dobrecov_n_l_kirdyashkin_a_g_kirdyashkin_a_a_glubinnaya_geod

Теоретические основы теnлофuзического моделирования

Т = То(х, у, z). Пространственные краевые усло­	ся с целью изучения не только рассматриваемого
вия представляют собой задание условий тепло­	явления, но и получения данных для расчета дру­
обмена на ограничивающих поверхностях. Мож­	гих родственных явлений. Распространять же
но представить три способа задания граничных	результаты опытов можно лишь на подобные яв­
условий.	ления. Поэтому при постановке эксперимента
1. Граничное условие первого рода пред­	нужно заранее знать, какие величины необходи­
ставляется заданием распределения температуры	мо измерить в опыте, как обрабатывать результа­
на ограничивающих поверхностях во времени.	ты измерений и какие явления в опыте подобны
Например, при стационарном теплообмене и по­	изучаемому в природе.
стоянстве температуры на стенках Тст = const.
2. Граничное условие второго рода сводит­	2.12. Общие понятия о подобии
ся к заданию теплового потока на ограничиваю­

щих поверхностях как функции координат и вре­

мени, т. е. q = -Л(дТ/ду)ст.

3. Граничное условие третьего рода пред­ ставляет собой связь температуры стенки Тет С

температурой окружающей среды Тж через задан­

ное значение коэффициента теплоотдачи к этой среде. В этом случае температура в данной точке на поверхности стенки Тет = ТЖ + q/a , где q -

удельный тепловой поток [вт/м2], а-коэффици­

ент теплоотдачи. Из вышеприведенного соотно­

шения следует, что q = а(Тст - Тж)' В соответствии

с законом Фурье, это выражение можно записать через градиент температуры на твердой стенке

Уже в геометрии мы встречались с поняти­

ями подобия. Например, треугольники подобны,

если сходственные углы равны, а отношение

сходственных сторон треугольников является

числом постоянным, т. е. (/1; =1;/1~ =1;/1; =С,

где С - коэффициент подобия. Используя свой­ ства подобных треугольников, можно определить

высоту сооружения, горы, горизонтальные раз­

меры объектов, ширину реки и т. д., не произво­

дя непосредственного измерения.

Аналогично можно говорить о кинемати­ ческом подобии, т. е. подобии скоростей и уско­

рений потоков жидкости; о динамическом подо­

	_лст(дТ)			ж		бии - подобии сил, вызывающих такие движе­
			ст	=а(тст-т )·	(284)	ния; о тепловом подобии, представляющем по­
	.	ду				добие полей температуры и тепловых потоков.
	Последнее представляет собой задание гра­					Подобны те физические явления, у кото­
	ничного условия в виде дифференциального урав­					рых подобны все величины, характеризующие
	нения.					рассматриваемые явления. Например, для теп­
	Решение задач конвективного теплообмена					лового подобия двух потоков жидкости необхо­
	аналитическими методами очень ограничено и					димо геометрическое подобие каналов, харак­
						терные размеры которых ["/1' = С/, подобие тем­
	представлено для наиболее простых случаев ла­
	минарных потоков. Решение возможно числен­					пературы Т"/Т' = СТ ' скорости u"/u' =CI/'вяз­
	ными методами на ЭВМ, но также имеются ог­					кости т7"/r!, = Ct) , плотности р"/ р' = СР , тепло­
	раничения из-за трудностей получения коррект­					емкости С; /C~ = Се ' Каждая физическая вели­
	ных результатов, особенно для нестационарных					чина имеет свою константу подобия С, где ин­
	трехмерных течений.					декс указывает, к какой физической величине
	Для изучения турбулентных течений оста­					она относится.
	ются только экспериментальные методы иссле­					В двух подобных процессах значения одно­
	дования. На основании этих экспериментальных					именных величин в сходственных пространствен­
	данных строятся полуэмпирические теории изу­					но-временных точках отличаются друг от друга
	чения турбулентных течений и теплообмена.					на постоянный множитель. Пространственно­
	Из-за ограниченности применения аналити­					сходственными точками называются точки, для
	ческих методов и численного эксперимента наи­					которых отношения координат являются констан­
	более важным в дальнейшем изучении процес­					той подобия. Если рассматриваются векторные
	сов, протекающих при тепловой конвекции, яв­					величины, то сходственные векторы должны быть
	ляется лабораторный эксперимент. Он проводит-					одинаково ориентированы в пространстве.

61

Теоретические основы теплофизического моделирования

Определяющими будут лишь критерии, со­	-А'дТ: =а'/1Т'.	(2.101)
ставленные из независимых переменных, входя­
	ду

щих в условия однозначности, представляющих

собой геометрические свойства системы, физи­

ческие свойства тел системы, начальное ее со­

стояние и условия на границе.

