Savchenko_O_Ya__FMSh_NGU__Zadachi_po_fizike

♦ 8.4.17 . Как зависит частота генератора, изображенного на рисунке, от напряжения V ? Неоновая лампа загорается при напряжении V1 и гаснет при напряжении V0 < V1. Сопротивлением горящей лампы пренебречь.

♦8.4.18. а. Между пластинами конденсатора с постоянной скоростью v движется равномерно заряженная тонкая пластина, заряд которой q. Определите ток в цепи, если конденсатор замкнут накоротко, а расстояние между пластинами d.

б. Изменится ли результат, если внутри конденсатора перпендикулярно пластинам со скоростью v движется точечная частица с зарядом q?

♦8.4.19. Между обкладками плоского конденсатора, размеры которых a × a, находится плоская пластина такого же размера, заполняющая весь объем между ними. Диэлектрическая проницаемость пластины ε, ее толщина d. Между обкладками поддерживается постоянное напряжение E. Какой ток идет в цепи конденсатора, если пластину с постоянной скоростью v, направленной вдоль одной из сторон обкладок, вынимают из конденсатора?

8.4.20. При положительном напряжении V на диоде ток через диод I = αV 2; при отрицательном напряжении ток через него равен нулю. Найдите ток в цепи, если этот диод через сопротивление R подключен к батарее с ЭДС E.

♦ 8.4.21. Диод с вольт-амперной характеристикой, изображенной на рисунке, подсоединен к батарее с ЕДС 6 В через сопротивление 1,5 кОм. Определите ток в цепи. При каком сопротивлении диод перестает работать на прямолинейном участке характеристики?

201

Глава 9

Постоянное магнитное поле

§9.1. Индукция магнитного поля. Действие магнитного поля на ток

9.1.1.На линейный проводник длины 10 см, расположенный перпендикулярно магнитному полю, действует сила 15 Н, если ток в проводнике равен 1,5 А. Найдите индукцию магнитного поля.

9.1.2.На заряд 1 Кл, движущийся со скоростью 1 м/с, в магнитном поле действует сила 10 Н. Заряд движется под углом 30◦ к направлению индукции магнитного поля. Чему равна индукция этого поля?

9.1.3.На линейный проводник длины l, расположенный перпендикулярно магнитному полю, действует сила F , если ток в проводнике равен I. С какой силой магнитное поле будет действовать на: ♦а) изогнутый под углом ϕ проводник длины l + L, если плоскость изгиба перпендикулярна магнитному полю, а ток в

проводнике равен I1 ); б ) проводник в виде полуокружности радиуса R, по которому течет ток I2, если плоскость полуокружности перпендикулярна магнитному полю?

♦ 9.1.4 . В прямоугольную кювету, две противоположные стенки которой металлические, а остальные сделаны из изолятора, налит электролит, плотность которого ρ, удельная проводимость λ. К металлическим стенкам кюветы приложено напряжение V , и вся кювета помещена в однородное вертикальное магнитное поле индукции B. Определите разность уровней жидкости около неметаллических стенок кюветы. Длина кюветы a, ширина b.

) На рисунках кружок с точкой означает, что индукция магнитного поля (или ток) направлена на нас, кружок с крестиком — от нас.

202

9.1.5.В вертикальном однородном магнитном поле на двух тонких нитях подвешен горизонтально проводник массы 0,16 кг и длины 80 см. Концы проводника при помощи гибких проводов, находящихся вне поля, подсоединены к источнику тока. Найдите угол, на который отклоняются от вертикали нити подвеса, если по проводнику течет ток 2 А, а индукция магнитного поля 1 Тл.

♦9.1.6. Квадратная рамка с током закреплена так, что может свободно вращаться вокруг горизонтально расположенной стороны. Рамка находится в вертикальном однородном магнитном поле индукции B. Угол наклона рамки к горизонту α, ее масса m, длина стороны a. Найдите ток в рамке.

9.1.7.В однородном магнитном поле поместили прямоугольную рамку с током. Индукция магнитного поля B параллельна плоскости рамки. Площадь рамки S, ток в ней I.

а. Докажите, что момент сил, действующий на рамку, N = BM, где M = IS — магнитный момент рамки.

♦ б. Докажите, что момент сил, действующий на рамку в случае, когда индукция магнитного поля направлена так, как изображено на рисунке, равен

~ ~ × ~ ~

N = [M B], где M — магнитный момент рамки, модуль которого равен IS, а направление перпендикулярно плоскости рамки.

