Savchenko_O_Ya__FMSh_NGU__Zadachi_po_fizike

4.6.2.Капилляр радиуса R опускают в смачивающую жидкость с поверхностным натяжением σ и плотностью ρ. Определите высоту, на которую поднимется жидкость. Определите работу, совершенную силами поверхностного натяжения, и потенциальную энергию жидкости в капилляре. Почему эти величины не совпадают?

4.6.3.Определите максимальный радиус капилляров дерева на высоте 10 м. Вода полностью смачивает капилляры.

♦4.6.4 . а. Используя результат задачи 4.4.5, определите объем жидкости, протекающей в единицу времени через капилляр радиуса r, соединенный с жидкостью, если ее поверхность в капилляре установилась (из-за испарения) на расстоянии h от его основания. Вязкость жидкости η, поверхностное натяжение σ, жидкость полностью смачивает капилляр. Действием силы тяжести пренебречь.

б. Оцените максимальный объем крови, который может подаваться к тканям в 1 с по капиллярам радиуса 10 мкм и длины 1 мм, полностью смачиваемых

кровью, если число капилляров 105, вязкость крови 5·10−3 Н ·с/м2, поверхностное натяжение 7 · 10−2 Н/м.

4.6.5. Какую относительную погрешность мы допускаем при измерении атмосферного давления по высоте ртутного столба, если внутренний диаметр барометрической трубки, не смачиваемой ртутью, 5 мм, поверхностное натяжение 0,465 Н/м, плотность ртути 13,6 г/см3?

♦ 4.6.6. В двух длинных открытых с обеих сторон капиллярах, расположенных вертикально, находятся столбики воды длины 2 и 4 см. Найдите радиус кривизны нижнего мениска в каждом из капилляров, если их внутренний диаметр равен 1 мм, а смачивание полное.

♦ 4.6.7. Вертикальный капилляр радиуса r и высоты h соединен с широким сосудом трубкой на уровне дна сосуда. Как зависит разность уровней жидкости в сосуде и капилляре от высоты x уровня жидкости в сосуде? При каком значении x жидкость начнет выливаться из капилляра? Поверхностное натяжение жидкости σ, ее плотность ρ. Жидкость полностью смачивает капилляр.

121

♦4.6.8. Жидкость в длинном капилляре поднимается на высоту h. Определите радиус кривизны мениска в коротком капилляре, длина которого h/2. Радиус обоих капилляров r, краевой угол θ.

♦4.6.9 . Капилляр, наполовину заполненный жидкостью, вращается вокруг оси OO0. Длина капилляра 2l, его радиус r. Плотность жидкости ρ, а поверхностное натяжение σ. Жидкость полностью смачивает капилляр. При какой угловой скорости капилляра жидкость начнет из него вытекать?

♦4.6.10. В капилляре, опущенном вертикально в воду на глубину l, вода поднялась на высоту h. Нижний конец капилляра закрывают, вынимают капилляр из воды и вновь открывают. Определите длину столба воды, оставшейся в капилляре, если смачивание полное.

♦ 4.6.11 . В сосуд с водой, температуру которой изменяют, опускают изогнутый стеклянный капилляр радиуса r = 0, 1 мм. График температурной зависимости поверхностного натяжения показан на рисунке. При какой температуре вода потечет из сосуда, если H = 15 см?

4.6.12.Куда будет двигаться капля смачивающей и несмачивающей жидкости в горизонтально расположенном коническом капилляре?

♦4.6.13 . На какую высоту поднимется жидкость по вертикальному коническому капилляру с углом при вершине α 1 рад? Плотность жидкости ρ, ее поверхностное натяжение σ, высота капилляра H. Жидкость полностью смачивает капилляр.

4.6.14.На какую высоту поднимется жидкость между двумя вертикальными пластинами, расстояние между которыми Δ, если краевой угол у первой пластины θ1, у второй θ2? Плотность жидкости ρ, ее поверхностное натяжение σ.

♦4.6.15. Какая сила действует на параллельные квадратные пластины со сто-

роной a, частично погруженные в жидкость, если краевой угол у внешних их поверхностей 90◦, а у внутренних — θ и π −θ? Плотность жидкости ρ, ее поверхностное натяжение σ.