Например, при тепловой гравитационной

конвекции скорость течения есть следствие тем­

пературных перепадов в системе. Поэтому опре­

деляющим критерием процесса будет не крите­

рий Fr, а комплекс Gr = Fr·Re2 = {3g!1ТZЗ/\? - кри­

терий Грасгофа. Для различных конвективных систем критерии подобия нужно анализировать отдельно. Каждый критерий подобия имеет свой физический смысл.

Так, критерий гомохро1tl-lOсти (Но ~ utll)

позволяет установить сходственные моменты

времени, в которых системы будут подобны друг

другу. Он также характеризует, насколько быст­

ро изменяется поле скорости в системе.

Критерий Фруда (Fr = (3g!1Tl/u 2) - это кри­

терий гравитационного подобия характеризует

отношение силы тяжести к силам инерции.

Критерий Эйлера (Еи = Р/ри2) является кри­

терием подобия полей скорости и характеризует

отношения сил давления и инерции в потоке.

Критерий Рейнольдса (Re = ul/v) характери­

зует гидродинамический режим потока и являет­

ся мерой отношения сил инерции и молекуляр­

ного трения.

2.14. Тепловое подобие

Тепловое подобие возможно в геометричес­ ки подобных системах, в которых выполнено и механическое подобие. Тепловое подобие пред­

полагает подобие полей температуры и тепловых потоков и условий однозначности. Рассмотрим

две подобные между собой системы.

Для первой системы будет следующее урав­ нение теплообмена:

дТ'	, дТ'	, дТ'	, дТ'
- +u - +v - +w - =
at'	дх'	ду'	az'

=	а	,(д2Т'+ д2т'+ a2T'J+~
		д'2	д'2	д'2	р' "	(2.100)
		х	У	z	Ср

и условие теплообмена на границе:

Соответственно, для второй системы:

	дТI1		" дТ" " дТ" " дТ"
--+и				--+v --+w --
	at"			дхl1		ду"			az"
_		,,( д2т"			д2т"	a2T	I1	J+	Q;	(2.102)
-	а		дх112	+	ду"2	+ дz"2			р" С"р ,
				-А"дТ" =а"/1Т".						(2.103)
					ду"

Подобие граничных условий (2.101), (2.103)

мы рассматривали ранее .

Для подобных процессов имеем:

ХIf у" Z"

,=-, =,=с,;

ху Z

,=,=-, =СU					; - , =Ст ;
U	11	VIf	W"		Т"
U		V	W		Т
			Р"	-С·	QI1\-С	(2.104)
			- ' - P' - , - Q'
			Р		Q\

Используем соотношения (2.96), как и при анализе механического подобия, и заменим пе­ ременные второй системы (2.102), (2.103) через переменные первой системы (2.100), (2.101):

Ст дТ'+ СuСт (и'дТ'+ v' дТ'+ w' дТ'J=

С/ at' с, дх' ду' az'

, СпСт (д2Т'		д2т'	д2т'J		CQ Q;
=а - 2 -	-д'2	+-д'2	+-д,2	+----,-,.
С[	Х	у	Z		СрСс РСр

(2.105)

Так как решения уравнений (2 .100) и (2.105) должны быть одинаковыми, то коэффициенты, составленные из констант подобия в уравнении (2.105), должны быть равны, т. е.

Ст _ СuСт _ СпСт _	CQ	(2.106)
------ 2 ----
С/ С[ С,	СрСс

Для подобных тепловых и конвективных систем имеем следующие критерии подобия:

65

Глава 2

				или
u!	=	Н	'd	V
-			о =1 еm -	критерии гомохронности;
Z
				или

теплообмена (в пограничном слое потока). В ре­

жиме кондуктивного теплообмена Nu = 1; при

конвективном теплообмене Nu > 1. Критерий Но

обсуждался ранее.

Число Ре можно представить как произве­

дение двух критериев:

Ре= u! =(UZJ~=Repr,

а v а

u!	=	Р	'd		критерий Пекле.
-			е =1	еm -
а
			СuСТ	_ CQ	,	CQC/	=1;
			С/	СрСс		СuСтСрСс

Q;Z' Q~"

и'т'р'С,р U "т"р"С",р

QlI(uTpc ) = Gc = idem - критерий, характери-

р

зующий соотношение между внутренней генерацией тепла и интенсивностью конвективного пе­

реноса.

