Теоретические основы электротехники-2

Глава 20. Расчет нелинейных электрических и магнитных цепей при постоянном токе

373

Ðèñ. 20.11

Ðèñ. 20.12

Ðèñ. 20.13

Ðèñ. 20.14

Ðèñ. 20.15

Располагая этими характеристиками, пользуемся дальше для расчета смешанного соединения теми приемами, которые были изложены в предыдущем параграфе. Так, для цепи, изображенной на рис. 20.11, складываем абсциссы кривых udb F(i4) è udb F(i5), изображающих характеристики ветвей d–4–b è d–5–b, так как эти ветви соединены параллельно. Получаем характеристику udb F (i3) этих параллельно соединенных ветвей, изображенную на рис. 20.17. Складывая затем ординаты кривой udb F (i3) с ординатами кривой ucd u3 r3i3, так как третий участок соединен последовательно с параллельно соединенными четвертым и пятым участками, получаем характеристику всех этих трех участков ucb F(i3) (ðèñ. 20.18).

Ðèñ. 20.16

Ðèñ. 20.17

К абсциссам этой кривой прибавляем абсциссы кривой ucb F(i2), изображающей характеристику второй ветви. Получаем характеристику ucb F(i1) части цепи между зажимами c è b (рис. 20.19). Наконец, складывая ординаты этой кривой с ординатами кривой uac F(i1), находим характеристику всей цепи между зажимами a è b (рис. 20.20). Располагая построенными характеристиками,

Ðèñ. 20.21

Ðèñ. 20.20

374 Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

Ðèñ. 20.18

Ðèñ. 20.19

легко находим токи во всех ветвях и напряжения на всех ветвях, если задано приложенное ко всей цепи напряжение èab. Если задан один из токов или задано напряжение на каком-либо участке ветви, то из этих характеристик определяются токи и напряжения во всех остальных ветвях и напряжение uab на зажимах всей цепи. Штриховыми линиями на рис. 20.17–20.20 показано решение для одного из таких частных режимов. Заметим, что если зажимы a è b замкнуты накоротко, то токи в цепи возникают толь-

ко под действием всех источников ЭДС, содержащихся в самой цепи. При этом uab 0, и, следовательно, решение определяется точкой пересечения характеристики uab F(i1) на рис. 20.20 с осью абсцисс.

20.4. Расчет сложной электрической цепи с одним нелинейным элементом

Для расчета электрической цепи любой сложности, в общем случае не образованной последовательно или параллельно соединенными участками, имеющей любое число источников ЭДС, но содержащей только один нелинейный элемент, может быть применен метод эквивалентного генератора.

Пусть нелинейный элемент включен в ветвь ab сложной цепи. Выделим на рис. 20.21 эту ветвь, изобразив всю остальную часть сложной цепи условно прямоугольником. Часть цепи, содержащаяся внутри этого прямоугольника, состоит только из линейных элементов и источников ЭДС, и, следовательно, к ней в отдельности применим принцип наложения. Принцип наложения не применим к ветви ab с нелинейным элементом и вследст-

вие этого не применим ко всей цепи в целом, содержащей этот элемент. Принцип наложения не применим к ветви с нелинейным элементом потому,

что сопротивление r этого элемента зависит от тока i в нем. В самом деле, пред-

Глава 20. Расчет нелинейных электрических и магнитных цепей при постоянном токе

375

положим, что искомый действительный режим с током i в нелинейном элементе мы разложили на два частных режима с токами i è i в этом элементе, причем i i + i . Напряжения на нелинейном элементе в действительном и в этих частных режимах равны: u ri, u r i è u r i . Òàê êàê r зависит от i, то, вообще говоря, r r и, следовательно, u è + u . Поэтому, налагая друг на друга частные режимы, мы не получим действительного режима с током i и напряжением u.

Однако результат наложения будет правильным, если в одном из частных режимов ток i в нелинейном элементе и напряжение u на нем отсутствуют, т. е. i 0 è u 0, а в другом частном режиме ток i равен току i в действительном режиме, а следовательно, и напряжение u равно напряжению u в действительном режиме. При этом имеем

i 0 i" è u 0 u" .