♦9.1.8 . В однородном магнитном поле индукции B находится квадратная

рамка с током. Масса рамки m, ток в ней I. Определите частоту свободных колебаний рамки вокруг оси OO0.

♦9.1.9. Треугольная проволочная рамка с током может вращаться вокруг горизонтальной оси OO0, проходящей через вершину треугольника. Масса единицы длины проволоки ρ, ток в рамке I. Рамка находится в магнитном поле индукции B, направленном вдоль поля тяжести. Определите угол отклонения плоско-

9.1.10. Докажите, что момент сил, действующий на любую плоскую рамку

с током в однородном магнитном поле индукции ~ ~ × ~ B, N = [M B].

♦ 9.1.11. а. Проволочная рамка в виде окружности с током может вращаться вокруг горизонтальной оси OO0. Масса единицы длины проволоки ρ, ток в рамке I. Рамка находится в магнитном поле индукции B, направленном вдоль поля

203

б . Проволочная рамка в виде окружности имеет по диаметру проволочную перемычку, параллельную горизонтальной оси OO0, вокруг которой рамка может вращаться. Масса единицы длины рамки и перемычки одинакова и равна ρ. Ток, входящий в рамку, равен I. Рамка находится в магнитном поле индукции B, направленном параллельно полю тяжести. На какой угол от вертикали отклонится рамка?

♦ 9.1.12. Виток радиуса R согнули по диаметру под прямым углом и поместили в однородное магнитное поле индукции B так, что одна из плоскостей витка оказалась расположенной под углом α, другая — под углом π/2−α к направлению индукции B. Ток в витке I. Определите момент сил, действующих на виток.

9.1.13 . Катушка, по виткам которой течет ток, вертикально стоит на плоскости. Общий вес катушки P , число витков n, радиус R, ток в витках I. При какой индукции однородного магнитного поля, направленного горизонтально, катушка под действием этого поля опрокинется?

♦ 9.1.14. Кольцо радиуса R, по которому циркулирует ток I, поместили в неоднородное аксиально-симметричное поле. Ось кольца совпадает с осью симметрии магнитного поля. Индукция магнитного поля B, действующего на ток, направлена под углом α к оси симметрии поля. Масса кольца m. Определите ускорение

9.1.15 . Проводящее кольцо поместили в магнитное поле, перпендикулярноe его плоскости. По кольцу циркулирует ток I. Если проволока кольца выдерживает на разрыв нагрузку F , то при какой индукции магнитного поля кольцо разорвется? Радиус кольца R. Действием на кольцо магнитного поля, создаваемого током I, пренебречь.

§9.2. Магнитное поле движущегося заряда. Индукция магнитного поля линейного тока )

♦	9.2.1.	~
		Электрическое поле напряженности E зарядов,

движущихся со скоростью v ), создает магнитное поле, ин-

~	~	ε0
дукция которого B = K[v × E]. Коэффициент K равен µ0

в СИ и 1/c в СГС, где c — скорость света. Докажите, что магнитное взаимодействие двух движущихся зарядов слабее их электрического взаимодействия.

9.2.2. Пользуясь формулой из предыдущей задачи, найдите распределение индукции магнитного поля вокруг бесконечной заряженной нити с линейной плотностью заряда ρ, если нить движется в продольном направлении со скоростью v.

) Если в задаче не указано значение магнитной проницаемости среды, считайте ее равной единице.

) Если специально не оговорено в задаче, считайте v c.

204

9.2.3.Найдите распределение индукции магнитного поля вокруг бесконечного прямого провода, по которому течет ток I.

9.2.4.На единицу длины прямого длинного провода с током со стороны вто-

рого провода с таким же током действует сила 2,5 · 10−7 Н. Расстояние между проводами 1 м, ток в проводах 1 А. Чему равна магнитная проницаемость этой среды?

9.2.5.По каждому из четырех длинных прямых параллельных проводников, проходящих через вершины квадрата (стороны квадрата 30 см) перпендикулярно его плоскости, течет ток 10 А, причем по трем проводникам ток течет в одном направлении, а по четвертому — в противоположном. Определите индукцию магнитного поля в центре квадрата.

9.2.6.Длинные прямые провода с током пересекаются под прямым углом. Определите индукцию магнитного поля в точке с координатами x и y, если осями координат служат провода, а ток в проводах I.

