![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •4. Непрерывность функции двух переменных. Точки разрыва.
- •7.Дифференциал функции двух переменных.
- •10.Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла.
- •14. Интегрирование рациональных функций.
- •17.Нахождение интегралов с помощью уравнений
- •21.Интеграл с переменной верхней границей как первообразная для подинтегральной функции. Формула Ньютона-Лейбница.
- •24.Теорема существования и единственности сущ. Решения д.У. 1порядка задача Коши.
- •27. Однородное д.У. И его решение.
- •33. Вероятность суммы событий.
- •34. Вероятность суммы независимых событий.
- •37. Формула Бернулли.
- •40. Функция распределение случайной величины и ее свойства.
- •43. Свойство дисперсии.
- •46. Геометрическое распределение и ее характеристики.
- •49. Формула Лапласа для определения вероятностей для нормального распределения.
- •52. Понятие случайной выборки и статистического ряда.
- •55. Интервальные методы.
- •8.Градиент и его свойства.
- •11.Таблица неопределенного интеграла.
- •15.Интегрирование иррациональных функций.
- •18.Определенный интеграл и его геометрический смысл.
- •22.Нахождение площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью интегралов..
- •Нахождение объемов тел вращения с помощью интегралов
- •Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси
- •Как вычислить объем тела вращения?
- •25. Д.У. С разделяющимися переменными и метод его решения.
- •28.Основные понятия комбинаторики: перестановка, размещение и сочетание….
- •31.Геометрическая вероятность.
- •35.Полная группа событий. Формула полной вероятности.
- •38. Наивероятнейшее число в схеме Бернулли.
- •41. Числовые характеристики случайной величины.( мат. Ожидание, дискрет.Величниа)
- •44. Биноминальное распределение и ее характеристики.
- •50.Теорема Чебышева. Закон больших чисел.
- •53. Выборочная средняя исправленная выборочная дисперсия.
- •58. Двусторонняя критическая область.
- •6.Производная по направлению и ее вычисления.
- •9.Экстремум функции двух переменных. Условия экстремума.
- •13. Интегрирование по частям в неопред. Интеграле
- •12.Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •16.Интегрирование квадратичных иррациональностей.
- •19.Замена переменной в определенном интеграле.
- •20.Интегрирование по частям в опред. Интервале.
- •23.Дефференциал уравнения и его общее и частное решение и их геометрическая интерпритация.
- •26.Линейное д.У. 1порядка и метод его решения.
- •29. Основные понятия теории вероятности: испытание, событие и вероятность.
- •32. Условная вероятность. Вероятность произведения события.
- •36. Формула Беиса.
- •39. Дискретная случайная величина и ее табл. Распределения.
- •45.Распределение Паусона и ее характеристики.
- •51.Центральная предельная теорема Ляпунова.
- •54. Точечные методы оценивания неизвестных параметров.
- •57. Односторонняя критическая область
- •60. Уравнение линии регрессии.
- •2 Типа взаимосвязей между х и у:
- •59. Статистическое и корреляционная зависимость случ. Вел.
- •56. Статистическая обработка результатов наблюдения с помощью критерия согласия.
Нахождение объемов тел вращения с помощью интегралов
– вокруг
оси абсцисс ;
–
вокруг оси ординат
.
В
данной статье будут разобраны оба
случая. Особенно интересен второй способ
вращения, он вызывает наибольшие
затруднения, но на самом деле решение
практически такое же, как и в более
распространенном вращении вокруг оси
абсцисс. В качестве бонуса я вернусь
кзадаче
нахождения площади фигуры,
и расскажу вам, как находить площадь
вторым способом – по оси .
Даже не столько бонус, сколько материал
удачно вписывается в тему.
Начнем с наиболее популярной разновидности вращения.
Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси
Пример 1
Вычислить
объем тела, полученного вращением
фигуры, ограниченной линиями ,
вокруг
оси
Решение:
Как и в задаче на нахождение площади, решение
начинается с чертежа плоской фигуры.
То есть, на плоскости необходимо
построить фигуру, ограниченную
линиями
,
,
при этом не забываем, что уравнение
задаёт
ось
.
Как рациональнее и быстрее выполнить
чертёж, можно узнать на страницах Графики
и свойства Элементарных функций и Определенный
интеграл. Как вычислить площадь фигуры.
Это китайское напоминание, и на данном
моменте я больше не останавливаюсь.
Чертёж здесь довольно прост:
Искомая
плоская фигура заштрихована синим
цветом, именно она и вращается вокруг
оси В
результате вращения получается такая
немного яйцевидная летающая тарелка,
которая симметрична относительно оси
.
На самом деле у тела есть математическое
название, но по справочнику что-то лень
уточнять, поэтому едем дальше.
Как вычислить объем тела вращения?
Объем тела вращения можно вычислить по формуле:
В
формуле перед интегралом обязательно
присутствует число .
Так повелось – всё, что в жизни крутится,
связано с этой константой.
Как расставить пределы интегрирования «а» и «бэ», думаю, легко догадаться из выполненного чертежа.
Функция …
что это за функция? Давайте посмотрим
на чертеж. Плоская фигура ограничена
графиком параболы
сверху.
Это и есть та функция, которая
подразумевается в формуле.
В
практических заданиях плоская фигура
иногда может располагаться и ниже оси .
Это ничего не меняет – подынтегральная
функция в формуле возводится в квадрат:
,
таким образом интеграл
всегда неотрицателен,
что весьма логично.
25. Д.У. С разделяющимися переменными и метод его решения.
Дифференциальное
уравнение называется уравнение
с разделяющимися переменными,
если его можно записать в виде: y’=,
т.е. если его правая часть есть произведение
2 функций, одна из которых зависит от н,
а другая от х
q(y)
Уравнение
вида
называется уравнением с разделяющимися переменными.
Это
уравнение может быть приведено к
уравнению с разделенными переменными
путем деления обеих его частей на
выражение
или .
Общий интеграл полученного уравнения имеет вид:
.
Пример
Дано
уравнение
или
.
Разделим
переменные
и
интегрируем
.
В результате вычисления получим:
.
Это
выражение можно записать в иной
форме:
т.к.
всякое число можно представить в виде
логарифма другого.
28.Основные понятия комбинаторики: перестановка, размещение и сочетание….
Для вычисления благоприятствующих рассматриваемому событию исходов или общего числа элементарных исходов широко используются формулы комбинаторики.
Если
составляются такие комбинации из n
элементов по m,
которые отличаются друг от друга только
составом элементов, то они называются
сочетаниями.
Общее число сочетаний из n
элементов по m
определяется по формуле
.
Если комбинации отличаются не только
составом элементов, но и порядком их
следования, то она называются размещениями.
Их число находится по формуле
.
Если комбинации берутся из всехn
элементов и отличаются только порядком
следования элементов, то они называются
перестановками.
Их число равно