Глава 01 Системы линейн уравн

				Глава 1. Системы линейных уравнений																										27
Пример 1.10. Пусть
								2					3						B					1		2
				A											,											,
													0
								1																1		3
тогда
				AB				2					3 1 2												1	13			,
								1					0 1 3												1	2
								1					2 2						3					4		3
				BA
													3												1	3
								1							1 0
и AB BA, однако								A		3,					B		5,
		AB				1		13				15,							BA					4		3		15
						1		2																1		3

и

AB AB BA .

При вычислении определителей часто применяют различные приемы, позволяющие значительно сократить объем вычислений.

Как правило, если строки (столбцы) определителя содержат нули, то разложение проводят по строке (столбцу), которая содержит наи-

большее количество нулей. Перечисленные выше свойства опреде-

лителей как раз помогают быстрее получить результат.

28	Глава 1. Системы линейных уравнений
Пример 1.11. Вычислить определитель
			2	3	3	4
			2	1	1	2		.
			6	2	1	0
			2	3	0	5

Все элементы первого столбца определителя содержат общий мно-

житель 2, который мы вынесем за знак определителя

		1	3	3	4
	2	1	1	1	2	.
		3	2	1	0
		1	3	0	5

Третий и четвертый столбцы определителя содержат нули. Выберем для разложения третий столбец и сначала попытаемся увеличить число нулей в столбце. Для этого последовательно выполним сле-

дующие действия:

умножим третью строку на 3 и прибавим ее к первой строке;

прибавим третью строку ко второй строке (сама третья стро-

ка при таких действиях остается неизменной):

	10	9	0	4		10	9	4		10	3	4
	4	3	0	2
2					2 1 A33 2	4 3		2	2 3	4	1	2
	3	2	1	0
						1	3	5		1	1	5
	1	3	0	5

теперь к первому столбцу прибавим второй, умноженный на

1, и разложим определитель по третьей строке:

													Глава 1. Системы линейных уравнений																			29
						7	3					4							7	4				7	3
2 3						3 1						2		6		( 1)						5
																			3	2				3	1
						0	1						5
																			6( (14 12) 5(7 9)) 6 8 48.
Пример 1.12. Вычислить определитель:
		1	2	3			4						1	2		3				4
		2 3 4 1											0 1			2				7
		3 4 1 2											0 2			8				10
		4 1 2 3											0 7			10				13
									1			2		3		4					1		2		7					1	1	7
									0			1		2		7
				2														2			1 4				5	41 2						5
									0			1		4		5
																					7		10		13				7		5	13
									0			7		10	13

4((26 25) 1(13 35) 7(5 14))

4(23 63) 160.

1.3Системы линейных уравнений.

Правило Крамера

Множество решений системы линейных уравнений

Вобщем виде систему m линейных уравнений, содержа-

щую n неизвестных x1, x2 , , xn , записывают следующим об-

разом:

30	Глава 1. Системы линейных уравнений
	a11x1 a12 x2 a1n xn b1,
	a21x1 a22 x2 a2n xn b2 ,						(1.6)
			am2 x2	amn xn	bm.
	am1x1
	Действительные		числа2	aij называют		коэффициентами
уравнений (коэффициентами системы), bi –					свободными членами
уравнений (свободными членами системы).
Определение 1.12. Решением системы (1.6)					называется упорядо-
				~		~	~
ченный набор (последовательность) чисел ( x1,						x2 ,	, xn ), кото-

рые при подстановке в заданном порядке вместо соответствующих неизвестных системы обращают каждое уравнение системы в вер-

ное числовое равенство.

Совокупность всех решений системы образует множество решений системы.

Если система имеет хотя бы одно решение, то говорят, что такая система совместна, в противном случае, когда решений нет и множество решений пусто, систему называют несовместной.

Определение 1.13. Две системы линейных уравнений называются

эквивалентными или равносильными, если они имеют одинаковое множество решений.

2 В рамках нашего курса лекций aij R, однако можно было бы исследо-

вать системы с комплексными или, например, функциональными коэффициентами.

Глава 1. Системы линейных уравнений

31

Правило Крамера решения систем линейных уравнений

Правило Крамера применяют при решении систем, в кото-

рых число уравнений и количество неизвестных совпадают (m n).

Рассмотрим сначала систему двух уравнений с двумя неизвест-

ными:

a		x	a	x		b ,	(1.7)
	11	1	12		2	1
a21x1 a22 x2 b2.

При поиске решений исключим из уравнений системы неизвестную x2 . Для этого умножим почленно первое уравнение на коэффициент a22 , а второе — на a12 и сложим полученные равенства:

(a11a22 a21a12 )x1 a22b1 a12b2 . (1.8)

Аналогичным образом придем к уравнению, которое содержит толь-

ко неизвестную x2 :

(a11a22 a21a12 )x2

a11b2

a21b1 .

(1.9)

Нетрудно заметить, что коэффициенты при x1 и x2 в (1.8), (1.9) и

правые части этих равенств совпадают с соответствующими опреде-

лителями второго порядка:

a11

a12

,

1

b1

a12

,

2

a11

b1

.

(1.10)

a21

a22

b2

a22

a21

b2

В результате уравнения (1.8), (1.9) можно записать сле-

дующим образом:

32 Глава 1. Системы линейных уравнений

x1		1 ,		x2 2 .					(1.11)
Если теперь предположить, что 0, то из (1.11) получим
x		1	,	x			2	.	(1.12)
1					2

Формулы вида (1.11) и (1.12) называют формулами Крамера.

