Глава 01 Системы линейн уравн

									Глава 1. Системы линейных уравнений																																													37
									1	2						3							5									0	1							5							1
									3 1						1								3									1 1																	4 0
																																								1							1
									2	1						2							1									0	1
и дополнительные определители:
														8	2		3													8		2			3								8				2
							1							6	1 1															6 1					1															4,
																																											6				1
														6	1		2													0		0			1
					1	8			3						1		8						3										8		3										1		8
	2				3	6 1									1			0 1																																		2 10 8,
																																	6		2										2		6
					2	6			2						2		6						2
												1			2		8											1				2			8									2			8
							3					3			1 6													1 0							0																	4.
																																												1			6
												2			1		6											2				1			6
Тогда
x		1					4	1,							x				2													8		2,										x						3				4	1.
1							4									2																4														3								4

Пример 1.14. Найти все значения параметра k , при которых систе-

ма

kx y z 1,

x ky z 2,

x y kz 3

имеет единственное решение.

38					Глава 1. Системы линейных уравнений
Рассмотрим определитель системы:
	k	1	1			k	1		1	1		1	k
	1	k	1		k			1			1
						1	k		1	k		1	1
	1	1	k

k(k2 1) (k 1) (1 k) (k 1)(k(k 1) 2)

(k 1)(k2 k 2) (k 1)2 (k 2).

По теореме 1.3 система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ее определитель не равен нулю, следовательно, k —

любое действительное число, отличное от 1 и 2.

1.4 Метод обратной матрицы в решении систем линейных уравнений

Обратная матрица. Существование обратной матрицы

Определение 1.14. Квадратная матрица называется невырожденной,

если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной в противном случае.

Определение 1.15. Матрица A 1 называется обратной для квад-

ратной матрицы A, если выполняются равенства:

A 1A AA 1 E,

(1.21)

где E – единичная матрица.

Глава 1. Системы линейных уравнений	39
Теорема 1.4. Квадратная матрица A имеет обратную тогда и
только тогда, когда она невырожденная, т.е. когда		A		0.

► Докажем необходимость методом от противного. Предположим,

что матрица A имеет обратную, но определитель A 0. Тогда, с

одной стороны, согласно (1.21),

A 1A E 1,

а с другой стороны,

A 1A A 1 A A 1 0 0.

Мы пришли к противоречию, следовательно, A 0.

Доказательство достаточности проведем для матрицы третьего порядка, при этом мы непосредственно построим обратную

матрицу.

Предположим, что матрица A имеет следующий вид:

a	a	a
11	12	13
A a21	a22	a23
	a32	a33
a31

и определитель A 0.

Для построения обратной матрицы проведем следующие операции:

1)составим матрицу, в которой каждый элемент aij матрицы

A заменим его алгебраическим дополнением Aij ,

40Глава 1. Системы линейных уравнений

2)транспонируем полученную матрицу и умножим ее

на число 1 .

A

Теперь покажем, что полученная матрица является обратной к мат-

рице A:

										A A		A									A A A
				1						11	12		13			1					11		21	31
A 1									A		A	A								A			A	A	.	(1.22)
				A													A
										21	22		23								12		22	32
										A	A	A									A		A	A
										31	32		33								13		23	33
Для этого рассмотрим произведение
										A	A	A				a					a
													a
	1			1						11	21	31		11		12					13
A		A								A	A	A		a		a					a
				A
										12	22	32		21		22					23
									A		A	A	a			a					a
										13	23	33		31		32					33

1 A11a11 A21a21 A31a31

A12a11 A22a21 A32a31 A A13a11 A23a21 A33a31

A11a12 A21a22 A31a32 A12a12 A22a22 A32a32 A13a12 A23a22 A33a32

A11a13 A21a23 A31a33 A12a13 A22a23 A32a33 A13a13 A23a23 A33a33

Нетрудно заметить, что все диагональные элементы последней мат-

рицы равны определителю A (теорема 1.1), а все элементы, распо-

ложенные вне главной диагонали, равны нулю (теорема 1.2).

В итоге

									A	0		0				1		0	0
	1				1
A		A						0			A		0 0					1 0 E .
					A
									0	0			A				0	0	1

Глава 1. Системы линейных уравнений

41

Точно так же можно подтвердить равенство AA 1 E . ◄

Решение систем линейных уравнений и матричных уравнений

Как мы уже установили,

систему

n

линейных уравнений с n

неизвестными

a11x1 a12x2 a1nxn b1,

b2,

a21x1 a22x2 a2nxn

(1.23)

a

x a

n2

x a

x b

n1 1

2

nn

n

n

можно записать в матричном виде

AX B,

(1.24)

где

a11

a12

a1n

a21

a22

a2n

– матрица коэффициентов системы

A

(матрица системы),

an2

an1

ann

42 Глава 1. Системы линейных уравнений

		x				b			– матрицы-столбцы неизвестных и
			1				1
X		x2			и B	b2			свободных членов системы соответ-
									ственно.
		xn				bn

Равенство (1.24) обычно называют матричным уравнением,

и если матрица A невырожденная, то можно найти решение урав-

нения (1.24) с помощью обратной матрицы A 1 .