Для того чтобы эти два частных режима при наложении давали действительные токи и напряжения во всей сложной цепи, содержащей данный нелинейный

элемент, необходимо, чтобы ЭДС e	è e в этих режимах в любой k-й ветви в сум-
k			k	e e
ме были равны действительной ЭДС e		k	в этой ветви, т. е. чтобы было e		k	.
			k	k

Всем этим требованиям удовлетворяет метод эквивалентного генератора. Пользуясь этим методом, введем для получения требуемого первого режима в ветвь ab с нелинейным элементом такую дополнительную ЭДС e0 , чтобы при действии во всех остальных ветвях ЭДС ek , равных заданным ЭДС ek, ток в нелинейном элементе стал равным нулю: i 0. Пусть характеристика нелинейного элемента такова, что при этом и u 0. ÝÄÑ e0 равна и противоположна по знаку

напряжению u0, создаваемому всеми заданными источниками ЭДС при размыкании ветви с нелинейным элементом в месте разрыва этой ветви, т. е. e0 u0 .

Во втором частном режиме введем в ветвь с нелинейным элементом ЭДС

e e

u

0

, а все заданные источники ЭДС замкнем накоротко, сохранив в

0

0

ветвях их внутренние сопротивления, т. е. примем e 0.

k

Налагая эти два частных режима друг на друга, получаем во всех ветвях ли-

нейной части цепи

e

e e

0 e

i

i i

k

k

;

k

k

k

k

k

и в ветви ab

e

e 0; u u

0 u u; i i 0 i i,

0

0

т. е. получаем искомый действительный режим во всей цепи.

Обозначая, как и ранее, через rã сопротивление всей линейной части цепи между зажимами a è b при замкнутых накоротко источниках ЭДС в ней, получаем

i	u0	,
	r r(i)
ã

ãäå r(i) — сопротивление нелинейного элемента при токе i в нем. Таким образом, всю сложную линейную часть цепи заменяем эквивалентным генератором ЭДС

e u с внутренним сопротивлением rã (рис. 20.22). Вычисления величин u0 è rã

0 0

являются чисто линейными задачами и могут быть выполнены изложенными в § 5.8–5.16, т. 2 методами. Отыскание тока i в цепи, представленной на

376 Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

рис. 20.22, легко выполняется графическим построением, изложенным в § 20.3, если задана кривая, изображающая характеристику u F(i) нелинейного элемента.

Ðèñ. 20.22

Ðèñ. 20.23

Ðèñ. 20.24

Âвышеизложенном была сделана только одна оговорка, что характеристика

èF(i) проходит через начало координат, т. е. что при i 0 также и u 0. Если это не имеет места (рис. 20.23), то, перенеся ось абсцисс так, чтобы характери-

стика прошла через новое начало координат 0 , видим, что действительный нелинейный элемент с характеристикой èab F(i), не проходящей через начало координат, может быть заменен последовательным соединением (рис. 20.24) нелинейного элемента с характеристикой uab F (i) F(i) – èb b F(i) + eb b, проходящей через начало координат, и источника ЭДС eb b с внутренним сопротивлением, равным нулю. Если этот источник ЭДС отнести к линейной части цепи, то по отношению к зажимам a è b будут справедливы все приведенные рассуждения.

20.5. Расчет сложной электрической цепи с двумя нелинейными элементами

Пусть сколь угодно сложная цепь с источниками ЭДС содержит две ветви ab è cd с нелинейными элементами. Выделим на рис. 20.25 эти ветви, обозначив всю остальную линейную часть цепи, представляющую собой активный линейный четырехполюсник, условно прямоугольником. Используем идею метода, изложенного в предыдущем параграфе, в применении к этой цепи.

