- •Функция многих переменных: определение, геометрический смысл, область определения, область значений, линия уровня, поверхность уровня.
- •Частные приращения функции двух аргументов, частные производные первого порядка, частные производные высших порядков
- •Сложные функции и их дифференцирование.
- •Неявные функции и их дифференцирование.
- •Экстремум функции двух переменных, условный экстремум, наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
- •Полное приращение и полный дифференциал функции двух аргументов первого порядка. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.
- •Дифференциалы высших порядков от функции двух аргументов.
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности в заданной точке.
- •Скалярное поле, производная по направлению, градиент, их свойства.
- •Первообразная. Неопределенный интеграл: его свойства, геометрический смысл.
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Интегрирование дробно-рациональных функций.
- •Интегрирование некоторых трансцендентных функций.
- •Интегрирование простейших иррациональных алгебраических функций.
- •Интегрирование гиперболических функций
- •Интегральная сумма, определенный интеграл (определение, теорема существования, основные свойства, правила вычисления)
- •Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры, длины дуги плоской кривой, объема тела.
- •Физические приложения определенного интеграла: статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур, нахождение координат центра тяжести, теоремы Гульдена, вычисление работы и давления
- •Несобственные интегралы: определение, признаки сравнения
- •Двойной интеграл: определение, геометрический смысл, свойства, правила вычисления, замена переменных
- •Геометрические приложения двойного интеграла: площадь плоской фигуры, объем тела, площадь поверхности
- •Физические приложения двойного интеграла: масса, статические моменты, координаты центра тяжести и моменты инерции пластины.
- •Тройной интеграл: определение, геометрический смысл, теорема существования, свойства, вычисление, теорема о среднем значении.
- •Приложения тройного интеграла: объем тела, масса, координаты центра тяжести, геометрические моменты инерции.
-
Интегрирование некоторых трансцендентных функций.
1. - многочлен.
Интеграл можно вычислять интегрированием по частям или методом неопределенных коэффициентов, отыскивая результат в виде
где Q(x) - многочлен той же степени, что и P(x).
Имеет место результат
2. - многочлен.
Кроме интегрирования по частям, можно пользоваться формулами:
-
Интегрирование простейших иррациональных алгебраических функций.
При интегрировании иррациональных функций используются различные приемы. Мы рассмотрим метод рационализации подынтегрального выражения. Он заключается в выборе такой подстановки , которая данное подынтегральное выражение преобразует в рациональное относительно новой переменной . Поскольку рациональные функции мы умеем интегрировать, такие подстановки позволяют интегрировать и иррациональные функции.
Пусть — рациональная функция от и , т. е. функция, получаемая из и чисел с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, умножения и деления).
Если заменить в переменную выражением , то получим функцию от одной переменной . Интеграл от нее имеет вид:
Этот интеграл рационализируется с помощью подстановки
В самом деле, так как подкоренное выражение представляет собой дробно-линейную относительно функцию, то переменная рационально выражается через переменную
Тогда — рациональная функция. Заменяя теперь переменную в данном интеграле, получим интеграл от рациональной функции новой переменной
Если под знаком интеграла содержатся корни с разными показателями, но с одним и тем же дробно-линейным относительно х подкоренным выражением, то сначала следует привести их к одному показателю, после чего использовать указанный прием.
-
Интегрирование гиперболических функций
Шесть основных гиперболических функций определяются следующим образом:
|
|
|
|
|
|
Наиболее важные формулы дифференцирования и интегрирования гиперболических функций имеют вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведем еще несколько полезных соотношений:
Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки .
-
Интегральная сумма, определенный интеграл (определение, теорема существования, основные свойства, правила вычисления)
Пусть на отрезке определена вещественнозначная функция .
Рассмотрим разбиение отрезка — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок на n отрезков . Длина наибольшего из отрезков называется шагом разбиения, где — длина элементарного отрезка.
Отметим на каждом отрезке разбиения по точке . Интегральной суммой называется выражение .
Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора , то это число называется интегралом функции на отрезке , то есть .
Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] называют предел, к которому стремится интегральная сумма.
Теорема существования определённого интеграла. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема по этому отрезку.
Свойства:
Правило. Для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции надо найти для нее первообразную функцию и составить разность значений этой последней функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.