Savchenko_O_Ya__FMSh_NGU__Zadachi_po_fizike

7.4.16.Возможен ли безызлучательный захват свободным протоном элек-

трона (образование атома водорода)?

7.4.17 . На покоящийся протон налетает из бесконечности другой протон со скоростью v. Прицельный параметр ρ. Определите, на какое расстояние они сблизятся.

♦7.4.18 . Две одинаковые частицы с зарядом q и скоростями u и v, лежащими в одной плоскости, составляющими соответственно углы α и β с линией, их соединяющей, находятся на расстоянии l друг от друга. Определите массу частиц, если известно, что минимальное расстояние, на которое они сближаются,

равно r.

7.4.19 . Два заряда поместили на расстоянии l друг от друга и отпустили.

Через время t0 расстояние между зарядами удвоилось. Эти же заряды поместили на расстоянии 3l и отпустили. Через какое время расстояние между зарядами удвоится?

7.4.20.Частица массы m, имеющая заряд q, движется с большого расстояния по направлению к центру равномерно заряженной незакрепленной сферы. Радиус сферы R, ее заряд Q, масса M. Какой скоростью должна обладать частица на большом расстоянии от сферы, чтобы через небольшие отверстия пролететь сквозь нее? qQ > 0.

7.4.21.Частица массы m, имеющая заряд q, со скоростью v0 приближается с большого расстояния к заряженному незакрепленному кольцу, двигаясь по его оси. Радиус кольца R, заряд Q, масса M. Вначале кольцо покоится. Чему будет

равна скорость частицы, когда она будет проходить через центр кольца? 7.4.22 . Частица массы m, имеющая заряд q, приближается с большого рас-

стояния к равномерно заряженному незакрепленному шару, двигаясь по направлению к центру шара. Радиус шара R, заряд Q, масса M. Вначале шар покоится. Какую наименьшую скорость должна иметь частица на большом расстоянии от шара, чтобы пройти через его центр?

♦7.4.23 . Три одинаковых одноименно заряженных шарика, имеющие заряд q и массу m, соединены невесомыми, нерастяжимыми и непроводящими нитями длины l. Одну из нитей пережигают. Определите максимальную скорость шариков.

♦ 7.4.24. Внутри гладкой непроводящей сферы массы M и радиуса R находятся две одинаковые бусинки массы m, имеющие заряд q. Расстояние между бусинками l. Найдите максимальную скорость сферы, если бусинки освободить.

7.4.25. На горизонтальной плоскости на расстоянии R друг от друга поместили два тела массы m, имеющие заряд Q. В результате электрического взаимодействия тела начинают двигаться по плоскости. Какое расстояние пройдет каждое из тел, если коэффициент трения тел о плоскость равен µ? Какую максимальную скорость приобретут тела в процессе движения?

12

181

♦ 7.4.26 . В конической лунке глубины H и с углом при вершине α на h0 ниже плоскости основания лунки находятся два небольших заряженных тела, связанных нитью. Нить пережигают, и тела сначала скользят вверх по стенке

лунки, а затем вылетают	стенку лунки µ, масса
и заряд каждого тела	тела, вылетевшие из
лунки?

7.4.27.Два заряженных шара массы m, имеющих заряд q, соединяют недеформированной пружиной длины l и отпускают. Спустя некоторое время возникшие колебания шаров из-за трения в пружине прекратились и шары оказались на расстоянии 2l друг от друга. Определите количество теплоты, которое выделилось в пружине.

7.4.28.При колебании двух заряженных шариков, связанных с пружиной,

длина пружины меняется от l1 до l2. Длина недеформированной пружины l0, заряд каждого шарика q. Определите жесткость пружины.

7.4.29.Сфера массы m, имеющая заряд q, в результате взрыва распадается на большое число одинаковых осколков, скорость которых в момент взрыва равна v и направлена вдоль радиуса сферы. Определите максимальную скорость осколков.

7.4.30.Две одинаковые капли ртути радиуса R летят навстречу друг другу, имея на большом расстоянии скорость v. Происходит столкновение, в результате которого капли сливаются в одну. Определите количество выделившейся при столкновении теплоты, если: а) капли имеют разноименные заряды Q и −Q; б) одна капля имеет заряд −q, другая Q. Плотность ртути ρ, поверхностное натяжение σ.