Теперь перейдем к изучению системы трех уравнений с тре-

мя неизвестными:

a x a x

a x

b ,

11

1

12

2

13

3

1

(1.13)

a21x1 a22 x2

a23 x3

b2 ,

a

31

x a

32

x

2

a

33

x

3

b .

1

3

Системе (1.13) соответствует определитель, составленный

из коэффициентов при неизвестных x1,

x2 , x3 :

a11

a12

a13

a21

a22

a23

.

(1.14)

a31 a32 a33

Определитель называется определителем системы.

Введем (по аналогии с формулой (1.10)) еще три дополни-

тельных определителя:

b1

a12

a13

a11

b1

a13

a11

a12

b1

, (1.15)

1

b2

a22

a23

, 2

a21

b2

a23

, 3

a21

a22

b2

b3

a32

a33

a31

b3

a33

a31

a32

b3

Глава 1. Системы линейных уравнений

33

каждый из которых получен из определителя системы заменой столбца коэффициентов при соответствующей неизвестной столб-

цом свободных членов системы.

На следующем шаге мы попробуем получить формулы, по-

хожие на (1.11). С этой целью умножим почленно первое уравнение

системы (1.13)	на алгебраическое дополнение A11 , соответствую-
щее элементу a11		определителя ∆ ; второе уравнение системы ум-
ножим на A21 , третье – на A31						:
	A a x A a x								A a x						A b ,
	11		11	1	11	12		2	11	13			3		11	1
A21a21x1 A21a22 x2 A21a23 x3 A21b2 ,
A a			31	x A a		32	x	2	A a		33	x		3	A b .
	31			1	31				31						31	3
Сложим все три уравнения:
(a11 A11 a21 A21 a31 A31)x1 (A11a12 A21a22 A31a32 )x2
(A11a13 A21a23 A31a33 )x3							A11b1			A21b2 A31b3 . (1.16)
В равенстве (1.16) коэффициент при x1										совпадает с определите-

лем системы (это разложение определителя по первому столбцу

– см. теорему 1.1), а коэффициенты при x2	и x3 равны нулю (со-
гласно теореме 1.2). В результате равенство (1.16) принимает
следующий вид:
x1 1 .	(1.17)

Точно так же можно вывести еще два равенства:

34 Глава 1. Системы линейных уравнений

		x2		2 и					x3		3 .			(1.18)
Теперь, если предположить,									что определитель					системы
0, то из (1.17) и (1.18) получим:
x		1	,	x			2	,	x			3	.	(1.19)
1					2					3

Поскольку уравнения (1.17) и (1.18) являются следствием уравне-

ний системы, для завершения наших рассуждений необходимо под-

ставить выражения (1.19) в каждое уравнение системы (1.13) и

подтвердить, что формулы (1.19) действительно дают решение сис-

темы. При такой подстановке мы получим три равенства:

a11 1 a12 2 a13 3 b1 ,

a21 1 a22 2 a23 3 b2 ,

a31 1 a32 2 a33 3 b3 .

Нетрудно проверить, что каждое из этих равенств является тождест-

вом. Например, для первого равенства имеем:

a11 1 a12 2 a13 3

b1

a12

a13

a11

b1

a13

a11

a12

b1

a11

b2

a22

a23

a12

a21

b2

a23

a13

a21

a22

b2

b3

a32

a33

a31

b3

a33

a31

a32

b3

a11(b1 A11 b2 A21 b3 A31 ) a12 (b1A12 b2 A22 b3 A32 )

a13 (b1 A13 b2 A23 b3 A33 ) b1(a11 A11 a12 A12 a13 A13 )

b2 (a11 A21 a12 A22 a13 A23 ) b3 (a11 A31 a12 A32 a13 A33 )

Глава 1. Системы линейных уравнений

35

b1 b2 0 b3 0 b1 .

Точно так же можно подтвердить и два остальных тождества.

В заключение рассмотрим случай, когда определитель сис-

темы 0, а хотя бы один из дополнительных определителей 1 ,

2	или 3 отличен от нуля. Предположим для определенности, что
1	0. В таком случае равенство
	x1 1
примет следующий вид:
	0 x1 1 0.	(1.20)

Очевидно, не существует ни одного действительного числа x1, ко-

торое при подстановке в (1.20) дает верное числовое равенство.

Следовательно, система уравнений не имеет решений, т.е. является несовместной.

Таким образом, в итоге наших рассуждений мы приходим к следующей теореме.

Теорема 1.3. (Правило Крамера). Если определитель системы

(1.13) отличен от нуля, то система (1.13) имеет единственное решение:

x	1	,	x			2	,	x			3	.
1				2					3

36 Глава 1. Системы линейных уравнений

Если же определитель системы 0, а хотя бы один из опреде-

лителей 1 , 2 или 3 отличен от нуля, то система (1.13) не

имеет решений (несовместна).

Замечание. В том случае, когда все четыре определителя равны ну-

лю: 1 2 3 0, формулы Крамера не позволяют сде-

лать вывод о решениях системы3. Так, например, известно, что система

x 2y z 1,

2x 4y 2z 2,

3x 6y 3z 3

имеет бесконечно много решений, а система вида

x 2y z 1,

2x 4y 2z 2,

3x 6y 3z 5

является несовместной.

Пример 1.13. Решить систему:

x1 2x2 3x3 8,3x1 x2 x3 6,2x1 x2 2x3 6.

Вычислим определитель системы:

3 Вы познакомитесь с методом исследования таких систем в следующих параграфах.