122

♦4.6.16 . С какой силой притягиваются друг к другу две параллельные квадратные пластины со стороной a, частично погруженные в жидкость, если они не смачиваются жидкостью? Плотность жидкости ρ, расстояние между пластинами Δ, поверхностное натяжение жидкости σ.

♦4.6.17 . На какую высоту поднимется жидкость плотности ρ в полностью смачиваемом капилляре, если его поперечное сечение S, а периметр этого сечения l? Как зависит период малых вертикальных колебаний жидкости в этом капилляре от высоты жидкости? Поверхностное натяжение жидкости σ.

123

Глава 5

Молекулярная физика

§ 5.1. Тепловое движение частиц

5.1.1. Оцените среднюю кинетическую энергию и среднеквадратичную ско-

рость частичек тумана диаметра 10 мкм, находящихся в воздухе при температу-

ре 5 ◦C.

5.1.2.Во сколько раз различаются среднеквадратичные скорости двух частичек, совершающих броуновское движение в капле воды, если их массы различаются в четыре раза?

5.1.3.Оцените массу инфузории, на направленное движение которой со скоростью 1 мкм/с слабо влияет тепловое движение.

5.1.4.Определите среднеквадратичное отклонение маятника от положения

равновесия, вызываемое тепловым движением шарика маятника. Температура воздуха 20 ◦C. Масса шарика 1 мг, длина нити маятника 10 м.

5.1.5 . Зеркальце гальванометра подвешено на кварцевой нити. На зеркальце падает узкий параллельный луч света и, отражаясь от него, попадает на экран, расположенный на расстоянии 20 м от зеркальца. Температура воздуха 300 K. Оцените, на сколько увеличится радиус светового пятна на экране в результате теплового движения зеркальца, если при повороте зеркальца на угол ϕ на него

со стороны нити действует момент сил M = −κϕ, где κ = 1,38 · 10−15 Н ·м. Как изменится ответ, если температуру воздуха понизить до 100 K?

5.1.6. Сосуд разделен на две секции пористой перегородкой. В одной секции находится газ, состоящий из легких молекул, в другой — из тяжелых. Давление газа в обеих секциях сосуда в начальный момент одинаково. Через некоторое время давление в той секции сосуда, где находились тяжелые молекулы, увеличилось. Затем, через более длительный промежуток времени, давление в обеих секциях сосуда выравнялось. Объясните этот эффект.

♦5.1.7. В секции сосуда находится смесь гелия с водородом. Давление водорода и гелия одинаково. В секции 2 сосуда вакуум. На короткое время в перегородке открывают отверстие A. Определите отношение давления гелия к давлению водорода в секции 2.

♦5.1.8 . Сосуд разделен перегородками на n изолированных секций. В началь-

ный момент в секции 1 находится одинаковое число молекул с молярной массой µ1 и µ2. В остальных секциях вакуум. На короткое время в перегородках открывают небольшие отверстия, как показано на рисунке. Оцените отношение числа моле-

кул с молярной массой µ1 к числу молекул с молярной массой µ2 в n-й секции сосуда.

124

5.1.9 . Из сосуда через отверстие в стенке вытекает за время τ половина разреженного газа. За какое время вытекла бы половина этого же газа, если бы все размеры сосуда (в том числе и размеры отверстия) были в n раз больше?

5.1.10. Оцените, во сколько раз поток газа, вытекающего из сосуда через цилиндрический канал радиуса R и длины L, меньше потока газа, вытекающего через отверстие радиуса R. Считать, что стенки канала поглощают молекулы.

♦ 5.1.11 . Два сосуда одинакового объема V соединены узким каналом. В сосудах находится небольшое число частиц N (т. е. частиц так мало, что они почти не сталкиваются друг с другом). Сколько частиц окажется в каждом из сосудов, если температура газа в одном сосуде равна T1, а во втором — T2 > T1? В соединительный канал поместили легкий флажок. В какую сторону он отклонится?

