Физика. Краткая теория и примеры решения задач. Методическое пособие 2016
..pdfТеорема Остроградского – Гаусса. Поток ФE вектора напряженности
E через любую замкнутую поверхность:
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
q |
, |
|
E |
|
||||
|
|
|
i |
||
|
|
|
0 i 1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
где qi – алгебраическая сумма |
зарядов |
(свободных и связанных), |
i 1
заключенных внутри замкнутой поверхности; п – число зарядов.
Теорема Остроградского – Гаусса для электрического смещения D .
Поток ФD вектора D электрического смещения через любую замкнутую поверхность равен
|
|
n |
|
D D cos dS qiсвободн. , |
|
|
S |
i 1 |
n |
|
|
где qсвободн. |
– алгебраическая сумма |
свободных зарядов, заключенных |
i |
|
|
i 1 |
|
|
внутри замкнутой поверхности; п – число зарядов.
Циркуляция векторного поля – это интеграл по замкнутому контуру вектора напряжённости поля. Для электростатического поля циркуляция
напряжённости: |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
E dl |
E cos dl , или |
El dl , |
|
|
|
|
L |
|
L |
L |
|
|
|
где El – проекция вектора напряженности |
в данной |
|
||||
E |
|
|||||
точке контура на направление касательной к контуру в той |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
же точке, – угол между вектором напряженности E и |
Рис. 3.3 |
|||||
элементом dl |
контура (рис. 3.3). |
|
|
|
|
Теорема о циркуляции: циркуляция вектора напряжённости
электростатического поля по произвольному замкнутому контуру равна нулю: |
||
|
|
|
E dl |
0 . |
|
L |
|
|
Энергия взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2, находящихся на расстоянии r друг от друга:
W |
q1 q2 |
, |
4 0 r |
где – диэлектрическая проницаемость среды; ε0 – электрическая постоянная.Потенциал данной точки поля – это энергия единичного положительного точечного пробного заряда, помещённого в данную точку
поля:
Wq .
51
Потенциал данной точки поля численно равен работе по перемещению единичного точечного пробного положительного заряда из данной точки поля
на бесконечность: Aq . Потенциал бесконечно удалённой точки считается
равным нулю. Если точечный заряд q поместить в точку поля, имеющую потенциал φ, то энергия заряда равна W q .
Потенциал электрического поля, создаваемый точечным зарядом q
на расстоянии r от заряда:
|
q |
|
|
. |
|
4 0 r |
Потенциал электрического поля, создаваемого металлической сферой радиусом R, несущей заряд q, на расстоянии r от центра сферы
- внутри и на поверхности сферы ( r R ): |
|
q |
; |
||
|
|||||
4 0 R |
|||||
- вне сферы (r>R): |
q |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
4 0 r |
|
|
|
Здесь – диэлектрическая проницаемость однородного безграничного диэлектрика, окружающего сферу.
Принцип суперпозиции. Потенциал, созданный в данной точке системой зарядов qi, равен алгебраической сумме потенциалов полей,
созданных в данной точке каждым зарядом системы в отдельности:
i .
i |
|
|
|
|
|
В случае непрерывно распределённых зарядов: d |
dq |
|
. Здесь |
||
|
|
|
|||
4 |
|
|
|||
V |
V |
0 |
r |
||
|
|
|
интеграл берётся по всей области, где локализованы заряды, а потенциал dφ создаётся зарядом dq dV , локализованным в элементарном малом объёме
dV; ρ – объёмная плотность заряда.
Потенциал электрического поля, созданного системой п точечных зарядов в данной точке, равен алгебраической сумме потенциалов 1, 2, ... ,n полей, создаваемых отдельными точечными зарядами q1, q2, ..., qn:
n |
|
n |
|
qi |
|
||
i |
|
. |
|||||
4 0 ri |
|||||||
i 1 |
|
i 1 |
|
||||
Потенциальная энергия W взаимодействия системы точечных |
|||||||
зарядов q1, q2, ..., qn: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
W |
(q |
|
) , |
|
|||
|
|
||||||
|
2 i 1 |
i |
i |
|
|
||
|
|
|
|
|
где i – потенциал поля, создаваемого всеми (п–1) зарядами (за исключением i-го) в точке, где расположен заряд qi. Энергия системы зарядов равна работе,
52
которую эта система зарядов совершает при удалении их относительно друг друга в бесконечность: W A .
Связь потенциала и напряженности E электрического поля:
|
|
|
|
|
E grad , |
или |
|
Здесь |
grad i |
j |
k . |
|
|
|
|
|
x |
y |
z |
2
2 1 El dl .