♦7.4.31. На оси цилиндрического отверстия в металлической плите на некотором расстоянии от последней находится точечный заряд q. Заряд отпускают. Опишите качественно его движение.

♦ 7.4.32 . Между двумя заземленными параллельными горизонтальными металлическими плоскостями на одинаковом расстоянии h от них находится заряженная тонкая пластинка. Площадь пластины S, ее масса m, поверхностная плотность заряда σ. Какую минимальную скорость нужно сообщить этой пластине, чтобы она долетела до верхней плоскости? Расстояние до плоскостей h много меньше линейных размеров пластины.

182

7.4.33. Внутри закрепленного проводящего незаряженного шара радиуса R имеется сферическая полость радиуса r, центр которой совпадает с центром шара. Какую минимальную скорость необходимо сообщить находящейся в центре частице массы m, имеющей заряд q, чтобы, пройдя через тонкий канал в шаре, она ушла на большое расстояние от него?

♦7.4.34 . Вдоль оси длинного цилиндрического канала, вырезанного в проводнике, пролетает тонкий стержень, линейная плотность заряда которого ρ. Длина

стержня l много больше радиуса R1 и R2. Вдали от области сужения канала справа скорость стержня v0. Найдите скорость стержня вдали от области сужения канала слева. Масса стержня m.

♦7.4.35 . Чему равен период малых колебаний четырех заряженных тел, связанных одинаковыми нитями длины l и движущихся так, как показано на рисунке? Масса и заряд тела m и q.

7.4.36 . Плазма состоит из электронов и тяжелых положительно заряженных ионов. Число электронов и ионов в единице объема одинаково и равно n. В слое плазмы толщины h всем электронам сообщили одинаковую скорость v в направлении, перпендикулярном слою. Через какое время основная масса элек-

p

тронов остановится электрическими силами, если: а) v he n/me; б) v

p

he n/me, где e, me — заряд и масса электрона? Оцените в обоих случаях частоту колебания электронов.

7.4.37 . Три заряженных тела одинаковой масссы, разлетаясь, образуют всегда равнобедренный треугольник с углами α при вершине. Во сколько раз заряд тела, расположенного в вершине треугольника больше заряда тела в его основании.

♦ 7.4.38 . Тело зарядом q удерживается на столе. Справа от него на расстоянии l зкреплен одноименный точечный заряд q. Слева на таком же расстоянии покоится брусок массы M, который со столом имеет коэффициент трения µ. Тело отпускают, и оно начинает без трения скользить по столу, упруго ударяясь о брусок, не передавая при ударах ему свой заряд. На какое расстояние брусок сдвинется в результате всех ударов тела?

183

Глава 8

Электрический ток

§ 8.1. Ток. Плотность тока. Ток в вакууме

8.1.1. а. В синхротроне электроны движутся по приблизительно круговой орбите длины l = 240 м. Во время цикла ускорения на орбите находится примерно n = 1011 электронов, их скорость практически равна скорости света. Чему равен ток?

б. Определите ток, создаваемый электроном, движущимся по орбите радиуса r = 0,5 · 10−10 м в атоме водорода.

8.1.2.В проводе длины l полный движущийся заряд, равномерно распределенный по проводу, равен q. Определите среднюю скорость движения зарядов, если ток равен I.

8.1.3.В генераторе Ван де Граафа прорезиненная лента ширины a = 30 см движется со скоростью v = 20 м/с. Около нижнего шкива ленте сообщается заряд настолько большой, что по обе стороны ленты он создает поле напряженности

E= 1,2 · 106 В/м. Чему равен ток?

8.1.4.Ток в разреженном газе вызывает движение ионов. Докажите, что соударение одинаковых ионов между собой не меняет тока.

8.1.5.Если предположить, что число электронов проводимости в металле равно числу атомов, то какой будет средняя скорость электронов проводимости в серебряной проволоке диаметра 1 мм, по которой идет ток 30 А?

