Расчет параметров надежности элементов системы электроснабжения
Определить параметры надежности неремонтируемых N0 элементов, находящихся в работе заданное количество лет (10 лет).
Определить вероятность безотказной работы элементов Р(t), вероятность отказа Q(t), функцию плотности распределения вероятности безотказной работы f(t), интенсивность отказов (t) и вычислить среднее время безотказной работы элемента Тср.
Построить эти величины в зависимости от времени t (на одном графике Р(t) и Q(t), на втором f(t), (t)). Расчеты свести в табл. 1.2.
Вероятность безотказной работы Р(t) – вероятность того, что рассматриваемый элемент (масляный выключатель) или система в заданный промежуток времени останется в рабочем состоянии.
,
где
N0
– общее число неремонтируемых элементов,
находящихся в работе заданное количество
лет;
– число отказавших элементов за год с
порядковым номеромi.
И так далее до 10 года.
Вероятность отказа Q(t) – вероятность того, что рассматриваемый элемент или система в заданный промежуток времени выйдет из строя .
Q(t)=1-P(t)
Графики зависимости вероятности безотказной работы и вероятности отказа от времени представлены на рисунке 1.
Рис.1
Функция плотности распределения вероятности безотказной работы f(t) за время t = 1 год.
,
где t=1 год.
Интенсивность отказов (t) – отношение числа отказавших элементов или систем в единицу времени к числу элементов, исправно работающих в данный момент времени.
,
где Nраб – число элементов, оставшихся в работе в рассматриваемый интервал времени от начала испытаний, (напр. для первого года, Nраб =N0-n1, для второго года, Nраб =N0–(n1+n2).
Графики интенсивности отказов и вероятности безотказной работы показаны на рисунке 2.
Рис.2
Среднее время безотказной работы(наработка на отказ)Тср– есть математическое ожидание времени работы элемента или системы до его отказа.
,
где tср– среднее время от начала отсчета до интервала времени, в котором отказали ni элементов (напр. для первого года,tср=0,5 , для второго годаtср=1,5; для третьего годаtср=2,5).
Результаты расчетов сводятся в таблицу 1.
Таблица 1
|
∆n |
P(t) |
Q(t) |
f(t),1/год |
N раб |
λ(t),1/год |
tср |
|
19 |
0,894 |
0,1056 |
0,106 |
161 |
0,118 |
0,5 |
|
19 |
0,789 |
0,2111 |
0,106 |
142 |
0,1338 |
1,5 |
|
17 |
0,694 |
0,3056 |
0,094 |
125 |
0,136 |
2,5 |
|
12 |
0,628 |
0,3722 |
0,067 |
113 |
0,1062 |
3,5 |
|
12 |
0,561 |
0,4389 |
0,067 |
101 |
0,1188 |
4,5 |
|
14 |
0,483 |
0,5167 |
0,078 |
87 |
0,1609 |
5,5 |
|
12 |
0,417 |
0,5833 |
0,067 |
75 |
0,16 |
6,5 |
|
15 |
0,333 |
0,6667 |
0,083 |
60 |
0,25 |
7,5 |
|
23 |
0,206 |
0,7944 |
0,128 |
37 |
0,6216 |
8,5 |
|
25 |
0,067 |
0,9333 |
0,139 |
12 |
2,0833 |
9,5 |
Расчеты числовых характеристик времени безотказной работы элементов при экспоненциальном и нормальном законах распределения
Рассчитать и построить функции P(t), Q(t), λ(t), f(t) для нормального и экспоненциального законов распределения.
Нормальный закон распределения является предельным законом для случайных величин, которые имеют другие законы распределения и случайным образом воздействуют на объект. Нормальный закон в теории надежности используется для определения погрешностей. Для нормального закона задается функция плотности времени распределения безотказной работы равна
,
где – среднеквадратичное отклонение;
Тср – среднее время безотказной работы элемента
Вероятность
отказа
определяется
с помощью таблиц Лапласа, показанной в
таблице 2.
Таблица 2.
Значения приведенной функции Лапласа
|
x |
Ф*(х) |
|
–3 |
0 |
|
–2 |
0,0228 |
|
–1 |
0,1587 |
|
0 |
0,5 |
|
1 |
0,8413 |
|
2 |
0,9772 |
|
3 |
1 |
Вероятность надежной работы P(t)=1-Q(t).
Интенсивность отказов
Результаты вычислений сводятся в таблицу 3.
Таблица 3.
|
|
t |
f(t),1/год |
P(t) |
Q(t) |
λ(t),1/год |
|
|
Т–3σ |
0,0003 |
1 |
0 |
0,0003 |
|
|
Т–2σ |
0,1059 |
0,9772 |
0,0228 |
0,1084 |
|
|
Т–σ |
0,4746 |
0,8413 |
0,1587 |
0,5641 |
|
|
Т |
0,7824 |
0,5 |
0,5 |
1,5649 |
|
|
Т+1σ |
0,4746 |
0,1587 |
0,8413 |
2,9904 |
|
|
Т+2σ |
0,1059 |
0,0228 |
0,9772 |
4,6444 |
|
|
Т+3σ |
0,0087 |
0 |
1 |
|
Зависимость числовых характеристик от времени при нормальном законе распределения представлена на рисунке 3.
Рис.3
Для экспоненциального закона распределения принимается интенсивность отказов (t) = = const, тогда вероятность безотказной работы равна
P(t)=e-t
Q(t) = 1–P(t),
При расчетах интенсивность отказов λ берется как среднее значение, рассчитанное в задаче № 1, т.е.
,
где k=10;
;
;
;
;
.
Зависимость числовых характеристик от времени при экспоненциальном законе распределения представлена на рис. 4.
Рис.4
Результаты расчетов параметров надежности при экспоненциальном законе распределения сводятся в таблицу 4.
Таблица 4.
|
|
t |
f(t),1/год |
P(t) |
Q(t) |
|
|
0 |
0,3889 |
1 |
0 |
|
|
0,5Т |
0,1279 |
0,3288 |
0,6712 |
|
|
Т |
0,0421 |
0,1081 |
0,8919 |
|
|
2Т |
0,0045 |
0,0117 |
0,9883 |
|
|
3Т |
0,0005 |
0,0013 |
0,9987 |