Физика. Краткая теория и примеры решения задач. Методическое пособие 2016
..pdfЗдесь p – давление газа; E – средняя энергия поступательного движения молекул; n – концентрация молекул; k – постоянная Больцмана.
Теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы. На любую степень свободы приходится в среднем одинаковая энергия, равная
E1 k T . 2
Число i степеней свободы молекул газа:
-для одноатомных газов i=3;
-для двухатомных газов i=5;
-для многоатомных газов i=6.
Из них число поступательных степеней свободы: iпост. 3 для любых молекул; число вращательных степеней свободы: iвр. 2 для двухатомных газов и iвр. 3 для многоатомных газов.
Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа:
E 2i kT .
Внутренняя энергия произвольной массы идеального газа:
U 2i RT .
Суммарная кинетическая энергия поступательного движения
молекул газа:
Uпост. 23 RT .
Средняя энергия вращательного движения молекулы:
E вр. iвр2. kT .
Суммарная кинетическая энергия вращательного движения молекул
газа:
Uвр. iвр2. RT .
Здесь m – количество вещества; m – масса газа; – молярная масса;
R – универсальная газовая постоянная; k – постоянная Больцмана, i – число степеней свободы молекул; iвр. – число вращательных степеней свободы; T –
абсолютная температура.
Понятие о классической статистике
Вероятность того, что случайная величина x примет значение xi :
101
wi lim Ni ,
N N
где N – полное число измерений, Ni – число опытов, в которых величина x принимает значение xi .
Условие нормировки. Сумма вероятностей по всем возможностям есть
достоверное событие, вероятность которого равна единице:
wi 1.
i
Среднее арифметическое значение случайной величины x:
|
N |
|
|
|
xi |
x x w , |
|
x |
i |
, или |
|
|
|||
|
N |
i i |
|
|
i |
||
|
|
|
где xi – значение величины x в i-том измерении; N – число измерений; wi – вероятность того, что величина x принимает значение xi .
Среднее квадратичное случайной величины x:
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
x2 |
|||
x |
кв. |
i |
. |
|||
|
||||||
|
|
|
|
N |
||
|
|
|
|
|
Вероятность dw того, что случайная величина принимает значения
винтервале от x до x+dx ( x x; x dx ), прямо пропорциональна величине
интервала dx:
dw f x dx ,
где коэффициент пропорциональности f(x), зависящий от x, это – функция распределения вероятностей случайной величины x.
Условие нормировки функции распределения вероятностей: |
|||
dw |
1, или |
f x |
dx 1. |
по |
|
по |
|
всем |
|
области |
|
возможностям |
|
определени я |
|
|
|
функции |
|
Вероятность dw того, что молекула идеального газа имеет скорость в промежутке от до d ( ; d ), равна отношению числа dN молекул, обладающих скоростями в заданном промежутке, к полному числу молекул N:
dw dNN .
Число dN молекул идеального газа, имеющих скорости в промежутке от до d ( ; d ), пропорционально полному числу молекул N и величине интервала скоростей d :
dN f ( ) N d ,
где f – функция распределения Максвелла (см. рис.6.1), равная
102
|
m |
3 |
2 |
|
|
|
m 2 |
|
f |
0 |
|
|
4 2 |
exp |
|
0 |
. |
|
|
|
||||||
2 kT |
|
|
|
|
2kT |
|
||
|
|
|
|
|
Здесь m0 – масса одной молекулы; k |
|
||
– постоянная Больцмана; T – абсолютная |
|
||
температура. Если интервал скоростей мал: |
|
||
, то число |
N молекул со |
|
|
скоростями ; |
равно |
|
|
N f ( ) N ; |
|
||
иначе |
|
|
|
|
|
||
N N |
f ( ) d . |
Рис. 6.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Доля молекул идеального газа, имеющих скорости в промежутке от
до d ( ; d ), равна N .