8.1.6.Листочек фольги, покрытый β-радиоактивным веществом, испускает с единицы площади ν электронов в единицу времени. Их скорость равна v, любое направление скорости равновероятно. Найдите плотность тока. Почему она не зависит от v?

8.1.7.В струе β-радиоактивных пылинок, имеющих скорость u, число элек-

тронов в единице объема равно ne. Скорость электрона относительно испустившей его пылинки, равна v, а все направления скоростей равновероятны. Определите плотность электронного тока в струе.

♦ 8.1.8. В рентгеновской трубке пучок

электронов с плотностью тока j = 0,2 А/мм2 попадает на скошенный под углом 30◦ торец металлического стержня. Площадь этого торца s = 10−4 м2, а сам стержень расположен вдоль оси пучка. Определите ток в стержне.

184

8.1.9.В протонный пучок с плотностью тока j = 1 мкА/см2 поместили металлический шар радиуса r = 10 см. Определите время, за которое шар зарядится до потенциала V = 220 В. Действием поля шара на пучок пренебречь.

8.1.10.Плотность тока в пучке электронов j, скорость электронов v. Определите плотность заряда в пучке.

8.1.11.В электронном пучке круглого сечения с начальным радиусом r =

3 см скорость электронов v = 108 м/с при полном токе в пучке I = 100 А. Оцените начальную напряженность электрического поля на поверхности пучка и расстояние, на котором радиус пучка под действием собственного электрического поля увеличится вдвое.

8.1.12 . Между двумя параллельными сетками создано тормозящее электрическое поле напряженности E. По нормали к передней сетке падает широкий пучок электронов, у которого плотность заряда ρ0, а скорость v0. Пренебрегая взаимодействием самих электронов, найдите распределение плотности заряда между сетками в случае, если: а) скорость электронов настолько велика, что они проходят сквозь сетки и не возвращаются; б) электроны отражаются полем. Начиная с каких значений ρ0 во втором случае следует учитывать поле заряда между сетками?

♦8.1.13. В вакуумном диоде два электрода: катод, с которого «испаряются» электроны (его специально подогревают), и анод, на который попадают вылетевшие с катода электроны. Объясните, почему диод можно использовать как выпрямитель. На рисунке показано, как при постоянном напряжении между анодом и катодом ток в цепи анода зависит от температуры катода. Объясните качественно эту зависимость.

♦8.1.14. На рисунке приведены три графика зависимости тока в аноде от напряжения на электродах диода, снятые при разных значениях температуры катода. Какая кривая соответствует низкотемпературному катоду, а какая высокотемпературному?

8.1.15. Когда ток в диоде далек от насыщения, то вблизи поверхности катода образуется тонкий слой электронов, из которого большинство электронов возвращается на катод, притягиваясь к нему, а часть диффундирует в противоположную сторону и увлекается полем к аноду. Почему на внешней границе этого слоя поле можно считать нулевым?

8.1.16 . Катод и анод в вакуумном диоде — две параллельные металлические пластины с зазором d = 0,5 см между ними. Площадь каждой пластины S = 10 см2. При напряжении V = 5000 В между катодом и анодом идет ток I = 1 А. Считая электрическое поле между пластинами однородным, определите плотность заряда в зависимости от расстояния до катода. Примите начальную скорость электронов равной нулю. Можно ли в рассматриваемом случае пренебречь действием на электроны их пространственного заряда?

8.1.17 . Для учета влияния пространственного заряда на работу плоского диода с межэлектродным расстоянием d нужно установить зависимость плотно-

185

сти заряда ρ, потенциала ϕ и скорости электронов v от расстояния до катода x. Скорость электронов и напряженность поля на катоде при токах, далеких от насыщения, можно считать нулевыми. В случае, когда катод заземлен, потенциал можно представить в виде ϕ = V (x/d)n. Определите отсюда ρ(x) и v(x), а затем, используя условие стационарности тока, найдите показатель степени n. Получите точные выражения для плотности тока и тока через диод при заданном напряжении V . Площадь электродов S.

8.1.18 . Анод и катод диода имеют произвольную форму. Пусть при определенном напряжении на диоде в режиме, далеком от насыщения, между электродами установится пространственный заряд, плотность которого ρ(x, y, z). Во сколько раз увеличится плотность этого заряда, если напряжение на диоде увеличить в n раз? Во сколько раз увеличится ток через диод?