§ 5.2. Распределение молекул газа по скоростям

5.2.1. В 1 см3 при давлении 0,1 МПа находится 2,7 ·1019 молекул азота. Число молекул, вертикальная составляющая скорости которых лежит в интервале от 999 до 1001 м/с, равно 1,3 · 1012.

а. Какое число таких молекул содержитсяв 1 л азота?

б. Сколько молекул азота, имеющих вертикальную составляющую скорости в интервалах 1000 ± 0,1 и 1000 ± 10 м/с, содержится в 1 м3? Считать, что число молекул, обладающих скоростью, лежащей в некотором интервале скоростей, пропорционально этому интервалу.

5.2.2. Распределения молекул по проекциям vi скорости на оси координат (i = x, y, z) взаимно независимы. Пользуясь этим, определите в задаче 5.2.1 чис-

ло молекул азота в 1 см3, горизонтальные составляющие скоростей которых, так же как и вертикальные, лежат в интервале от 999 до 1001 м/с: число молекул, горизонтальные составляющие скоростей которых лежат в интервале 1000±0,1 м/с, а вертикальные — в интервале 1000 ± 2 м/с.

♦ 5.2.3. Число молекул однородного идеального газа dN, скорость которых вдоль произвольной оси x лежит в интервале (vx, vx + dvx), из общего числа N его молекул при данной температуре T определяется распределением Максвелла:

			mv2
dN = Nr	m	exp −		dvx = Nf(vx) dvx,
	2πkT		2kT
			x

где m — масса молекулы, k — постоянная Больцмана. Функция

			mv2
f(vx) = r	m	exp −
	2πkT		2kT
			x

125

называется функцией распределения. На рисунке приведена функция распределения молекул азота при комнатной температуре (T = 293 K). Используя график, найдите: а) сколько

в 1 см3 воздуха содержится молекул азота, имеющих в некотором направлении скорость в интервале от 499 до 501 м/с, б) сколько в 1 м3 содержится молекул азота, имеющих в некотором направлении скорость в

интервале от 498 до 502 м/с, если число молекул азота в 1 см3 равно 2 · 1019.

5.2.4.При какой температуре функция распределения по скоростям молекул водорода будет совпадать с функцией распределения по скоростям молекул азота при комнатной температуре.

5.2.5.Найдите отношение числа молекул водорода, имеющих проекцию скорости на ось x в интервале от 3000 до 3010 м/с, к числу молекул водорода, имеющих проекцию скорости на ту же ось в интервале от 1500 до 1505 м/с. Температура водорода 300 K.

5.2.6.Найдите отношение числа молекул водорода, имеющих проекцию скорости на ось x в интервале от 3000 до 3010 м/с, на ось y — в интервале от 3000 до 3010 м/с, на ось z — в интервале от 3000 до 3002 м/с, к числу молекул водорода, имеющих проекцию скорости на ось x в интервале от 1500 до 1505 м/с, на ось y — в интервале от 1500 до 1501 м/с, на ось z — в интервале от 1500

до 1502 м/с. Температура водорода 300 K.

5.2.7 . В стенке сосуда с разреженным газом сделано малое отверстие. Как будет изменяться температура газа при его вытекании?

♦5.2.8 . В толстой стенке сосуда, содержащего газ, сделан прямой канал длины l, который соединяет сосуд с вакуумным пространством. Для формирования пучка молекул канал снабжен двумя затворами. Затвор 1 расположен на выходе канала в сосуд, затвор 2 — на выходе канала в вакуумное пространство. Пучок молекул формируется следующим образом: сначала на время τ открывают за-

твор 1, затем, после того как этот затвор закроется, через время t0 открывается на время τ затвор 2. Молекулы, пролетевшие во время этого процесса канал, образуют в вакуумном пространстве пучок. Чему равна длина этого пучка через время t после закрывания затвора 2?

♦5.2.9. Источник атомов серебра создает узкий ленточный пучок, который попадает на внутреннюю поверхность неподвижного цилиндра радиуса R = 30 см и образует на ней пятно. Устройство начинает вращаться с угловой скоростью ω = 100π рад/с. Определите скорость атомов серебра, если пятно отклонилось на угол ϕ = 0,314 рад от первоначального положения.