Пусть A 0. Умножая обе части (1.24) на A 1 слева, по-

лучим
A 1(AX) A 1B,	(1.25)
откуда
A 1(AX) (A 1 A)X EX A 1B
или
X A 1B .	(1.26)

Последнее равенство дает нам все решения матричного уравнения

(1.24) и системы (1.23).

Замечание. Обратите внимание на то, что обе части уравнения (1.24) умножаются на A 1 слева, поскольку A 1AX EX X ,

но AXA 1 X .

Глава 1. Системы линейных уравнений

43

Пример 1.15. Решить методом обратной матрицы систему уравне-

ний:

									x 2x				3x					8,
										1		2					3
										3x1 x2 x3 6,
									2x		x	2	2x				3	6.
										1
Запишем систему в матричном виде:
									1	2	3 x								8
															1
									3 1		1 x2 6 .
											2
									2 1			x3							6
Определитель матрицы системы														det A 4 0.								Вычислим алгеб-
раические дополнения элементов матрицы A:
							A11 1,				A12 4,								A13 1,
							A21 1,				A22 4,								A23 3,
							A31 1,				A32 8,								A33 5.
Тогда
					1			1		4	1 T									1		1	1
	A		1																1
								1		4	3									4		4	8 .
					( 4)														4
											5										1	3 5
								1 8
Теперь найдем решение системы уравнений:
							1		1		1 8										8 6 6
X A	1	B				1													1
							4		4		8 6									32 24 48
																			4
						4			3					6							8 18 30
							1				5

44					Глава 1. Системы линейных уравнений
																									4						1
																						1
																								8 2 .
																						4
																									4						1
					x				1
							1
В результате					X x				2 ,		и поэтому x						1,			x				2,					x		1.
							2							1								2								3
					x3				1
Пример 1.16. Решить матричное уравнение AXB C, где
	3			1				1		0			2 1					X						x x
A					, B					, C						,									11 12						.
	2 4							1		2			5 0											x21 x22
Поскольку матрицы A и B невырожденные, найдем обратные мат-
рицы A 1			и B 1 :
						1			4	1					1		2			0
				A 1							,		B 1								.
					14				2					2
										3							1			1
Умножая матричное уравнение AXB C слева на																				A 1					и справа на
B 1 , получим					A 1AXBB 1					A 1CB 1 ,				или			X A 1CB 1 .
Дальнейшие действия очевидны:
1		1	1		4		1 2			1 2			0
A CB
										0		1
			28		2		3 5						1
																			1						1
											1		2	4
																			14						7
																													X ,
													36
											28			2					9						1
																			7
																									14

		Глава 1. Системы линейных уравнений															45
то есть x		1	,	x		1	, x			9	,	x			1	.
11	14			12	7			21	7				22	14

1.5 Метод Гаусса решения систем

линейных уравнений

Элементарные преобразования уравнений системы

Метод Гаусса известен как один из наиболее эффективных и универсальных методов решения систем. Его универсальность за-

ключается в том, что этот метод позволяет исследовать на совмест-

ность любые системы линейных уравнений, в том числе и те систе-

мы, в которых количество неизвестных не совпадает с числом урав-

нений системы, и системы, имеющие вырожденную матрицу коэф-

фициентов.

Фактически метод Гаусса представляет собой специальный алгоритм последовательного исключения неизвестных из уравнений системы. В этом алгоритме обычно различают два этапа – прямой ход метода Гаусса и обратный ход.

Целью прямого хода метода Гаусса является приведение матрицы системы к треугольному виду или отличному от треуголь-

ного, трапециевидному виду, когда в результате некоторых элемен-

тарных преобразований уравнений системы на главной диагонали матрицы системы будут располагаться ненулевые элементы, а все

46	Глава 1. Системы линейных уравнений

элементы ниже главной диагонали будут равны нулю. Конечно,

элементарные преобразования обязаны сохранять множество реше-

ний системы, т.е. в результате наших действий должна получаться система, равносильная исходной системе линейных уравнений.

Определение 1.16. Элементарными преобразованиями уравнений системы называют следующие преобразования:

1)перестановка местами двух любых уравнений;

2)умножение обеих частей какого-либо уравнения на лю-

бое число, не равное нулю; 3) прибавление к обеим частям одного из уравнений соот-

ветствующих частей любого другого уравнения; 4) перестановка (перенумерация) неизвестных системы.

Отметим без доказательства, что все перечисленные преобразования приводят к системам, которые равносильны (эквивалентны) исход-

ной системе линейных уравнений.

Как правило, в методе Гаусса предпочитают работать не с самой системой линейных уравнений, а с "копией" системы – рас-

ширенной матрицей. Эту матрицу обозначают символом

A (A| B), и она содержит две части – матрицу A системы и столбец B свободных членов. Элементарным преобразованиям сис-

темы, перечисленным в определении 1.16, соответствуют следую-

щие элементарные преобразования расширенной матрицы: 1) перестановка местами двух любых строк;