8.1.19. Прямолинейный провод глубоко зарыт в однородном грунте. Ток утечки с единицы длины провода равен i. Определите плотность тока на расстоянии r от провода. Длина провода много больше r.

♦ 8.1.20. а. К точке A среды подводится ток I,

а от точки B отводится ток I. Считая, что каждая точка среды независимо от других точек создает стационарное сферически-симметрическое поле тока, определите поверхностную плотность тока в плоскости симметрии точек A и B. Каков полный ток через эту плоскость? Как изменится решение, если и к точке B подводится ток I?

б . Определите распределение плотности тока по поверхности грунта, если на глубине h от его поверхности находится точечный источник с током I.

8.1.21 . Параллельно поверхности идеального проводника на расстоянии l от нее движется со скоростью v точечный заряд q. Определите на расстоянии r от этого заряда линейную плотность «наведенного» поверхностного тока в проводнике; r > l.

§ 8.2. Проводимость. Сопротивление. Источники ЭДС

8.2.1 . а. Определите удельную проводимость металла, если число электронов проводимости в единице объема металла ne, время между последовательными соударениями электрона с ионами кристаллической решетки τ. Сразу после соударения любое направление скорости электрона равновероятно.

б. Оцените среднее время между последовательными соударениями электрона проводимости с ионами кристаллической решетки меди.

8.2.2 . Контейнер, наполненный воздухом при комнатной температуре и атмосферном давлении, облучается рентгеновским излучением, ионизирующим небольшую часть молекул. Отрицательными ионами являются молекулы O2, «захватившие» электрон. Размер контейнера 10 × 10 × 2 см; две стенки 10 × 10 см сделаны из металла, а остальные — из изолирующего материала. Между проводящими стенками приложено напряжение 1000 В, вызывающее ток 1,5 мкА. Считая число положительных и отрицательных однократно заряженных ионов одинаковым, оцените долю ионизированных молекул газа. Длина свободного пробега ионов 10−7 м.

8.2.3. Под действием постоянного электрического поля в проводнике устанавливается постоянный ток, т. е. носители тока имеют постоянную среднюю скорость, а не ускорение. Это означает, что существует сила, действующая на носители тока со стороны вещества. Найдите среднюю силу, действующую на

186

носитель через удельную проводимость вещества λ, плотность носителей тока n, скорость их дрейфа v и заряд e.

8.2.4. Проволочное металлическое кольцо радиуса r = 0,1 м вращается с угловой скоростью Ω = 103 рад/с. Определите, какой ток пойдет через кольцо при равномерном замедлении в течение времени π = 10−3 с его вращения до полной

остановки. Сечение проволоки s = 0,5 см2, удельная проводимость металла λ = 6 · 107 См/м.

8.2.5. Средняя скорость направленного движения зарядов в проводниках составляет не более нескольких сантиметров в секунду. Почему же настольная лампа зажигается сразу после нажатия кнопки выключателя?

8.2.6 . Определите отношение теплопроводности и удельной проводимости для ряда металлов при 0 ◦C, пользуясь приведенной таблицей. Чем объяснить получившийся результат?

Металлы	κ, Вт/(м·K)	λ, 107 См/м		Металлы	κ, Вт/(м ·K)	λ, 107 См/м
Медь	385	6,0		Железо	60	0,9
Цинк	111	1,7		Свинец	34	0,5

♦ 8.2.7. Определите напряженность электрического поля и разность потенциалов между точками A и B проводника, если ток в нем идет под углом α к направлению прямой AB. Найдите разность потенциалов между точками A и B, если линия тока, соединяющая эти точки, является полуокружностью. Расстояние от A до B равно l. Плотность тока в проводнике j, его удельная проводимость λ.

8.2.8. Плотность тока j перпендикулярна плоскости раздела двух сред с удельной проводимостью λ1 и λ2. Найдите поверхностную плотность заряда на этой плоскости.

