Глава 01 Системы линейн уравн

Глава 1. Системы линейных уравнений

47

2) умножение произвольной строки на любое число, отлич-

ное от нуля;

3) прибавление к произвольной строке матрицы любой дру-

гой строки матрицы4;

4) перестановка местами любых двух столбцов матрицы A

системы.

Покажем сначала на простых примерах, как работает алгоритм

метода Гаусса.

Пример 1.17. Решить систему уравнений:

		x 2x			3x		8,
			1	2		3
			3x1 x2 x3 6,
		2x x		2	2x	3	6.
			1
Запишем расширенную матрицу системы
					1	2	3		8
						1 1
A (A| B) 3									6
					2	1	2		6

и начнем прямой ход метода Гаусса.

Процедура приведения матрицы системы к треугольному или трапециевидному виду состоит из нескольких шагов:

1) Необходимо добиться, чтобы равнялись нулю все эле-

менты 1-го столбца, матрицы A , расположенные ниже элемента

4 Имеется в виду сложение всех соответствующих элементов двух строк.

48			Глава 1. Системы линейных уравнений
a11 .	Для этого сначала умножим первую строку на число 3 и
сложим со второй.
			1 2	3		8	1 2		3		8
				1				5	8
	A 3 1					6 ~ 0					18 .
			2 1	2		6	2 1		2		6
	Обратите внимание на то, что между двумя матрицами нет
знака равенства, – его заменяет следующий символ												~ эквивалент-

ности двух систем (матрицы у нас разные, а системы уравнений,

связанные с этими матрицами, имеют одни и те же решения).

Теперь умножим первую строку на 2 и сложим с третьей:

	1		2	3		8		1 2			3		8
			5	8						5	8
A ~ 0						18 ~ 0							18 .
		2 1		2		6			0	3	4		10

2) На втором шаге получим нулевой элемент во втором столбце ниже элемента a22 . Для этого вторую строку последней матрицы умножим на 3, а третью строку на 5 и прибавим вторую строку к третьей:

		1 2		3			8		1 2 3			8
			5	8			18					18		(1.27)
A ~ 0								~ 0 5 8					.
		0	0	4			4		0 0 1			1
Расширенная матрица (1.27)							приведена к треугольному виду, пря-
мой ход метода Гаусса закончен, и матрице										(1.27)				соответствует
следующая система уравнений:

Глава 1. Системы линейных уравнений

49

x		2x		3x		8,
	1	5x2	2		3
			8x3		18,
				x3 1.

Обратный ход метода Гаусса заключается в последователь-

ном отыскании неизвестных с помощью подстановки значений не-

известных из 3-его уравнения во 2-ое и затем в 1-ое:

x3 1,

11

x2 5(18 8x3 ) 5(18 8 1) 2,

x1 8 3x3 2x2 8 3 4 1.

Система имеет единственное решение												(1;2;1).
Пример 1.18. Решить систему уравнений:
					x 3x				x		4,
						1		2		3
					4x1 2x2 3x3 0,
						3x	x	2	2x		3			4.
						1
		1	3 1		4	1	3		1					4
			2 3						1
A 4					0 ~ 0 10									16 ~
		3 1 2			4	0 10			1					16
														1		3	1		4
																10	1
														~ 0					16 .
															0	0	0		0

50 Глава 1. Системы линейных уравнений

На следующем шаге исключим из матрицы строку, целиком состоя-

щую из нулей5:

	1		3	1		4
A ~							.
		0	10	1		16

Таким образом, расширенная матрица приведена к трапе-

циевидному виду. Запишем соответствующую систему уравнений:

x		3x		x		4,
	1		2		3	16,
		10x2		x3

и перенесем неизвестную x3 в правые части уравнений.

x 3x				4 x		,
	1		2		3
		10x2		16 x3.

Предполагая теперь, что неизвестная x3 может принимать произ-

вольные числовые значения

			x3 c,		c R,
получим:
x			1	(16 c) 1,6 0,1c,
	2
		10
x1 4 3x2		x3		4 3(1,6 0,1c) c 0,8 0,7c.

В итоге система имеет бесконечно много решений вида:

5 Такая строка соответствует уравнению 0 x1 0 x2 0 x3 0, кото-

рому удовлетворяет любой набор неизвестных (x1,x2 ,x3 ).

				Глава 1. Системы линейных уравнений																			51
						x			0,8 0,7c
						1												c R.
				X x2					1,6 0,1c ,
												c
						x3
Пример 1.19. Решить систему уравнений:
							x		x			2x				5,
								1		2			3
								2x1 x2 x3 6,
							x		4x		2	7x		3			8.
								1
		1	1	2		5	1		1			2					5
				1					3 5
A 2 1						6 ~ 0											4 ~
		1	4	7		8	0		3			5					3
																		1	1	2		5
																			3	5
																		~ 0				4 .
																		0	0	0		1

Система несовместна, так как последняя строка расширенной мат-

рицы соответствует уравнению:

0 x1 0 x2 0 x3 1,

которому не удовлетворяет ни один набор неизвестных (x1;x2;x3 ).

Метод Гаусса в произвольных системах линейных

уравнений

Рассмотрим теперь алгоритм метода Гаусса в системах общего вида.