1
Интегрирование производится по
любому контуру, |
соединяющему |
точки 1 |
и |
2; El – проекция вектора |
|
напряженности |
|
в данной точке |
контура |
на |
направление касательной к |
E |
контуру в той же точке. В проекциях на любую ось:
Ex .x
В случае электрического поля, обладающего сферической симметрией:
E d |
|
|
или |
E d . |
||||
r |
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
dx |
|
r |
|
|
dx |
||
|
|
|
|
|
В случае однородного поля (когда напряженность в каждой точке поля
одинакова как по модулю, так и по направлению:
E 1 2 , d
где 1 и 2 – потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей; d – расстояние между этими поверхностями вдоль силовой линии поля.
Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда q из одной точки поля, имеющей потенциал 1, в другую, имеющую потенциал 2, равна
|
|
A q 1 2 , |
|
2 |
|
|
или |
A q El dl , |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
где |
El |
– проекция вектора напряженности E на направление перемещения; dl |
||
– перемещение. В случае однородного поля: |
|
|||
|
|
A q E l cos , |
|
|
где |
l |
– перемещение; – угол |
между векторами |
|
|
|
|
|
|
напряжённости поля E и перемещения l . |
|
Диполь (электрический диполь) – система двух
одинаковых по величине противоположных по знаку
точечных зарядов q и –q (рис. 3.4). Плечо диполя l – вектор, начинающийся на отрицательном заряде и оканчивающийся на положительном. Диполь
называется точечным, если его плечо l много меньше расстояния r до точек наблюдения (l<<r).
53
Дипольный момент электрического диполя – вектор, равный произведению модуля заряда диполя на плечо диполя:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pe |
q l . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Напряженность поля точечного диполя в точке А (рис. 3.4) с радиус- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектором r |
, образующим угол α с вектором |
pe |
дипольного момента: |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
3r |
p |
r |
|
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3cos2 . |
|||||||||||||||||
E |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
e |
, или |
E |
|
e |
|
|
|
|||||||
|
4 |
|
|
r |
5 |
|
|
|
|
r |
3 |
|
|
|
|
r |
3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
Потенциал поля точечного диполя в точке А (рис. 3.4) с радиус- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектором r |
, образующим угол α с вектором |
pe |
дипольного момента: |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pe cos |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
pe |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
или |
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
r3 |
|
|
4 r2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Механический момент сил, действующий на диполь в
электрическом поле: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
M peE sin , |
|||
|
|
M |
pe E ; |
или |
|
|||
где |
– электрический дипольный момент, |
– напряжённость поля, α – угол |
||||||
pe |
E |
между ними.
Сила, действующая на диполь в неоднородном электрическом поле.
Внеоднородном электрическом поле, кроме механического момента (пары сил), на диполь действует сила, проекция которой на произвольную ось OX равна:
Fx pe cos E ,
x
E
где pe – дипольный момент, x – быстрота изменения поля вдоль оси OX, α –
угол между дипольным моментом и вектором напряжённости. Если угол α острый, диполь втягивается в область сильного поля, если тупой – выталкивается.
|
Потенциальная энергия диполя в электрическом поле: |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W p E p E cos , |
||||
|
|
e |
|
e |
|
напряжённость поля, – |
где |
pe |
– электрический дипольный момент, |
E – |
|||
угол между ними. |
|
|
|
|
||
|
Электрическая ёмкость проводника: |
|
|
|||
|
|
C |
q |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
где |
q |
– заряд, сообщенный проводнику; |
|
– изменение потенциала |
проводника , вызванное этим зарядом. Или: ёмкость равна отношению заряда проводника к его потенциалу: C q . (Считается, что потенциал бесконечно удалённой точки равен нулю.)
54
Электрическая ёмкость уединенной |
проводящей сферы (шара) |
радиусом R, находящейся в бесконечной |
среде с диэлектрической |
проницаемостью ε:
C 4 0 R .
Если сфера полая и заполнена диэлектриком, то электроемкость её от этого не изменяется.
Электрическая ёмкость конденсатора:
C Uq ,
где q – заряд конденсатора; U – разность потенциалов обкладок конденсатора.
Связь между напряженностью E поля плоского конденсатора и напряжением U на нём:
E Ud ,
где d – расстояние между обкладками.
Электрическая ёмкость:
- плоского конденсатора (рис. 3.5):
C 0 S , d
Рис. 3.5 Рис.3.6 Рис. 3.7 Рис. 3.8
где S – площадь пластин (каждой пластины); d – расстояние между ними (d много меньше размера пластин); ε – диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами;
- плоского конденсатора, заполненного п слоями диэлектрика толщиной di каждый с диэлектрическими проницаемостями i , (слоистый
конденсатор, рис. 3.6):
C |
|
|
|
0 |
S |
|
; |
||
|
d1 |
|
d2 |
|
... |
dn |
|
||
1 |
2 |
n |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
-сферического конденсатора (две концентрические сферы радиусами R1
иR2, пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε, рис. 3.7):
55
C 4 0 R1 R2 ;
R2 R1
-цилиндрического конденсатора (два коаксиальных цилиндра длиной l
ирадиусами R1 и R2, пространство между которыми заполнено диэлектриком
с диэлектрической проницаемостью ε, рис. 3.8) при условии l >>R:
C 2 0 l .
ln R2
R1
Общая ёмкость при параллельном соединении конденсаторов:
n
C Ci C1 C2 ... Cn ,
i 1
где п – число конденсаторов. Для двух конденсаторов: C C1 C2 . Для п одинаковых конденсаторов с электроёмкостью С1 каждый: C n C1.