♦ 5.2.10. Отверстие в стенке перекрыто цилиндрической пробкой. На поверхности пробки прорезан узкий винтовой канал с шагом h. По одну сторону стенки

126

находится разреженный газ, по другую — вакуум. Молекулы газа легко поглощаются стенками канала. Пробка вращается с угловой скоростью ω. Какой скоростью будут обладать молекулы, прошедшие по каналу?

5.2.11. Представим, что удалось сфотографировать на кинопленку молекулы газа, функция распределения которых по скоростям f(v).

а. Найдите функцию распределения «частицы» — изображений молекул газа на экране по скоростям, если увеличение, с которым изображение на кинопленке проецируется на экран, равно l.

б. Кинопленку при воспроизведении записи начали прокручивать в k раз быстрее, чем при съемке. Найдите функцию распределения «частиц» по скоростям в этом случае.

5.2.12. Скорости частиц, движущихся в потоке, имеют одно направление и лежат в интервале от v0 до 2v0. График функции распределения частиц по скоростям имеет вид прямоугольника. Чему равно значение функции распределения? Как изменяется функция распределения, если на частицы в течение времени τ вдоль их скорости действует сила F ? Масса каждой частицы равна m.

5.2.13 . Скорости частиц в пучке имеют одно направление и лежат в интервале от v до v + v (Δv v). В единице объема пучка находится n частиц, Масса каждой частицы m.

а. В течение времени τ на частицы в направлении их движения действует сила F . Определите интервал скоростей и число частиц в единице объема после действия силы.

б. Определите интервал скоростей и число частиц в единице объема после прохождения области, где на расстоянии l вдоль направления движения на частицы действовала сила F .

5.2.14 . а. Пусть создан пучок одинаковых молекул с функцией распределе-

ния				exp (−αvx2), α > 0.
f(vx) = 2			α/π			если пу
Масса молекулы m. Как	изменится число молекул в единице объема				,		-
		p

чок пройдет область протяженности l, в которой на каждую молекулу действует тормозящая сила F ?

б. Плотность частиц вблизи поверхности Земли ρ0, их температура T , а масса частиц m. Частицы имеют максвелловское распределение по скоростям. Определите плотность частиц и распределение частиц по скоростям на высоте h над Землей.

5.2.15. На высоте 3 км над поверхностью Земли в 1 см3 воздуха содержится примерно 102 пылинок, а у самой поверхности — примерно 105. Определите среднюю массу пылинки и оцените ее размер, предполагая, что плотность пылинки 1,5 г/см3. Температура воздуха 27 ◦C.

5.2.16. У поверхности Земли молекул гелия почти в 105 раз, а водорода почти в 106 раз меньше, чем молекул азота. На какой высоте число молекул гелия будет равно числу молекул азота? водорода? Принять среднюю температуру атмосферы равной 0 ◦C.

5.2.17 . Испарение жидкости можно рассматривать как «уход» с ее поверхности быстрых молекул, т. е. тех молекул, кинетическая энергия которых больше энергии связи молекул в жидкости. Испарение жидкости прекращается, как только число уходящих молекул сравняется с числом молекул, которые приходят в жидкость из ее пара. Пар, состоящий из тех же молекул, что и жидкость, носит название «насыщенный пар», если он находится в равновесии с жидкостью.

а. Оцените число молекул в единице объема насыщенного пара при температуре T , если молярная теплота парообразования жидкости равна q, а число

127

молекул в единице объема жидкости равно n0. Молекулы в жидкости и ее газовой фазе (в паре) имеют максвелловское распределение по скоростям.

б. При температуре 100 ◦C молярная теплота парообразования воды — около 4 · 104 Дж/моль. Оцените число молекул воды в насыщенном паре при 100 ◦C.

§ 5.3. Столкновения молекул. Процессы переноса

5.3.1.При атмосферном давлении и температуре 0 ◦C длина свободного пробега молекулы водорода равна 0,1 мкм. Оцените диаметр этой молекулы.