Введем в ветви ab è cd такие ЭДС e è e , чтобы при действии в линейной

01 02

части цепи всех заданных ЭДС токи в обоих нелинейных элементах одновременно стали равными нулю (рис. 20.26). Пусть характеристики обоих нелинейных элементов таковы, что напряжения на них равны нулю при отсутствии токов в

них. В таком случае ЭДС e	è e	равны и противоположны по знаку напряже-
01	02

íèÿì u01 è u02, возникающим при одновременном размыкании обеих ветвей с нелинейными элементами в местах разрыва этих ветвей (рис. 20.27). Отыскание этих напряжений является линейной задачей.

Если теперь замкнуть накоротко все заданные источники ЭДС в линейной

части цепи (e	0), сохранив в ветвях внутренние сопротивления этих источни-
k		e	u		è e	e	u
ков, и ввести в ветви ab è cd источники с ЭДС e				01				02
	01	01			02	02

(рис. 20.28), то на основе рассуждений, приведенных в предыдущем параграфе, можно утверждать, что токи в нелинейных элементах в этом режиме будут рав-

Глава 20. Расчет нелинейных электрических и магнитных цепей при постоянном токе

377

ны искомым токам iab è icd, возникающим в них в действительной сложной цепи (рис. 20.25) под действием всех заданных ЭДС.

Ðèñ. 20.25 Ðèñ. 20.26 Ðèñ. 20.27

Упрощение задачи заключается в том, что вместо большого числа заданных ЭДС, действующих в ветвях сложной цепи, теперь имеем только две эквива-

лентные ЭДС e è e , включенные в ветви с нелинейными элементами. При

01 02

этом вся сложная линейная часть цепи стала пассивным четырехполюсником. Таким образом, задача сводится к расчету линейной цепи, изображенной на рис. 20.27, и к расчету цепи, приведенной на рис. 20.28. Токи во всех ветвях полу- чаются суммированием токов, найденных в этих двух задачах, в частности, токи в нелинейных ветвях получаются сразу из решения второй задачи, так как в пер-

вой задаче они равны нулю.

Ðèñ. 20.28

Ðèñ. 20.29

Решение второй нелинейной задачи (рис. 20.28) выполняется путем замены линейного пассивного четырехполюсника его Т-образной эквивалентной схемой (рис. 20.29). Параметры r1, r2, r3 этой эквивалентной схемы определяются методами, изложенными в § 13.2 и 13.3. Цепь, изображенная на рис. 20.29, легко рас- считывается с помощью графических построений, приведенных в § 20.3.

20.6. Расчет сложной электрической цепи с тремя нелинейными элементами

Пусть сколь угодно сложная электрическая цепь с источниками ЭДС содержит три ветви, ab, cd è gk, с нелинейными элементами. Выделим на рис. 20.30 эти ветви, обозначив всю остальную линейную часть условно шестиугольником. Эта часть, имеющая три пары зажимов, причем в каждой паре один является входным, а другой — выходным по отношению к соответствующей внешней цепи (или ветви), представляет собой так называемый ш е с т и п о л ю с н и к. В данном случае шестиполюсник является активным, так как содержит внутри себя источники ЭДС.

Введем во все вынесенные нелинейные ветви такие ЭДС e	, e	è e	, чтобы
01	02	03

при действии всех заданных ЭДС токи iab, icd è igk в нелинейных элементах îäíî-
временно были равны нулю. Эти ЭДС e	, e	è e	равны по значению и противо-
01	02	03

378 Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

положны по знаку напряжениям u01, u02 è u03, которые появляются в местах размыкания ветвей ab, cd è gk под действием всех заданных ЭДС.

	Если теперь ввести в нелинейные ветви ЭДС e				e	u	01	, e	e	u	02	,
e	e	u		01	01			02	02
			03	и замкнуть накоротко все заданные источники ЭДС, сохранив
03	03

âсоответствующих ветвях их внутренние сопротивления (рис. 20.31), то токи

âнелинейных ветвях будут равны искомым токам iab, icd è igk в действительной задаче. При этом шестиполюсник между зажимами à è b, c è d, g è k является пассивным.