9.2.7.Длинные прямые провода с током пересекаются под углом α. Найдите индукцию магнитного поля на прямой, проходящей через точку пересечения проводов перпендикулярно им обоим. Ток в проводах I.

♦9.2.8. а. Используя формулу, приведенную в задаче 9.2.1, определите индукцию магнитного поля, создаваемого зарядом q, движущимся со скоростью v, на расстоянии r от этого заряда. Радиус-вектор ~r образует со скоростью v угол α.

♦б. Определите индукцию магнитного поля прямого провода длины l, по которому течет ток I, на расстоянии r от провода, если l r. Радиус-вектор ~r образует с проводом угол α.

9.2.9.Докажите, что на больших расстояниях от двух последовательно соединенных участков провода l1 и l2, по которым течет ток, магнитное поле близко

~ ~	~	, по которому течет тот же ток.
к магнитному полю участка провода l = l1	+ l2

9.2.10.По кольцу радиуса R течет ток I. Определите индукцию магнитного поля в центре кольца и на его оси на расстоянии h от центра кольца.

9.2.11.Во сколько раз уменьшится индукция магнитного поля в центре кольца с током, если его согнуть под углом α? Ток в кольце не меняется.

9.2.12.Провод, лежащий в одной плоскости, состоит из двух длинных прямых параллельных участков, связанных полуокружностью. По проводу течет ток I. Определите индукцию магнитного поля в центре полуокружности.

♦9.2.13. Длинный прямой провод с током I имеет участок в виде полуокружности радиуса R. Определите индукцию магнитного поля в центре полуокружности.

205

♦9.2.14 . Прямой провод имеет виток радиуса R. По проводу течет ток I. Определите индукцию магнитного поля в центре витка и на его оси на расстоянии h от его центра.

9.2.15.а. Металлическое кольцо разорвалось, когда ток в кольце был I0. Сделали точно такое же кольцо, но из материала, предел прочности которого в

десять раз больше. Какой ток разорвет новое кольцо?

б . Какой ток разорвет новое кольцо, сделанное из этого более прочного материала, если все размеры нового кольца в два раза больше размеров старого?

9.2.16.Определите индукцию магнитного поля на оси контура, магнитный момент которого M, на больших расстояниях h в случаях, когда контур представляет собой окружность, квадрат, правильный треугольник.

♦9.2.17 . Определите индукцию магнитного поля прямоугольной рамки a ×a с током I в точке A, находящейся на расстоянии r, много большем линейных

размеров рамки. Радиус-вектор ~r образует с плоскостью рамки угол α.

9.2.18 . Магнитное поле плоского контура с током на больших расстояниях от него определяется магнитным моментом контура и не зависит от его формы. Докажите это.

♦9.2.19 . а. Внутри большого квадратного контура с током равномерно распределено много квадратных микроконтуров с током. Магнитный момент каждо-

го микроконтура M0. Докажите, что на расстоянии, много большем расстояния между микроконтурами, индукция их магнитного поля совпадает с индукцией

магнитного поля большого контура, магнитный момент которого nM0, где n — число микроконтуров внутри большого контура.

б. Тонкая квадратная пластина, размеры которой a×a×h (h a), намагничена в направлении, перпендикулярном ее плоскости. Индукция магнитного поля в центре пластины B. Определите магнитный момент единицы объема вещества

9.2.20.Из намагниченного железа вырезали плоский тонкий диск радиуса R

итолщины h. Плоскость диска перпендикулярна направлению намагничивания. Магнитный момент единицы объема железа M. Определите индукцию магнитного поля на оси диска на расстоянии l от его центра.

9.2.21.Оцените индукцию магнитного поля в центре плоского железного кольца толщины 1 см с внутренним радиусом 10 см и внешним радиусом 20 см. Все атомы железа ориентированы вдоль оси кольца, магнитный момент атома

железа равен 2µe = 1,85 · 10−23 Дж/Тл.

9.2.22. Индукция магнитного поля в центре тонкого стального намагниченного вдоль своей оси диска радиуса R равна B. Этот диск помещают в однородное магнитное поле с индукцией B0, которое не меняет магнитного момента диска.

206

Как нужно ориентировать диск в этом магнитном поле, чтобы момент сил, действующий на него, был максимальным? Чему равен этот момент?