N
Характерные скорости молекул газа:
- средняя арифметическая: f d , или
0
|
|
|
8kT |
|
|
|
8RT |
|
; |
|
|
m |
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
- средняя квадратичная: кв. 2 , где 2 2 f d , или
0
|
|
|
|
|
|
|
|
кв. |
|
3kT |
3RT ; |
||
|
|
m0 |
|
|
|
|
|
|
|
- наиболее вероятная (соответствует максимуму функции распределения Максвелла, см. рис. 6.1):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вер. |
|
|
2kT |
|
2RT . |
|
|
|
|
||||||
Здесь f – функция |
|
|
|
|
|
m0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
распределения Максвелла по скоростям; m0 – |
|||||||||||||||||||
масса одной молекулы; |
– молярная масса газа; k – постоянная Больцмана; |
|||||||||||||||||||
T – абсолютная температура; |
R – универсальная газовая постоянная. |
|||||||||||||||||||
Распределение Больцмана – это равновесное распределение частиц в |
||||||||||||||||||||
потенциальном поле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eпот. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
пот. |
|
|
|
n |
|
|
|
||
n n e |
k T |
|
n |
exp |
|
|
, |
или |
|
2 |
e |
k T . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
k T |
|
|
|
n1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь n – концентрации частиц в произвольной точке силового поля; Eпот. – их потенциальная энергия в данной точке; n0 – концентрации частиц в
точке, где потенциальная энергия равна нулю; k – постоянная Больцмана; T –
103
абсолютная температура; n1 и n2 – концентрации частиц в двух точках потенциального поля; E=E2–E1 – разность их потенциальных энергий в этих точках.
Барометрическая формула – закон уменьшения давления p идеального газа с высотой h в однородном потенциальном поле при постоянной температуре:
|
g h |
|
|
|
m0 |
g h |
|
RT |
|
|
|||||
p p0 e |
|
p0 |
exp |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
kT |
Здесь μ – молярная масса газа, p0 –давление при h=0, T – абсолютная температура, m0 – масса молекулы, R – универсальная газовая постоянная.
Явления переноса
Среднее число столкновений молекулы с другими молекулами в единицу времени:
z |
|
z |
|
, |
|
2 |
n , |
||||
|
|
|
|
l |
|
где – эффективное сечение молекулы; |
n – концентрация молекул; – |
средняя арифметическая скорость молекул; l – средняя длина свободного пробега.
Среднее время свободного пробега (средняя продолжительность свободного пробега):
|
1 |
, |
|
l |
. |
|
z |
|
|
|
Эффективное сечение молекулы
d 2 ,
где d – эффективный диаметр молекулы.
Средняя длина свободного пробега
l |
|
1 |
, |
l |
|
1 |
, |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
n |
|
|
d 2 n |
||||
|
2 |
2 |
где n – концентрация молекул; – эффективное сечение молекулы; d – эффективный диаметр молекулы.
Уравнение диффузии (закон Фика). Число частиц dN , перенесённых за время dt через малую площадку S , пропорционально градиенту
концентрации |
dn |
вдоль оси OZ, перпендикулярной площадке: |
||||||
dz |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dN D |
dn |
S dt , или |
N D |
dn |
S t . |
|
|
|
dz |
dz |
|||||
|
|
|
|
|
|
Здесь D – коэффициент диффузии, равный
D 13 l .
104
Масса вещества, перенесённого за время t через площадку S :
m D d S t , dz
где d – градиент плотности, D – коэффициент диффузии. dz
Закон Ньютона для вязкости. Сила вязкого трения, возникающая между слоями газа, движущимися параллельно, но с разными скоростями,
пропорциональна градиенту d скорости направленного движения слоёв в dz
направлении, перпендикулярном скорости (рис. 6.2):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
d |
S , |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где S – площадь слоёв; – динамическая вязкость. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
Импульс, перенесённый за время t |
через площадку S в результате |
||||||||||||||||||||||
действия сил вязкости: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
d |
|
S t , |
|
|
|||||
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|||
где |
|
|
– |
градиент |
|
скорости, |
|
|
|
|
– |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коэффициент динамической вязкости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Коэффициент |
динамической |
|
|
|
|||||||||||||||||
вязкости (вязкость): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
l , |
D , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
– средняя |
|
|
|
||||||||||
где – плотность газа; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
арифметическая скорость молекул; l – |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
средняя |
|
длина |
свободного пробега; |
D – |
|
|
Рис. 6.2 |
|||||||||||||||||
коэффициент диффузии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Закон Фурье. Количество теплоты, перенесённой через малую |
|||||||||||||||||||||||
площадку S |
за время t в результате теплопроводности, пропорционально |
|||||||||||||||||||||||
градиенту температуры |
|
dT |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
dT |
S t , |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
||||
где – коэффициент теплопроводности, равный |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
c |
|
l , или |
|
|
c , |
или |
c D . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
v |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Здесь |
– |
|
плотность |
газа; |
– средняя |
арифметическая скорость |
молекул; l – средняя длина свободного пробега; D – коэффициент
диффузии; – коэффициент динамической вязкости; c |
V |
|
CV |
и C |
V |
|
i |
R |
– |
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
105
удельная и молярная теплоемкости идеального газа при постоянном объёме; i
– число степеней свободы; – молярная масса газа, R – универсальная газовая постоянная.