5.3.2.Оцените длину свободного пробега молекулы азота в воздухе при нормальных условиях. Радиус молекул азота и кислорода принять равным 0,18 нм.

5.3.3.Оцените, сколько раз за 1 с в 1 см3 воздуха сталкиваются молекулы азота друг с другом и молекулы азота с молекулами кислорода.

5.3.4.Плотность газа увеличили в три раза, а температуру уменьшили в четыре раза. Как изменилось число столкновений молекул в единицу времени?

5.3.5.В сосуде находится смесь двух газов. В единице объема смеси содер-

жится n1 молекул одного газа и n2 молекул другого газа. Радиус молекул соответственно R1 и R2. Оцените длину свободного пробега молекул этих газов.

5.3.6 . При нормальных условиях в 1 см3 атомарного водорода содержится 2,7 · 1019 атомов. Оцените время, в течение которого 0,1 часть атомов водорода превращается в молекулы водорода. Считать, что каждое столкновение двух атомов водорода приводит к образованию молекулы. Радиус атома водорода 0,06 нм.

5.3.7 . Определите отношение числа молекул вида A2, B2 к числу молекул вида AB, если в смеси при столкновениях происходят реакции

A2 + B2 → 2AB и AB + AB → A2 + B2.

Число атомов A равно числу атомов B, радиус молекул A2, B2, AB равен соответственно rA2 , rB2 , rAB, масса молекул одинакова.

5.3.8. а. Относительное содержание радиоактивных атомов в газе невелико. Их число в единице объема линейно растет с высотой: n = αh. Масса атома m, длина его свободного пробега λ, а температура T . Оцените плотность этих атомов на земле.

б. Оцените коэффициент диффузии водяного пара в воздухе при 20 ◦C. Радиус молекул воды 0,21 нм. Радиус молекул азота и кислорода 0,18 нм.

5.3.9. Коэффициент диффузии молекул A в газах B1 и B2 равен соответственно D1 и D2, если в единице объема этих газов содержится n частиц. Найдите коэффициент диффузии молекул A в смеси газов, в единице объема которой содержится n1 молекул газа B1 и n2 молекул газа B2.

♦ 5.3.10 . В тонком сосуде длины L и сечения

S находится сухой воздух, изолированный заслонкой от воздуха, содержащего насыщенный водяной пар. Температура дна сосуда поддерживается на постоянном уровне ниже 0 ◦C. Заслонку убирают. Оцените время, за которое в сосуде установится стационарное состояние пара. Определите массу воды, замораживаемой в единицу времени, когда в сосуде установит-

ся стационарный поток пара. Коэффициент диффузии насыщенного пара D, его плотность ρ.

5.3.11. а. Температура воздуха земной атмосферы линейно увеличивается с высотой h, T = T0 + αh. При этом относительное изменение температуры αh/T0 остается много меньше единицы. Длина свободного пробега молекул воздуха λ,

128

масса каждой молекулы m, число молекул в единице объема воздуха n. Оцените плотность теплового потока на Землю. Изменится ли плотность этого потока, если число молекул в единице объема воздуха увеличится?

б. Во сколько раз теплопроводность водорода больше теплопроводности воздуха? Радиус молекул водорода 0,14 нм, радиус молекул азота и кислорода 0,18 нм. Температура газов одинакова.

5.3.12. Оцените тепловой поток из комнаты, размеры которой 5 × 5 × 4 м, наружу через два окна с рамами площади 1, 5 × 2, 0 м, расположенными на расстоянии 0,2 м друг от друга, и время, в течение которого температура в комнате уменьшится на 1 ◦C, если температура комнатного воздуха +20 ◦C, а наружного −20 ◦C. Почему тепловой поток через окна всегда значительно больше?

5.3.13 . Теплопроводность газов A1 и A2 равна соответственно κ1 и κ2. Определите теплопроводность смеси, в которой молекул газа A1 в α раз больше, чем молекул газа A2. Температура газов одинакова, газы одноатомные. Молярная масса газов соответственно µ1 и µ2.

5.3.14. В разреженном газе нагретое тело остывает за время t. За какое время остынет тело из того же материала, если все его линейные размеры увеличить

вn раз?