Пусть система линейных уравнений содержит m уравнений и n

неизвестных:

52	Глава 1. Системы линейных уравнений
	a11x1 a12 x2 a1n xn b1,
	a21x1 a22 x2				a2n xn b2 ,
	a	x a	m2	x	a	x	n	b	.
		m1 1		2		mn		m

Составим расширенную матрицу системы

			a11	a12	a13	a1n		b1
			a21	a22	a23	a2n		b2
	A (A| B)			a32	a33	a3n
			a31					b3
				am2	am3	amn
			am1					bm

иначнем прямой ход метода Гаусса.

1)Предположим, что коэффициент a11 0 .

Замечание. Если a11 0, но хотя бы один из коэффициентов ak1

первого столбца матрицы отличен от нуля, то мы переставим местами 1-ую и k-ую строки. В противном случае, когда все элементы

ai1 0, i 1, 2, , m, возможна перестановка столбцов в части

A расширенной матрицы A (с соответствующей перенумерацией неизвестных систем).

Итак, пусть a11 0 . Умножая последовательно первую стро-

ку матрицы		на коэффициенты	a21	,	a31	,	,	am1	и сум-
	A
			a11		a11			a11
мируя результаты со второй, третьей,				, m-ой строками соответст-

венно, получим новую расширенную матрицу:

Глава 1. Системы линейных уравнений

53

a11

a12

a13

a1n

b1

a21

a22

a23

a2n

b2

A

a32

a33

a3n

~

a31

b3

am2

am3

amn

am1

bm

a11

a12

a13

a1n

b1

~

~

~

~

0

a22

a23

a2n

b2

0

~

~

~

~

~

a32

a33

a3n

b3 .

0

~

~

~

~

am2

am3

amn

bm

Нетрудно определить,

~

~

новой рас-

чему равны коэффициенты aij ,

bi

ширенной матрицы:

~

ai1

~

ai1

, m.

aij

aij a1j

,

bi

bi b1

,

i 2, 3,

a

a

11

11

2) На следующем шаге мы уже не будем работать с первы-

ми строкой и столбцом матрицы, а перейдем к матрице размера

(m 1) (n 1) – "границы" этой матрицы показаны ниже пунктир-

ными линиями:

54

Глава 1. Системы линейных уравнений

a11

a12

a13

a1n

b1

a~22

a~23

a~2n

b~2

0

~

~

~

~

0

a32

a33

a3n

b3

~

~

~

~

0

am2

am3

amn

bm

Для этой выделенной матрицы повторим все операции предыдущего пункта и получим новую матрицу, у которой равны нулю все эле-

менты второго столбца, расположенные ниже главной диагонали.

Продолжение указанной процедуры приведет нас через не-

сколько шагов к матрице следующего вида (для удобства в итоговой расширенной матрице все коэффициенты системы обозначены сим-

волами ij , а все свободные члены – символами i ).

11		12	13		1n		1
0		22	23		2n		2
	0	0	33		3n
							3	(1.28)
	0	0	0	rr	rn
							r

На главной диагонали этой матрицы расположены ненулевые эле-

менты ( ij 0, i 1, 2, , r ), а все элементы ниже главной диа-

гонали равны нулю. Прямой ход метода Гаусса закончен, и даль-

нейшие действия зависят от значения индекса r элемента rr .

Глава 1. Системы линейных уравнений

55

Сразу отметим, что r m , поскольку в процедуре прямого хода метода Гаусса могли быть удалены строки, целиком состоящие из нулей.

a) Если r n, то говорят, что расширенная матрица систе-

мы приведена к треугольному виду:

11		12	13			1n		1
0		22	23			2n		2
	0	0	33			3n		3
									.
	0	0	0	n 1,n 1		n 1,n
								n 1
	0	0	0	0		nn		n

На следующем шаге начинают процедуру исключения неизвестных

(обратный ход метода Гаусса).

Сначала из последнего уравнения системы найдем неизвест-

ную xn :

x	n		n		.
				nn

Подставляя значение xn в предыдущее уравнение системы, найдем

неизвестную xn 1 :

	1			1						n
xn 1			( n 1	n 1,n xn )			n 1	n 1,n
	n 1,n 1			n 1,n 1					nn

и, продолжая последовательно процедуру подстановки, получим

единственное решение системы.

56Глава 1. Системы линейных уравнений

b)Если r n, то говорят, что матрица A приведена к трапециевидному виду (1.28). Для описания дальнейших действий перейдем к соответствующей системе уравнений:

11x1	12 x2	13x3	1n xn 1,
	22 x2	23 x3	2n xn 2 ,
		r 1,r 1xr 1 r 1,n xn r 1,
			rr xr rn xn r.

Приведем систему к треугольному виду посредством переноса сла-

гаемых, содержащих неизвестные xr 1, xr 2 , , xn , в правые части уравнений:

11x1 12 x2 1r xr		1 1,r 1xr 1 1n xn ,
	22 x2 2r xr	2 2,r 1xr 1 2n xn ,
	(1.29)
	rr xr	r r,r 1xr 1 rn xn.

Теперь нетрудно заметить, что если мы выберем какие-либо (произ-

вольные) числовые значения для неизвестных xr 1, xr 2 , , xn , то

оставшиеся неизвестные x1, , xr можно будет найти обратным

ходом метода Гаусса. Неизвестные x1, , xr называются базисны-