Твёрдое тело: упругие свойства, тепловое расширение, классическая теория теплоемкости твёрдых тел
Относительная продольная деформация:
l , l
где l – абсолютное удлинение, l – длина тела.
Нормальное механическое напряжение – это сила, приходящаяся на единицу площади сечения:
FS .
Закон Гука:
Здесь |
E , |
или |
F k l . |
– относительное удлинение, |
E – модуль Юнга материала, k – |
жёсткость (коэффициент жёсткости), равный для стержня величине k ESl .
Закон Дюлонга и Пти. По классической теории теплоёмкостей, молярная изохорная теплоёмкость всех химически простых тел в твёрдом состоянии одинакова, не зависит от температуры и равна
CV=3R,
где R – универсальная газовая постоянная. Для химических соединений CV=3Rz, где z – число атомов в молекуле. При низких температурах закон несправедлив.
Зависимость длины твёрдого тела от температуры: l l0 1 t ,
где – температурный коэффициент линейного теплового расширения; t – температура в градусах Цельсия; l0 – длина тела при температуре t=00С.
Зависимость объёма твёрдого тела от температуры:
V V0 1 t ,
где – температурный коэффициент объёмного теплового расширения; t – температура в градусах Цельсия; V0 – объём тела при температуре t=00С. Для аморфных тел и для кристаллических тел с кубической решёткой 3 .
Число атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку кристалла:
- для простой кубической решётки (рис. 6.3, а)
N 1;
- для гранецентрированной кубической решётки (рис. 6.3, б)
N 4 ;
106
- для объёмно-центрированной кубической решётки (рис. 6.3, в)
N 2 .
|
|
б |
|
в |
а |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6.3
Квантовые статистики. Энергия Ферми
Спин s – внутреннее характерное неотъемлемое свойство элементарных частиц (наряду с массой и зарядом). Спин электрона и фотона:
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
1 |
; |
s 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Спин определяет собственный (спиновый) механический момент |
|||||||||||
|
|
|
Ls |
|
|
|
|
|||||
импульса |
частицы |
s s 1 |
и |
связанный с ним магнитный момент |
||||||||
|
|
e |
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
pms |
|
|
Ls . Здесь |
|
|
– постоянная Планка с чертой, е – модуль заряда |
||||||
me |
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
электрона, me – его масса. Спин – квантовый релятивистский эффект. Классического аналога для спина нет. Частицы подчиняются разным статистическим закономерностям, в зависимости от того, целый спин у частиц или полуцелый.
Функция распределения Бозе-Эйнштейна (квантовая статистика для бозонов – частиц с целым спином; пример - фотоны):
|
|
f (Ei ) |
|
|
1 |
|
|
|
E |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
, f (Ei ) exp |
i |
1 |
, |
||||
|
|
|
Ei |
|
|
kT |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
e kT |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
где i – номер квантового состояния; |
f (Ei ) |
– |
средняя |
заселённость i-го |
|||||||||
состояния ( f (Ei ) Ni ; Ni – |
число частиц в i-м состоянии); Ei – энергия |
||||||||||||
частицы в i-том состоянии; k |
– постоянная |
Больцмана; |
T – |
температура; |
|||||||||
U |
|
– химический |
потенциал |
(увеличение |
внутренней энергии |
||||||||
|
|
||||||||||||
N |
V ,S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
системы при добавлении в неё одной частицы при постоянных объёме и энтропии: V const и S const ).
107
Функция распределения Ферми-Дирака (квантовая статистика для фермионов – частиц с полуцелым спином; пример – электроны):
f (Ei ) |
|
1 |
|
|
|
|
|
E |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
, f (Ei ) exp |
i |
|
|
1 |
, |
|
|||
|
Ei |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|
||||
|
e |
kT |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где i – номер квантового состояния; f (Ei ) |
– |
средняя |
заселённость |
i-го |
||||||||||
состояния ( f (Ei ) Ni ; |
Ni |
– |
заселённость, |
то |
|
есть |
число |
частиц в |
i-м |
|||||
состоянии; для фермионов может быть только 0 или 1); Ei |
– энергия частицы |
в i-том состоянии; – химический потенциал, в первом приближении для фермионов равный энергии Ферми ( EF ); k – постоянная Больцмана; T – температура. Для фермионов f (Ei ) имеет также смысл вероятности заполнения i-го состояния.