Ðèñ. 20.30

Ðèñ. 20.31

Ðèñ. 20.32

Для пассивного линейного шестиполюсника (рис. 20.32) имеют место урав-

нения

u1 R11i1 R12 i2 R13 i3 ;

u2	R21i1 R22 i2	R23 i3 ;
u3	R31i1 R32 i2	R33 i3 ,

ãäå u1 uba, u2 udc è u3 ukg — приложенные извне к зажимам шестиполюсника напряжения.

Эти уравнения легко получить, использовав принцип наложения. Если приложить напряжение u только к зажимам b è a, а вторую и третью внешние цепи разомкнуть (i2 0 è i31 0), то будем иметь

				u	R i		;	u R			i		;	u	R	i .
				1	11 1			2		21 1				3		31 1
	Приложив напряжение u к зажимам d è c и разомкнув первую и третью
внешние цепи, получим					2
				u	R i	2	;	u R	22		i	2	;	u R			32	i	2	.
				1	12			2						3
	Наконец, при действии внешнего напряжения u																между зажимами k è g ïðè
															3
разомкнутых внешних первой и второй цепях имеем
				u	R i	3	;	u R	23		i	3	;	u R			33	i	3	.
				1	13			2						3
	Накладывая эти три режима и полагая u u u u																				,	u	u u u		2	è
u	u u u													1	1			1		1		2	2	2
			3	, получим написанные выше уравнения пассивного линейного
3	3	3

шестиполюсника. Входящие в эти уравнения параметры определяются расчетным или опытным путем из только что рассмотренных трех частных режимов.

На основе принципа взаимности можно утверждать, что R21 R12, R32 R23 è R31 R13. Таким образом, уравнения шестиполюсника содержат только шесть

Глава 20. Расчет нелинейных электрических и магнитных цепей при постоянном токе

379

независимых параметров, и, следовательно, простейшая эквивалентная схема шестиполюсника должна иметь шесть элементов. На рис. 20.33 изображена одна из таких возможных схем, имеющая три независимых контура с контурными токами i1, i2 è i3. Уравнения шестиполюсника и представляют собой уравнения контурных токов для этой эквивалентной схемы.

Собственные сопротивления контуров равны

R11 r1 r4 r5 ; R22 r2 r5 r6 ; R33 r3 r6 r4 .

Взаимные сопротивления R12, R23 è R31 отрицательны, так как положительные направления контурных токов в общих ветвях противоположны, а в уравнениях шестиполюсника все члены нами написаны со знаком «плюс». Имеем

R12 R21 r5 ; R23 R32 r6 ; R13 R31 r4 .

Из этих уравнений определяются сопротивления элементов эквивалентной схемы через параметры шестиполюсника.

Ðèñ. 20.33

Ðèñ. 20.34

Ðèñ. 20.35

Заменим соединение звездой сопротивлений r4, r5 è r6 на рис. 20.33 эквивалентным соединением треугольником. Получим другую возможную эквивалентную схему шестиполюсника (рис. 20.34), использовав которую, приведем схему на рис. 20.31 к виду, изображенному на рис. 20.35.

В этой схеме ветви с индексами 1 и 45, 2 и 56, а также 3 и 64 соединены попарно параллельно, а образованные этими парами ветвей контуры соединены между собой последовательно. В трех ветвях содержатся нелинейные элементы и источники ЭДС. Такая цепь легко рассчитывается с помощью графических построений, приведенных в § 20.3.

Отметим, что в частном случае, когда в заданной действительной сложной цепи все три ветви с нелинейными элементами сходятся к одному узлу, образуя соединение звездой, при одновременном размыкании этих ветвей узел оказывается отключенным от всей цепи, его потенциал по отношению к другим точкам цепи получается неопределенным, а следовательно, неопределенными оказываются и напряжения на местах разрыва. Однако в этом случае достаточно разорвать только две ветви с нелинейными элементами, так как ток в третьей ветви с нелинейным элементом при этом также будет равен нулю. Соответственно, при расчете токов в нелинейных элементах достаточно будет ввести только два экви-

валентных источника ЭДС, например e è e . В случае, когда характеристика

01 02

380 Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

нелинейного элемента не проходит через начало координат, этот нелинейный элемент может быть заменен нелинейным элементом с характеристикой, проходящей через начало координат, и источником ЭДС, как было показано в конце § 20.4.