Общая ёмкость при последовательном соединении конденсаторов:
1 |
n |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
... |
, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
C |
i 1 Ci |
|
C1 |
C2 |
|
Cn |
|
|
|
|||
где п – число конденсаторов. Для двух конденсаторов: C |
C1 C2 |
. Для п |
|||||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C C |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
одинаковых конденсаторов с электроёмкостью С1 каждый: C Cn1 .
Энергия заряженного проводника выражается через заряд q, потенциал
φи электрическую ёмкость С проводника следующими соотношениями:
W |
q2 |
|
C 2 |
|
q |
. |
|
2C |
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
Энергия заряженного конденсатора
W |
q2 |
|
C U 2 |
|
q U |
|
2C |
2 |
2 |
||||
|
|
|
где С – электрическая ёмкость конденсатора, q – его заряд, U – разность потенциалов на его пластинах.
Объёмная плотность энергии – это энергия единицы объёма:
w |
W |
, или |
w |
dW |
. |
V |
|
||||
|
|
|
dV |
Объёмная плотность энергии электростатического поля:
w |
0 E 2 |
, |
или |
w |
E D |
, |
|
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
где Е – напряжённость поля, D – электрическое смещение.
56
Законы постоянного тока
Сила тока – отношение заряда dq , прошедшего через сечение проводника, к промежутку времени dt , за которое заряд был перенесён:
I dqdt .
Сила тока – производная заряда по времени. Только в случае, когда ток постоянный, можно использовать формулу
I qt ,
где q – заряд, прошедший через сечение проводника за время t .
Плотность электрического тока – это сила тока I , приходящаяся на единицу площади сечения проводника S :
j |
I |
, или, точнее, |
j |
dI |
. |
|
|
||||
|
S |
|
|
dS |
Плотность электрического тока – это вектор, равный:
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
j |
|
k ; |
|
|
|
|
S |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
j q0 n , |
|
|
||
Здесь n – концентрация свободных носителей заряда в проводнике, q0 – |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
заряд каждой частицы, |
– средняя скорость их направленного движения, k – |
|||||
единичный |
вектор, |
сонаправленный |
|
с |
направлением |
движения |
положительных носителей заряда. |
|
|
|
|
||
Сопротивление однородного проводника |
|
|
R Sl ,
где ρ – удельное сопротивление вещества проводника; l – его длина; S – его сечение.
Проводимость G проводника и удельная проводимость γ вещества
G |
1 |
; |
|
1 |
. |
|
|
||||
|
R |
|
|
||
Зависимость сопротивления R и удельного сопротивления ρ от |
|||||
температуры: |
|
|
|
||
R R0(1 t) ; |
0(1 t) , |
где ρ0 (R0) – удельное сопротивление (сопротивление) при температуре 00С; t – температура (по шкале Цельсия); – температурный коэффициент сопротивления.
Сопротивление при последовательном соединении проводников:
57
R |
N |
Rk |
|
|
k 1 |
Сопротивление при параллельном соединении проводников:
1 |
|
1 |
|
|
|
|
N |
|
|
R |
k 1 Rk . |
Здесь Rk – сопротивление k-го проводника; N – число проводников.
Электродвижущая сила (ЭДС) численно равна работе сторонних сил по перемещению единичного заряда по замкнутой цепи. Или: ЭДС равна работе сторонних сил по перемещению точечного заряда по замкнутой цепи, отнесённой к величине этого заряда:
Aстор. .
q
Закон Ома:
- для неоднородного участка цепи (участка, содержащего ЭДС):
I 1 2 ;
R
- для однородного (не содержащего ЭДС) участка цепи:
|
I |
1 2 |
|
U |
; |
|
|
R |
R |
||||
|
|
|
|
|
||
- для замкнутой цепи: I |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
R r |
|
|
|
|
Здесь (φ1–φ2) – разность потенциалов на концах участка цепи; ε – ЭДС
источника тока, U – напряжение на участке цепи; R – сопротивление цепи (участка цепи); r – внутреннее сопротивление источника тока.
Первое правило Кирхгофа. Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:
N
Ii 0 ,
i 1
причём токи, заходящие в узел, надо брать в этой сумме с положительным знаком, выходящие из узла – с отрицательным. Здесь N – число токов, сходящихся в узле.