Энергия Ферми – это максимальная энергия электронов при T 0 ; она зависит от концентрации электронов n: чем больше частиц, тем большее число уровней будет занято и тем выше окажется последний занятый уровень (рис. 6.4), и тем выше соответствующая энергии EF температура Ферми TF :
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
E |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3 ; |
T |
F |
|
||||||
|
|
|
E |
F |
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
8m |
|
|
|
|
F |
k |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Положение |
уровня |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ферми |
немного |
зависит |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
от температуры, |
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
при температурах |
T>0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
уровнем |
Ферми |
по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определению называется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
уровень, |
вероятность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
заполнения |
которого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равна 0.5:
f E |
F |
1 . |
Рис. 6.4 |
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Температурная зависимость сопротивления металлов и полупроводников. p-n – переход. Термоэлектричество
Зависимость сопротивления R и удельного сопротивления ρ
металла от температуры
Rме R0 1 t R0 T ,ме 0 1 t 0 T
108
где 2731 K 1 – температурный коэффициент сопротивления (удельного
сопротивления) для чистых металлов; R0 ( 0 ) – сопротивление (удельное
сопротивление) при t 00 C ., T – абсолютная температура.
Зависимость сопротивления R, удельного сопротивления ρ и
проводимости γ собственного полупроводника от температуры:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
R |
R e2kT |
, |
|||||||||
|
|
пп |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
пп |
|
0 |
e2kT |
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
e |
|
E |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
пп |
0 |
|
2kT , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где k – постоянная Больцмана; T – абсолютная температура; E – ширина запрещённой зоны, то есть минимальная энергия, необходимая для
переходя электрона из валентной зоны в зону проводимости и образования пары электрон-дырка в беспримесном полупроводнике (рис. 6.5).
Сила тока, текущего через p-n – переход:
|
|
|
eU |
|
|
I I |
|
e kT |
1 |
, или |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I I0 |
|
|
|
|
|
eU |
|
||
exp |
|
|
1 . |
|
|||
kT |
|
Здесь e – элементарный заряд, k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура, U – напряжение на p-n – переходе (U>0 для прямого включения
иU<0 – для обратного).
Термоэлектродвижущая сила (ТЭДС), возникающая в замкнутой
цепи, составленной из разнородных проводников с различными
температурами спаев (контактов):
T2 T1 ,
где (T2–T1) – разность температур спаев термопары; – удельная термо-ЭДС.
Ядерная физика
Дефект массы ядра:
m Z mp ( A Z ) mn mя , или m Z mH ( A Z ) mn ma ,
где mp – масса протона, mn – масса нейтрона, mH – масса атома водорода 11H , ma и mp – масса атома и его ядра ZA X , Z – зарядовое число ядра (число протонов в ядре), A – массовое число (суммарное число нуклонов – протонов
инейтронов – в ядре).
Энергия связи ядра
Eсв. m c2 ,
109
где m – дефект массы ядра, с – скорость света в вакууме. Если дефект массы
выражен в атомных единицах массы (а.е.м.), то c2 931.5 МэВ ; иначе говоря,
а.е.м.
1 а.е.м. эквивалентна энергии 931.5 МэВ.
Удельная энергия связи – это энергия связи, приходящаяся на один нуклон:
Eуд. EAсв. .
где А – массовое число.
Закон радиоактивного распада:
N N0 e t ,
где N0 – начальное число радиоактивных ядер в момент времени t=0; N –
число ядер, оставшихся нераспавшимися в момент времени t; λ – постоянная радиоактивного распада (вероятность распада ядра в единицу времени).
Период полураспада – это время, за которое распадается половина ядер; оно связано с постоянной радиоактивного распада:
ln 2
T12 .
Активность радиоактивного вещества – это число распадов в
единицу времени:
A dNdt , или A N ,
где λ – постоянная распада, N – число радиоактивных ядер в момент времени t.
Энергетический эффект ядерной реакции X a Y b :
E m c2 (система единиц СИ: [ m] кг , [ E] Дж), илиE 931.5 m (атомные единицы: [ m] а.е.м., [ E] МэВ ),
где mX , mY , mb и ma – массы ядер или частиц, участвующих в реакции;m mX ma mY mb – изменение массы при ядерной реакции.
Раздел 6. Задачи
401.В баллоне, объём которого 0,25 м3 находится газ, состоящий из смеси углекислого газа и паров воды. Температура газа 327 °С. Число молекул углекислого газа N1=6,6∙1021, число молекул паров воды N2=0,9∙1021. Вычислить давление р и среднюю молярную массу μ газовой смеси.
402.Плотность газа, состоящего из смеси гелия и аргона при давлении 1,5 атм и температуре 27 °С, равна ρ=2 г/л. Сколько атомов гелия содержится
в1 см3 газовой смеси?
403.Определить среднюю кинетическую энергию <Епост> поступательного движения и среднее значение <Екин> полной кинетической
энергии молекулы водяного пара при температуре Т=600 К. Найти
110