9.2.23. Сила взаимодействия двух тонких намагниченных квадратных пластин, расположенных на расстоянии H друг над другом, равна F . Размеры пластин a × a × h. Оцените магнитный момент единицы объема пластины, если толщина пластины h H, а H a.

§ 9.3. Магнитное поле тока, распределенного по поверхности или пространству

9.3.1.Используя формулу, приведенную в задаче 9.2.1, определите индукцию магнитного поля вблизи равномерно заряженной пластины, которая движется со скоростью v вдоль своей плоскости. Поверхностная плотность заряда пластины σ.

9.3.2.Найдите индукцию магнитного поля внутри плоского конденсатора, движущегося со скоростью 9 м/с параллельно своим пластинам. Расстояние между пластинами 10 мм, напряжение на них 10 кВ.

9.3.3.Чему равна индукция магнитного поля бесконечной плоскости, по которой идет ток линейной плотности i?

9.3.4.По двум параллельным плоскостям текут в одном направлении то-

ки, линейная плотность которых i1 и i2. Определите индукцию магнитного поля между плоскостями и вне их.

9.3.5.По двум параллельным шинам течет ток I. Ширина шин b много больше расстояния между ними. Чему равна сила, действующая на единицу длины шины?

9.3.6.а. Через пластину прямоугольного сечения a × b (a b) пропустили ток I. Модуль продольной упругости пластины E. Определите, на сколько уменьшится размер a под действием магнитных сил.

б. Мягкая медь «течет» при давлении 4 · 107 Па, а сталь — при давлении 5 · 108 Па. Оцените минимальную индукцию магнитного поля, под действием которого будут «течь» медь и сталь.

♦ 9.3.7. По плоской поверхности, изображенной на рисунке, течет ток линейной плотности i. Докажите, что составляющая индукции магнитного поля, параллельная поверхности и перпендикулярная направлению i, определяется формулой Bk = µ0iΩ/4π в СИ и Bk = iΩ/c в СГС, где Ω — телесный угол, под которым видна поверхность.

9.3.8. Используя формулу Bk = µ0iΩ/4π из задачи 9.3.7, решите следующие задачи.

а. Определите индукцию магнитного поля бесконечно длинной полосы ширины 2h в точке над средней линией полосы на расстоянии h от этой линии, если вдоль полосы течет ток линейной плотности i.

б. Определите индукцию магнитного поля по оси бесконечно длинного цилиндра, по поверхности которого течет поперечный ток линейной плотности i.

в . По прямому длинному проводнику, сечение которого — правильный треугольник со стороной a, течет ток плотности j. Определите индукцию магнитного поля на ребрах проводника.

9.3.9. Какую силу натяжения вызывает в витках длинного соленоида ток I? Число витков на единицу длины соленоида n, его радиус R.

♦ 9.3.10 . По поверхности полубесконечного кругового цилиндра радиуса R течет поперечный ток линейной плотности i.

207

а. Определите составляющую индукции магнитного поля вдоль оси цилиндра в крайнем его сечении AA0.

б. Как зависит индукция магнитного поля на оси цилиндра от расстояний x1 и x2 до его конца? Чему равна эта индукция на больших расстояниях от цилиндра

9.3.11 . а. Сплошной цилиндр вырезан из намагниченного до насыщения железа так, что его ось совпадает с направлением намагничивания. Докажите эквивалентность магнитного поля этого цилиндра полю поперечного тока, текущего по его поверхности, линейная плотность которого равна магнитному моменту единицы объема железа.

б. Из длинного стержня, намагниченного до насыщения вдоль оси, вырезали кубик так, что одно из ребер кубика было направлено вдоль направления намагничивания. Во сколько раз индукция магнитного поля в центре кубика будет меньше индукции в стержне?

в. Определите индукцию магнитного поля в центре цилиндра длины l и радиуса r. Магнитный момент единицы объема железа равен M. Чему равна эта индукция при r l? при r l?

г. Решите предыдущую задачу в случае, если по оси цилиндра просверлено отверстие малого радиуса.

9.3.12. Тонкие квадратные пластины, размеры которых a × a × h (h a), намагничены до насыщения в направлении, перпендикулярном их плоскости. В центре каждой пластины индукция магнитного поля B0. Чему будет равна индукция поля внутри длинного прямоугольного столба сечения a × a, собранного из этих пластин?