20.7. Расчет сложной нелинейной цепи постоянного тока численными методами

Наглядность и простота графоаналитического метода не компенсируют ограни- ченных его возможностей при расчете сложных нелинейных цепей. С развитием вычислительной техники широкое применение находят различные численные методы расчета нелинейных цепей, которые дают возможность рассчитать весьма сложные схемы. Для расчета нелинейных цепей наибольшее распространение получил метод последовательных приближений (метод итераций).

Наиболее просто метод последовательных приближений можно применить для решения уравнений, записанных в виде

x f (x).
Тогда
x k 1 f (x k ), à	x	èñê	lim x k .
			k

Здесь x k è x k+1 — значения интересующей нас (искомой) величины xèñê íà k-ì è (k + 1)-м шагах итераций; f(x k) — значение нелинейной функции на k-м шаге итераций. Графически метод простых итераций можно представить, изобразив на плоскости функции f(x) è õ x. Точка пересечения этих функций и есть решение уравнения. Траектория сближения к этой точке равновесия и отражает зна-

	чения f(x k) è x k при различных k. На рис. 20.36 изображен случай, когда пере-
		сечение указанных функций происходит
		в трех точках, т. е. существуют три реше-
		ния уравнения (три точки равновесия, a,
		b, c). Итерационный процесс следует начи-
		нать с произвольного значения x, обозна-
		ченного на рис. 20.36 буквой õ 0. Íà ýòîì
		рисунке изображены итерационные про-
		цессы для четырех различных начальных
		значений x0, а именно x10 , x20 , x30 è x40 . Èòå-
		рационный процесс может сходиться к точ-
		ке равновесия, если характер функции f(x)
		в окрестности точки равновесия позволяет
		это (случай с x20 , x30 , x40 ). Но итерационный
	Ðèñ. 20.36	процесс может и не сходиться к точке рав-
		новесия (случай с x10 в окрестности точ-
	êè a). Достаточным условием сходимости является неравенство | f (x)|9 1
	в окрестности точки равновесия.

Рис. 20.36 показывает, что метод простых итераций не всегда обеспечивает сходимость процесса итераций и что для нахождения всех решений следует

Глава 20. Расчет нелинейных электрических и магнитных цепей при постоянном токе

381

задавать подходящие, наперед неизвестные начальные приближения. При рассмотрении системы уравнений цепи весьма важно сформировать уравнение õ f(õ) относительно таких величин, которые дают возможность однозначно определить f(x) при данном x. Например, на рис. 20.36 для значения x40 можно найти два значения f(x40 ). Применительно к ВАХ элементов электрических цепей это условие проанализируем на примере последовательно соединенных источ- ника ЭДС E и двух нелинейных элементов (см. рис. 20.2, à).

Уравнения цепи имеют вид

E u1 u2 ; u1 f1(i) èëè i f3 (u1); u2 f2 (i) èëè i f4 (u2 ). Здесь, согласно принятому в § 19.2 разделению, u f(i) означает, что ВАХ

управляема током, т. е. при заданном токе напряжение определяется однознач- но. Функция i f(è) означает, что ВАХ управляема напряжением, т. е. при заданном напряжении ток определяется однозначно. В форме x f(x) можно записать следующие уравнения:

u1 E u2	E f2 (i) E f2 [f3 (u1)]	èëè	u1	E f2 [f3 (u1)];
u2 E u1	E f1(i) E f1[f4 (u2 )]	èëè	u2	E f1[f4 (u2 )];
i f3 (u1) f3 [E f2 (i)] èëè i f4 (u2 ) f4 [E f1(i)].
Можно найти u1 è u2 также из выражений
u1 f1	(i) f1[f4 (E u1)] è u2 f2 (i) f2 [f3 (E u2 )].