Для подобных кондуктивных систем, в ко­

торых скорости течения равны нулю, определя­

ющими будут следующие критерии:

а!	F		'd
[2	=		о =1	еm - критерий Фурье.
СпСТ	_	~.		CQC~	=l' Q;Z,2	_ Q~"2
2		СрСс		СаСтСрСе	'1'Т'	1 "т"
С/					Л	Л

где Re - критерий гидродинамического подобия (число Рейнольдса); Рг = v/a - критерий Прандт­ ЛЯ, является мерой подобия температурных и ско­

ростных полей в потоке, а также характери­

зует физические свойства жидкости. Например,

для двухатомных газов Pr = 0.72, трехатомных -

Рг = 0.8, четырехатомных и более газов Рг = 1, для жидких металлов Pr«l, а для мантии Земли

Рг ~ 1020_1023.

При исследовании интенсивности теплооб­

мена основная задача состоит в определении ко­

эффициентов теплообмена а. Поэтому критери­

альное уравнение для конвективного теплообме­

на при вынужденной конвекции имеет вид:

Nu = f(Re; Рг).

(2.107)

в гравитационном поле при изменении тем­

пературы в пространстве проявляются силы пла­

вучести. Поэтому в критериальные уравнения

должны быть введены критерии Re и Gr.

При рассмотрении механического подобия выяснено, что критерий Фруда представляет со­ бой комбинацию критериев Re и Gr:

или Q 1/2/).,Т = Gk = idem - критерий характери­

зует отношение внутреннего тепловыделения и

кондуктивной передачи тепла.

При тепловом подобии конвективных сис­

тем определяющими критериями являются Nu,

Ре, Но (и для сходственных точек эти критерии подобия имеют одно и то же значение).

Каждый критерий подобия имеет свой фи­

зический смысл. Так, критерий Пекле (Ре = ul/a)

является мерой отношения молекулярного и кон­

вективного переноса тепла в потоке, а также и

критерием теплового подобия.

Критерий Нуссельта (Nu = al/l) - безраз­ мерный коэффициент теплопередачи, характери­

зует связь между интенсивностью теплопереда­

чи и температурным полем вблизи поверхности

Gr

РГ=--2'

Re

Этот комплекс характеризует относитель­ ную роль естественной конвекции по сравнению

с вынужденной, и поэтому критериальное урав­ нение в общем виде выглядит как

Nu ~f( ~:,; pr}

(2.108)

При малых значениях Fr процесс теплооб­

мена определяется вынужденным течением и

поэтому

Nu =f(Re; Рг).

(2.109)

Для свободно-конвективных течений (ког­ да Re~O) определяющим будет критерий Gr:

66

Теоретические основы теплофизического моделирования

Nu = I(Gr; Pr).

(2.110)

Наконец, для газов одинаКОDОЙ атомности,

у которых число Pr имеет одинаковое значение,

Nu =I(Gr).

(2.111)

Таким образом, теория подобия позволяет получить из дифференциальных уравнений кри­ терии подобия и установить общий вид критери­

ального уравнения для подобных процессов. Об­

щего же решения теория подобия не дает, а толь­ ко позволяет обобщить данные лабораторного или численного эксперимента для области, в которой рассматриваемые системы подобны. Поэтому при использовании результатов обобщения нужно учи­ тывать, выполняются ли условия подобия.

2.15. Параметры подобия при естественной

конвекции

Выше мы рассмотрели общие правила при­ менения теории подобия.

Проанализируем некоторые важные случаи с использованием метода приведения дифферен­ циальных уравнений к безразмерному виду.

Рассмотрим свободную конвекцию у верти­ кальной пластины, имеющей температуру Тет' Температура жидкости на бесконечном удалении

от пластины Т. Ось х будет направлена парал-
а	.

лельно beI--l0ру силы тяжести вверх, ось у - нор-

мально к стенке (рис. 2.13). Рассмотрим двумер­ ное течение. Такие течения существуют и экспе­

риментально исследованы. В них у вертикальной пластины существует пограничный слой, кото­

рый будет проанализирован в разделе 2.16.

Уравнения свободной конвекции у верти­

кальной пластины имеют вид:

ди + дv =О,

дх ду

дТ	дт	дТ] (д2Т д2Т]			Q)
- +u - +v -			=а	-- ? +-д2	+-р,
(дt	дх	ду		дх- у	ер
					(2.112)

где а =}Jc р - коэффициент температуропровод­

р

ности. В дальнейшем вместо Pd будем писать Р. За масштаб температуры примем I1Т =

= Т - Т и представим в безразмерном виде

ет а

т = (Т - Т.)/I1Т , т. е. отсчет температуры ведем

от Т . за масштаб длины можем взять, например,

а'

L - длину пластины.