♦ 9.3.13. В длинный соленоид с током 0,5 А поместили цилиндрический ферромагнитный столбик с узкими полостями. Число витков на 1 см длины соленоида 10, магнитная проницаемость ферромагнетика 600. Определите индукцию магнитного поля в продольной и поперечной полостях (в точках A и B).

9.3.14.Диск радиуса R и высоты h R, сделанный из материала с магнитной проницаемостью µ = 1 + κ, κ 1, по-

местили поперек однородного магнитного поля индукции B0. На сколько индукция в центре диска будет отличаться от B0?

9.3.15.Циркуляция индукции постоянного магнитного поля по замкнутому контуру в вакууме равна току через по-

верхность, ограниченную этим контуром, умноженному на µ0.

Приведите примеры, подтверждающие этот закон. Решите, используя его, следующие задачи.

а. По бесконечно длинному прямому проводу радиуса r течет ток I. Ток распределен равномерно по сечению провода. Найдите индукцию магнитного поля внутри и вне провода.

208

♦ б. По длинной широкой шине с поперечным размером a течет ток, равномерно распределенный по сечению проводника. Плотность тока j. Как зависит индукция магнитного поля от расстояния x до средней плоскости шины?

9.3.16. Через тороидальный соленоид, имеющий N витков, протекает ток I. Внешний радиус тора R, внутренний r. Определите минимальную и максимальную индукцию магнитного поля внутри соленоида.

♦ 9.3.17. а. Ток I идет по длинному прямому проводу, перпендикулярному проводящей плоскости, и растекается по ней. Определите распределение магнитного поля.

б. Длинный провод с током I пересекает проводящую плоскость в перпендикулярном ей направлении. Ток, уходящий на плоскость, равен I0. Определите распределение магнитного поля в этой системе.

в. Коаксильный кабель входит в сферическую плоскость так, как изображено на рисунке. Найдите индукцию магнитного поля во всем пространстве.

♦ 9.3.18 . Ток I по длинному прямому проводу входит в проводник перпендикулярно его поверхности и равномерно растекается по нему. Как зависит индукция магнитного поля внутри проводника от угла β и расстояния r?

14

209

♦9.3.19. Распределение тока в двух взаимно перпендикулярных пластинах толщины h показано на рисунке. В области пересечения пластин тока нет. Нарисуйте график зависимости индукции магнитного поля от x.

♦9.3.20. В бесконечной пластине толщины h вырезали цилиндрическую полость радиуса h/2, ось которой параллельна поверхностям пластины. Во всем объеме пластины, за исключением полости, течет ток, направленный вдоль оси полости. Найдите распределение индукции магнитного поля вдоль прямой OA, которая проходит через ось полости и перпендикулярна поверхностям пластины. Плотность тока j.

9.3.21 . Определите индукцию магнитного поля в длинной цилиндрической полости, расположенной внутри цилиндрического проводника, если ось полости параллельна оси проводника и отстоит от нее на расстоянии d. Ток распределен равномерно по сечению проводника. Плотность тока j.

♦ 9.3.22 . а. Два цилиндра радиуса R, оси которых находятся на расстоянии a друг от друга, пересекаются, как показано на рисунке. Через заштрихованные области вдоль осей в противоположных направлениях текут токи, плотность которых ±j. Найдите индукцию магнитного поля в области, лежащей между заштрихованными областями.

б. Используя результат предыдущей задачи и применяя метод предельного перехода, найдите при a → 0, j → ∞ распределение линейной плотности тока на поверхности цилиндра радиуса R, которое дает однородное внутри цилиндра магнитное поле индукции B0. Как связана максимальная линейная плотность тока с индукцией поля B0?

9.3.23 . Плоскости витков круглого соленоида наклонены под углом α к его оси. Ток соленоида I, число витков на единицу его длины n, радиус R. Определите индукцию магнитного поля внутри такого соленоида.

♦9.3.24 . Длинный цилиндрический железный стержень радиуса r намагничен в магнитном поле, перпендикулярном оси стержня. Магнитный момент единицы объема стержня M. Как зависит индукция магнитного поля от x на расстояниях, много меньших длины стержня?

§ 9.4. Магнитный поток

♦9.4.1. Индукция однородного магнитного поля равна B.

а. Чему равен магнитный поток через квадрат со стороной a, плоскость которого расположена под углом 60◦ к направлению магнитного поля?

б. Чему равен магнитный поток через плоскую поверхность площади S, которая расположена под углом α к направлению магнитного поля?

210