Все шесть уравнений (по два для i, u1 è u2) имеют форму x f(x) и поэтому могут быть использованы для метода простых итераций. Однако в зависимости от характера ВАХ некоторые из них более предпочтительны. Пусть ВАХ первого нелинейного элемента управляема током u1 f1(i), a ВАХ второго элемента управляема напряжением i f4(u2). Из шести выражений, следовательно, необходимо брать лишь те, в которые входят только функции f1 è f4. Таковыми являются

u2 E f1[f4 (u2 )]; u1 f1[f4 (E u1)]; i f4 [(E f1(i)].

Во всех этих выражениях значение xk однозначно определяет xk+1 из-за свойств ВАХ f1 è f4.

Заметим, что использование других выражений приведет к неопределенности. Например, пусть f2 è f3 таковы, что данным значениям u1 è i соответствуют по три значения i è u2, иначе говоря, функции f2 è f3 многозначны. Если использовать для u1 уравнение u1 Å – f2[f3(u1)], то для заданного u1k из функции f3

определим три значения i, по которым из функции f2 определим девять зна- чений u1k 1. Такая многозначность неприемлема с точки зрения рациональной организации процесса последовательных приближений. Не имеет значения и то обстоятельство, что такая множественность решения для u1 возможна для ограниченного интервала значений u1, поскольку в процессе итераций u1 может оказаться именно в этом интервале.

При практических расчетах итерационный процесс следует заканчивать при достижении определенного значения xk+1, которое отличается от предыдущего

f' (x k )

382 Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

на величину | x k+1 – x k | Υ, ãäå Υ заранее следует задавать в качестве критерия ошибки в определении x.

Недостатки метода простых итераций частично устраняются в методе Ньютона. Суть этого метода заключается в следующем. Пусть нелинейное уравнение задано в виде f(x) 0. Допустим, что два приближенных значения x k+1 è x k отли- чаются на малую величину x x k+1 – x k. Тогда, разложив функцию f(x k + x) â ðÿä ïî x и ограничившись только двумя первыми членами ряда (что справедливо, если x — малая величина), получим

f (x k x) f (x k ) f' (x k ) x. Целесообразно выбрать x таким, чтобы f(x k + x) 0. Тогда

x x k 1 x k f (x k )f' (x k ) è x k 1 x k f (x k ) .

Последняя формула также определяет некоторый итерационный процесс, которому присущи все особенности метода итераций. И в методе Ньютона следует задавать некоторое начальное значение x0, определить f(x) è f (x). Здесь также следует прекратить вычисления при выполнении условия | x k+1 – x k | Υ. Â ìåòî-

	де Ньютона возможны случаи, когда произ-
	водная функции близка (или равна) нулю,
	и поэтому x может быть весьма велико
	(или равно бесконечности). При этом новое
	значение x k+1 может сильно отличаться от
	x k, что ухудшает условия сходимости. Эти
	затруднения, как правило, обходят, задавая
	новые значения x0, которые позволяют ми-
Ðèñ. 20.37	новать точки (рис. 20.37) экстремума. При-
	менительно к методу Ньютона остается в

силе все сказанное выше о выборе величин, относительно которых записывается уравнение f(õ) 0. Эти величины и вид функции должны обеспечить однознач- ность f(x k) при заданном значении x k. Для цепи, на примере которой выше иллюстрировался метод простых итераций, в качестве нелинейных функций следует также брать функции f1(i) è f4(u2), которые однозначно определяют напряжение u1 через ток и ток через напряжение u2. Составим уравнение вида f(x) 0 относительно u2:

f (x) f (u2 ) E u2 f1[f4 (u2 )] 0.

Тогда

f' (x) f' (u2 ) 1 Ηf1 Ηf4 . Ηf4 Ηu2

Принимая во внимание, что f4(u2) i è f1(i) u1, а следовательно,

Ηf1(i)

Ηf1(i)

Ηu1

r

è

Ηf4 (u2 )

Ηi

g

,

ä2

Ηf4

Ηi

Ηi

ä1

Ηu2

Ηu2