♦ 8.2.9. На плоскость раздела двух сред, удельная проводимость которых λ1 и λ2, из первой среды идут линии тока, образуя угол α1 с нормалью к плоскости. Какой угол образуют с этой нормалью линии тока во второй среде? Чему равна поверхностная плотность заряда на границе раздела сред? В первой среде плотность тока j.

8.2.10.Удельная проводимость среды зависит от координаты x: λ = λ0a/(a+ x). Как зависит от x плотность заряда при стационарной плотности тока j, направленной вдоль оси x?

8.2.11.В центре проводящего шара с удельным сопротивлением ρ оказался

избыточный заряд Q0.

а. Как зависит от Q0 ток, текущий из центра шара к его поверхности? б . Как будет меняться заряд в центре шара со временем?

♦8.2.12. Пластины заряженного конден-

сатора соединены тонким изогнутым проводником. Как направлен ток между точками A и B? Как это согласовать с направлением поля в конденсаторе?

187

8.2.13. Цилиндр из проводящего вещества с удельной проводимостью λ имеет длину l и поперечное сечение S. Разность потенциалов между его торцами равна V . Определите ток через сечение цилиндра. Каково сопротивление этого цилиндра?

♦8.2.14. Из металлов с удельной проводимостью λ1 и λ2 изготовили длинные стержни и соединили их так, как показано на рисунке. На крайних торцах поддерживается разность потенциалов V . Определите сопротивление соединенных стержней и токи в них.

♦8.2.15. Экспериментатор хочет приготовить слой алюминия толщины 500 нм, напыляя его в вакууме на чистую поверхность стеклянной пластинки. Сначала он наносит два довольно толстых слоя алюминия, оставляя в центре пластинки полоску чистой поверхности, закрытую маской. Потом, используя другую маску, он напыляет на стекло в поперечном направлении полоску алюминия той же ширины, что и чистая полоска. При этом толстые слои используются как выводы для измерения сопротивления напыляемого слоя. При каком сопротивлении слоя напыление следует остановить, если удельное сопротивление алюминия

при комнатной температуре равно 2,83 · 10−8 Ом ·м?

8.2.16 . Длинная цилиндрическая трубка из изолятора покрыта тонким проводящим слоем. Сопротивление между торцами трубки R0. Проводящий слой прорезают тонким резцом по винтовой линии, идущей под углом α к образующей трубке. После этого подсоединяют контакты и наносят изолирующее покрытие. Определите сопротивление получившегося резистора.

8.2.17 . В среде с малой удельной проводимостью λ находится металлический шар радиуса r. Определите ток, стекающий с шара, если его потенциал равен V . Если такой шар подсоединить изолированным проводом к громоотводу, то каким будет сопротивление заземления?

8.2.18 . Два электрода — металлические шары диаметра 30 см — висят в море на изолированных кабелях на глубине 60 м. Расстояние между шарами 300 м. Удельная проводимость морской воды 4 См/м. Оцените сопротивление воды между шарами.

8.2.19 . На медные электроды, погруженные в большой сосуд с подсоленной водой, подается постоянное напряжение. С помощью зонда, подсоединенного к высокоомному вольтметру, можно получить «карту» эквипотенциалей. Как по данным этой карты определить направление линий тока

иплотность тока? Почему электрическое поле в воде такое же, как и для электродов в вакууме при том же напряжении между ними?

♦ 8.2.20. Радиусы обкладок сферического конденсатора соответственно r1 и r2, заряд ±q. Найдите сопротивление

иток утечки в этом конденсаторе, если между обкладками находится вещество с диэлектрической проницаемостью ε

иудельной проводимостью λ.

188

8.2.21 . После заполнения конденсатора средой с удельной проводимостью λ и диэлектрической проницаемостью ε сопротивление между его зажимами оказалось равным R. Найдите емкость конденсатора. Зависит ли результат от конструкции конденсатора?

8.2.22 . Где на нижней и верхней поверхностях круглой проводящей пластины нужно расположить электрические контакты, чтобы сопротивление между ними было минимальным?

8.2.23. Почему при рассмотрении электрического тока в веществе кинетическую энергию носителей тока, связанную с их упорядоченным движением, не учитывают? Оцените кинетическую энергию одного электрона (в электрон-вольтах)

при токе I = 100 А в проволочке из натрия сечения S = 1 мм2. Число электронов проводимости в единице объема проволочки ne = 2,5 · 1022 см−3.

