогнутый палец левой руки будет показывать направление силы Ампера F.

Рис. 1.10

Рис. 1.11

1.5. Потери энергии в ферромагнетиках

Поскольку свойство гистерезиса в ферромагнетиках объясняется наличием необратимых процессов, то каждый цикл перемагничивания приводит к потере энергии, забираемой от источника, питающего обмотку. Если рассмотреть идеализированную обмотку, у которой активное сопротивление R = 0 и весь магнитный поток проходит только по сердечнику, то с

1 6

учётом (1.8), (1.6) и того, что u = –e, мгновенное значение активной мощности равно

p = u i = w ddtФ H wlCP = S lCP H dBdt .

Для синусоидального тока средняя мощность за период равна

P =	1	T∫u i dt =S lCP ∫H dB .	(1.10)
	T 0

Как видим, эта мощность равна площади петли гистерезиса, умноженной на объём магнитопровода V = S lCP.

Площадь предельной петли гистерезиса является свойством ферромагнитного материала и не изменяется. Но если значение индукции В не достигает насыщения, то петля будет частной, и её площадь уменьшится пропорционально В2. Кроме того, надо учесть, что в (1.10) определена мощность за один цикл перемагничивания. Поэтому общие потери на гис-

терезис в магнитопроводе пропорциональны частоте f
PГ = kГ f BM2 V ,	(1.11)

где: kГ – коэффициент, характеризующий петлю гистерезиса данного ферромагнитного материала; BM – амплитудное значение магнитной индукции.

Второй вид потерь энергии в магнитопроводе связан не с его магнитными свойствами, а с его электропроводностью. Как уже указывалось, из ферромагнитных материалов известно только три. Это железо, никель и кобальт. Все три – металлы, т.е. электропроводники. На рис. 1.12, а показана обмотка с синусоидальным током i, намотанная на электропроводный сердечник. Причём, является ли он ферромагнитным, в данном случае не важно.

Если в данный момент времени ток i положительный, то направление магнитного потока и индукции B будет таким, как показано на рис. 1.12, а. Поскольку ток и поток синусоидальные, то в соответствии с (1.8) в любом замкнутом электропроводном контуре возникнет ЭДС. Тело рассматриваемого сердечника – электропроводное и его можно рассматривать как множество контуров, в которых возникает ЭДС и, следовательно, ток iB (см. рис. 1.12, а). Когда поток возрастает, направление тока iB соответствует рисунку, а поскольку этот ток имеет вид замкнутого вихря, то его называют вихревым током (током Фукко).

При прохождении вихревого тока по сердечнику он оказывает тепловое действие, пропорциональное квадрату своего значения. Это и есть потери на вихревые токи1. Ток iB пропорционален ЭДС, проводимости γ материала сердечника и обратно пропорционален длине каждого контура,

1В некоторых случаях нагрев электропроводных тел с помощью вихревых токов оказывается полезным. Например,

вСВЧ печах. Однако, применительно к пищевым СВЧ печам надо иметь в виду, что вихревые токи, проходя через электролит (пищевой продукт), оказывают и электрохимическое действие (электролиз). Поэтому суммарная польза от применения СВЧ печей в пищевых целях сомнительна.

1 7

а ЭДС пропорциональна площади соответствующего контура и частоте f. Таким образом, уменьшить вихревые токи можно, если увеличить удельное сопротивление материала и сократить площадь контуров при большой их длине.

Для уменьшения площади контуров сердечник собирают из тонких, изолированных друг от друга при помощи лака, пластин. Такой сердечник называют шихтованным (пакет) (рис. 1.12, б). Площадь контура в каждой пластине пропорциональна её толщине d, при этом длина контура меняется мало. При промышленной частоте 50 Гц толщину листов обычно выбирают 0,3 ... 0,5 мм. На более высоких частотах используют пластины тоньше,

до 0,02 мм.

а) б)

Рис. 1.12

Чтобы снизить электропроводность стального сердечника, в материал добавляют 0,5 ... 4,5 % кремния.

С учётом рассмотренных факторов потери на вихревые токи можно выразить как:

PB = kB γ d 2 f 2 BM2 V ,

(1.12)

где: kВ – коэффициент вихревых токов данного сердечника.

1 8

2. ОБОБЩЁННАЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

На рис. 2.1 показана схема электромеханической системы, в которой проявляются как механические, так и электрические взаимодействия. На неподвижном изоляционном, немагнитном основании 1 с помощью пружины 2 удерживается ферромагнитный и электропроводный (например, железный – Fe) сердечник 3. Этот сердечник может перемещаться внутри обмотки 4 в горизонтальном направлении. Справа от сердечника 3 расположен неподвижный электрод 5 (например, медный – Cu).

Всистеме действуют механические силы. Во-первых, ньютоновская сила инерции (из-за того, что сердечник 3 обладает массой m). Во-вторых, сила упругости пружины. В-третьих, сила трения из-за того, что сердечник 3 перемещается в вязкой среде.

Всистеме также действуют силы электрического происхождения. Это электромагнитная сила, действующая на ферромагнитный сердечник 3 со стороны обмотки 5, а также кулоновская электростатическая сила между сердечником 3 и электродом 5.

Обозначим механические величины:

x – перемещение сердечника; m – масса сердечника;

kD – коэффициент вязкого трения (диссипации);

kУ – упругость пружины (1/kУ – жёсткость пружины); v – скорость;

a – ускорение.

1

2

3

4

5

	kD
	kУ
	Fe	x	Cu
	m

i u

Рис. 2.1

С учётом второго закона Ньютона, силы вязкого трения, которая пропорциональна скорости перемещения и закона Гука, напишем уравнение для механических сил.

1 9

F	= m a + k		v +	x
				kУ .		(2.1)
МЕХ		D

Теперь обозначим электрические величины рассматриваемой системы: i – сила тока;

u – напряжение;

L – индуктивность обмотки 4;

R – активное сопротивление обмотки 4;

C – ёмкость конденсатора, образованного электродом 5 и сердечником 3.

На рис. 2.2 показана схема электрической цепи нашей системы, в которой использованы принятые обозначения.

i

L

R

C

u

Рис. 2.2

Входное напряжение u раскладывается на три части: напряжение на индуктивности uL = –eL= dψ/dt, напряжение на активном сопротивлении uR и напряжение на конденсаторе uC.

	u = L	di	+ R i +	q	(2.2)
		dt		C

Перепишем выражение (2.1), учитывая, что ускорение a является второй производной от перемещения x, скорость v – первой производной от перемещения x, а также перепишем выражение (2.2) с учётом того, что ток i есть первая производная от заряда q.

FМЕХ	=	m x´´	+	kD x´	+	1/kУ x,
u	=	L q´´	+	R q´	+	1/C q.

Из полученных дифференциальных уравнений видна аналогия между механическими и электрическими величинами. Перемещению x и силе F в механической системе соответствует заряд q и напряжение u в электрической. Кроме того, механическим величинам: массе m, коэффициенту трения kD и упругости kУ соответствуют электрические величины: индуктивность L, сопротивление R и ёмкость C. Такая аналогия прямо соответствует физическим представлениям о процессах, поэтому она называется прямой.

Однако можно поставить в соответствие другие пары величин. Перемещению x будет соответствовать потокосцепление Ψ, силе F будет соответствовать ток i. Такая аналогия называется обратной. Соответствия

2 0