Второе правило Кирхгофа. Алгебраическая сумма напряжений на всех участках любого замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, включенных в данный контур:
n
Ii
i 1
k
Ri i .
i 1
58
Здесь Ii – сила тока на i-м участке; Ri – сопротивление i-того участка; i
– ЭДС источников тока на i-м участке; п – число участков, содержащих сопротивления; k – число участков, содержащих источники тока. Правило знаков: если направление тока на данном участке совпадает с направлением обхода контура, то произведение Ii Ri надо брать с положительным знаком;
иначе – с минусом. Если ЭДС при обходе контура проходим от минуса к плюсу, то i надо брать с плюсом; иначе – с минусом.
Работа, совершаемая электростатическим полем и сторонними
силами на участке цепи постоянного тока за время t:
A I U t .
В случае непостоянного тока работа равна:
t
A I U dt .
0
Мощность тока
P I U I 2 R U 2 . R
Закон Джоуля-Ленца для постоянного тока:
Q I 2 R t ,
где Q – количество теплоты, выделяющееся в участке цепи при протекании постоянного тока за время t. В случае непостоянного тока:
|
t |
t R dt . |
dQ I 2 R dt ; |
Q I 2 |
0
Здесь I t – мгновенная сила тока. Закон Джоуля-Ленца справедлив при условии, что участок цепи неподвижен и в нём не совершаются химические превращения
Коэффициент полезного действия источника тока
(см.рис. 3.9):
|
R |
Рис. 3.9 |
|
|
. |
|
|
R r |
|
||
|
Раздел 3. Задачи |
|
|
161. Три одинаковых точечных заряда Q1 Q2 |
Q3 2 нКл находятся в |
вершинах равностороннего треугольника со стороной а=10 см. Определить модуль и направление силы, действующей на один из зарядов со стороны двух других.
162. Два положительных точечных заряда Q1 Q и Q2 9Q закреплены на расстоянии d=100 см друг от друга. Определить, в какой точке на прямой,
59
проходящей через заряды, следует поместить третий заряд так, чтобы он находился в равновесии. Указать, какой знак должен иметь этот заряд для того, чтобы равновесие было устойчивым, если перемещения зарядов возможны только вдоль прямой, проходящей через закрепленные заряды.
163. Два одинаковых заряженных шарика подвешены в одной точке на нитях одинаковой длины. При этом нити разошлись на угол . Шарики погружают в масло. Какова плотность масла ρ, если угол расхождения нитей при погружении в масло остается тем же? Плотность материала шариков
0 1,5 103 кг/м3, диэлектрическая проницаемость масла ε=2,2.
|
164. |
|
В вершинах квадрата находятся одинаковые заряды |
|
Q Q Q |
Q 8 10 10 |
Кл. Какой отрицательный заряд нужно поместить в |
||
1 |
2 |
3 |
4 |
|
центре квадрата, чтобы сила взаимного отталкивания положительных зарядов была уравновешена силой притяжения отрицательного заряда?
165. Тонкий стержень длиной l=10 см заряжен равномерно зарядом q=100 нКл. На продолжении оси стержня на расстоянии d=20 см от ближайшего его конца находится точечный заряд Q1 100 нКл. Определить силу взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.
166. Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью заряда τ=10 мкКл/м. На продолжении оси стержня на расстоянии d=20 см от ближайшего его конца находится точечный заряд Q1 10 нКл. Определить силу взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.
167. Тонкий очень длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью заряда τ=10 мкКл/м. На перпендикуляре к оси стержня, идущем из его середины, находится точечный заряд Q1 10 нКл. Расстояние от стержня до заряда d=20 см. Определить силу взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.
168.Тонкая нить длиной l=20 см заряжена равномерно зарядом q=2 нКл. На расстоянии d=10 см от нити против ее середины находится точечный заряд Q1 1 нКл. Определить силу, действующую на этот заряд со стороны нити.
169.Тонкий длинный стержень равномерно заряжен. Сила, действующая
со стороны стержня на точечный заряд Q1 10 нКл, находящийся на расстоянии d=20 см от стержня вблизи его середины, равна 9 мН. Какова линейная плотность заряда стержня?
170. Тонкое кольцо радиусом R 10 см несет равномерно распределенный заряд Q 0,1 мкКл. На перпендикуляре к плоскости кольца, восстановленном из его середины, находится точечный заряд Q1 10 нКл. Какова сила, действующая со стороны заряженного кольца на заряд Q1 , если он удален от центра на расстояние: 1) d1=20 см; 2) d2=2 м?
171. Тонкий стержень длиной l=12 см заряжен с линейной плотностью τ=200 нКл/м. Найти напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии d=5 см от стержня, напротив его середины.
60