♦8.2.24 . Лента состоит из узких проводящих полосок с еще более узкими изолирующими зазорами. Она соприкасается с одной пластиной конденсатора и с небольшим контактом, между которыми включено сопротивление R. До этого лента не была заряжена, а заряд пластин конденсатора был ±q. Длина пластин l, а их ширина совпадает с шириной ленты. Ленту вытягивают из конденсатора с силой F . Найдите ток через сопротивление и установившуюся скорость ленты. Расстояние от края пластин конденсатора до контакта много больше расстояния между ними и много меньше их длины.

♦8.2.25. В генераторе Ван де Граафа носители заряда, «приклеившиеся» к непроводящей ленте, переносятся против поля. Внутри шара заряды снимаются с ленты сильным полем, локализованным на контактной щетке. Необходимую для движения ленты энергию может поставлять электродвигатель, бензиновый мотор или рука человека. Полный заряд на ленте q, ее длина l, сопротивление между шаром и землей R. Определите установившийся потенциал шара в двух случаях: а) лента движется с постоянной скоростью v; б) ленту двигают, прикладывая к ней постоянную силу F .

♦ 8.2.26. Электрическая «атомная» батарея представляет собой металлическую сферу с изолированным от нее кусочком β-радиоактивного вещества. Число атомов, распадающихся в единицу времени, равно ν. Энергия вылетевших

189

электронов W . Определите напряжение на разомкнутых клеммах батареи. Какой наибольший ток может давать эта батарея? При каком сопротивлении нагрузки батарею можно считать генератором тока?

♦8.2.27 . Источник тока состоит из тонкой пластины радиоактивного вещества, окруженной проводящим корпусом. Ширина зазора между корпусом и пластиной много меньше линейных размеров пластины. Как зависит ток от напряжения между корпусом и радиоактивной пластиной, если ток при положительном

напряжении равен I0? Энергия вылетающих из пластин электронов eV0. Электроны вылетают во все стороны равномерно.

♦8.2.28. Не углубляясь в вопрос о происхождении сторонних сил, постройте график потенциала разомкнутой и замкнутой цепи с сопротивлением R. На

участке цепи длины l сторонняя сила, отнесенная к единице заряда, равна Eс, вне этого участка — нулю. Какую энергию на единицу заряда передает источник сторонних сил на участке l?

♦ 8.2.29. В химическом элементе идут реакции: Ag + Cl− = AgCl + e на отрицательном серебряном электроде

и (1/2)Cl2+e = Cl− на положительном платиновом электроде (платина в реакцию не вступает). При очень малом токе на каждый моль образующегося AgCl внутри элемента выделяется 3280 кал тепла. При протекании реакции Ag + (1/2)Cl2 = AgCl на каждый моль образующегося AgCl выделяется 29 380 кал. Найдите ЭДС элемента, т. е. энергию, сообщаемую элементом единице прошедшего заряда (1 кал ≈ 2,6 · 1019 эВ).

8.2.30. При растворении цинка в H2SO4 выделяется 4,40 · 105 Дж/моль тепла, на выделение меди из CuSO4

требуется затратить энергии 2,34 · 105 Дж/моль. Казалось бы, ЭДС элемента Даниэля можно рассчитать, приравнивая разность этих значений энергий протекшему заряду, умноженному на ЭДС. Вычислите ЭДС таким образом с точностью до 1 %. Однако истинное значение ЭДС оказывается б´ольшим (при нормальной температуре оно равно 1,09 В.). В чем дело? Откуда берется энергия?

8.2.31.Элемент Даниэля дает ток 0,1 А в течение 8 ч. Найдите расход цинка

имедного купороса CuSO4 · 5H2O (в молях).

. При разрядке конденсатора, заряд которого q, через электролити-

ческую ванну с подкисленной водой выделяется масса m гремучего газа. Масса выделяющегося при электролизе вещества зависит только от прошедшего заряда. Значит, разрядив конденсатор через k последовательно соединенных ванн, получим массу km гремучего газа. Сжигая этот газ, получим много энергии.

190