Скорость - важнейший определяющий па­

раметр и поэтому найдем для нее выражение из

предположения, что определяющими являются

конвективные члены и подъемные силы (силы

плавучести), т. е.

ди	или и2 ~ {3gt::.TL
и- ~ {3gt::.T
дх

и ио =({3gt::.TLY/2.

Мы можем принять за масштаб скорости и соотношения a/L или v/L и т. д., имеющие размер­

ность скорости. Однако желательно принимать

величины, имеющие ясный физический смысл

для рассматриваемого явления.

За масштаб давления примем величину, име­

ющую размерность давления и смысл динамичес-

кого давления РО = pи~ , т. е. РО = p(f3gI1ТL), за масштаб времени - 10 = L/uo =LI(f3gI1ТL)1/2. Будем

считать, что физические параметры среды не за­

висят от давления и температуры.

Введем следующие безразмерные величины и обозначим их чертой сверху:

u			u			v
u = ио = ({3gt::.TLY/2 ;					v = ({3gt::.TLY/2;
P=~=		р	;	T=t({3gt::.TLY/2
ра	p{3gt::.TL				L
х=	х	-	У	-	т-т..	(2.113)
	L;	у= L;		Т=--;;г

67

Глава 2

Преобразуем уравнения (2.112) к безразмер­ ному виду. Для примера проведем это преобра­

зование на одном из членов:

u ди =[и(f3gL!1T)'/2]		д[и(f3gI:!.TL )'/2]
		(f3g!1TL )'/2 =
дх	(f3g!1TL)'/2	дх L

L

=(f3g!1TL )'/2 uд~- (fзg!1TL)1/2 = f3g!1T ( uд~-).

дх

L

дх

ди		ди	ди	дР			1 (д2			и д2и]
дt+ u		дх + v ду =т- дх			+ Gr1/ 2			дх2			+ дi '
											(2.118)
дv		дv	дv	дР	1 (д2v д2v)
дt + u дх + v ду						1 2		дх	2	+ дi '
				=- ду + Gr			/
				шу u =О.							(2.119)
											(2.120)
дт	u	дт	дт	Pr (д2Т				д2Т)
at+		дх +v ду		1 2	дх	2	+	дi			' (2.121)
				= Gr /

в этом случае уравнение для оси х имеет

вид

f3gl:!.T			ди - ди - ди)				-
			-::+u-=+v-=			= f3g!1TT-
		( дt		дх	ду
-fз			дР	v (fзgLI:!.T)'/2 (д2и,			д2и)
	g!1T-=+				2	--=2+--=2 .
			дх		L	дх	ду
							(2.114)
Уравнение для оси у:
f3g!1T			дv	- дv	дV]		дР
			-::+u-=+v-=			=-f3g!1Т-=+
			( дt	дх	ду		ду

где Gr = f3 gtlTL3/ v 2 - число Грасгофа и

Pr = У/а - число Прандтля. На границе между

жидкостью и твердой стенкой осуществляется

теплопередача только посредством теплопровод­

ности, и граничное условие имеет вид

q =-л(~T)	(2.122)
У	СТ
Приведем уравнение (2.122) в безразмерный

вид:

или алL=-(~~)	,
у	СТ

(2.123)

+V(f3g~ТL)1/2(д~~+ д~~).		(2 .115)	где а = q/tlr.
			терий Нуссельта, являющийся безразмерным ко­
			Ранее мы установили, что allл = Nu - кри­
L	дх ду		эффициентом теплообмена.
Уравнение неразрывности			Система уравнений (2.118)-(2 .121) при ус­
			ловии (2 .123) имеет решения, зависящие от ве­
		(2116)	личины критериев. Для геометрически подобных
			систем, имеющих одинаковые величины крите­
			риев Gr и Pr, решения уравнений (2 .118)-(2.121 )
Уравнение теплопроводности			при условии (2 . 123) одни и те же. Таким обра­
			зом, мы установили условия подобия. Для сво­
			бодно-конвективного теплообмена у вертикаль­
			ной поверхности определяющими критериями
			являются Gr, Pr и Nu. Критериальное уравнение
			будет иметь вид (2.110) Nu = f(Gr ; Pr).
			В практических задачах обычно необходи­
			мо знать, в первую очередь, количество тепла,
Далее опустим черту над буквенными обо­			передаваемого от тела к жидкости. Это количе­
значениями, не забывая, что они обозначают без­			ство тепла можно выразить через коэффициент
размерные параметры.			теплопередачи а = q/tlT, определяемый либо для
После сокращения в уравнениях (2.114)-			каждой отдельной точки, либо для всей поверх­
(2.117) получим:			ности в виде некоторого среднего значения .

68