§5.4. Разреженные газы. Взаимодействие молекул

споверхностью твердого тела )

5.4.1.Оцените число молекул воздуха, попадающих на 1 см2 стены вашей комнаты в 1 с, и импульс, переданный ими стене.

5.4.2.Во сколько раз изменится давление газа, если k-я часть молекул, ударяющихся о стенку, вдруг начнет поглощаться ею?

5.4.3.В разреженном газе с постоянной скоростью v движется шар радиуса r. Число молекул в единице объема газа n, масса молекулы m, тепловые скорости молекул значительно меньше скорости шара. Оцените силу сопротивления, действующую на шар.

5.4.4.Почему метеориты раскаляются в атмосфере Земли?

5.4.5.В разреженном газе с молярной массой µ движется диск радиуса r с постоянной скоростью v, направленной вдоль оси диска. Оцените силу сопротивления, действующую на диск. Скорость диска много меньше тепловой скорости молекул. Давление газа P , его температура T .

♦5.4.6. В сосуде находится газ под давлением P . В стенке сосуда имеется отверстие площади s, размеры которого малы по сравнению с длиной свободного пробега молекул газа. Определите реактивную силу, испытываемую сосудом при истечении газа в вакуумное пространство.

♦5.4.7. В разреженном газе с молярной массой µ движется пластина так, как показано на рисунке. Оцените, какую силу необходимо прикладывать к пластине, чтобы она двигалась с постоянной скоростью v. Площадь пластины S, давление газа P , его температура T . Скорость пластины мала по сравнению с тепловой скоростью молекул.

5.4.8.В сосуде с газом, давление которого можно менять, находятся два параллельных диска. Один диск висит на упругой нити, другой вращается с постоянной угловой скоростью. Угол закручивания первого диска при давлении P1

) В этом параграфе считать, что молекулы в разреженном газе (длина свободного пробега молекул много больше характерных размеров системы), уходящие с поверхности твердого тела, имеют среднеквадратичную скорость, соответствующую температуре твердого тела.

9

129

равен ϕ1. При увеличении давления газа угол закручивания нити сначала увеличивается, а затем, достигнув величины ϕ2, перестает зависеть от давления газа. Объясните этот эффект. Как зависит угол закручивания нити от давления газа

при ϕ ϕ2?

5.4.9. Между двумя длинными коаксиальными цилиндрами радиуса r1 и r2 находится разреженный газ. Внутренний цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью ω. Оцените угловую скорость внешнего цилиндра.

♦ 5.4.10 . Легкие слюдяные пластины с зеркальной поверхностью зачернили с одной стороны и закрепили на оси вращения так, как показано на рисунке. Затем эту систему поместили в стеклянный сосуд, из которого частично откачали воздух. Если теперь этот сосуд поставить в ярко освещенное помещение, то пластины начнут вращаться по часовой стрелке, причем тем быстрее, чем больше света в помещении. Снабдив это устройство измерительной шкалой, можно использовать его в качестве радиометра — прибора для измерения интенсивности светового излучения. Объясните принцип действия этого прибора.

5.4.11 . Оцените подъемную силу пластины площадью 1 м2, нижняя поверхность которой находится при температуре 100 ◦C, а верхняя — при 0 ◦C. Температура воздуха 20 ◦C, давление 0,1 Па.

5.4.12. Оцените скорость, с которой будет двигаться в сильно разреженном воздухе плоский диск, одна из сторон которого нагрета до температуры 310 K, а другая — до 300 K. Температура воздуха 300 K.

5.4.13 . Две одинаковые параллельные пластины площади S каждая расположены в сосуде близко друг к другу; их температура T1 и T2, температура стенок сосуда T1. Пластины отталкиваются друг от друга с силой F . Оцените давление разреженного газа в сосуде.

♦ 5.4.14 . В сосуде с газом поддерживается температура T0. Вне его находится газ, давление которого P , а температура T . Чему равно давление газа внутри сосуда,

♦ 5.4.15 . Теплоизолированная полость сообщается через небольшие одинаковые отверстия с двумя другими полостями, содержащими газообразный гелий,

130