- •1.1. Событие и эксперимент. Соотношения между событиями. Пространство элементарных исходов
- •1.2. Относительная частота и вероятность события. Статистическое определение вероятности
- •1.3. Классическое определение вероятности
- •1.5. Аксиоматика теории вероятностей
- •1.6. Условная вероятность. Независимость событий. Теорема умножения вероятностей
- •1.8. Формула полной вероятности
- •1.9. Формула Байеса
- •2.1. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные величины
- •2.2. Ряд и многоугольник распределения дискретной св
- •2.3. Функция распределения св и её свойства
- •2.4. Плотность распределения непрерывной св и её свойства
- •2.5. Математическое ожидание, мода и медиана св
- •2.1. Понятие о точечных оценках и их свойствах
- •2.2. Точечные оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения
- •3.1. Понятие о доверительных интервалах
- •4.1. Основные определения и общая схема проверки гипотез
1.3. Классическое определение вероятности
Пусть , причём . Пусть А – некоторое событие, которое происходит тогда и только тогда, когда наступает элементарное событие из подмножества множества . Поскольку и события попарно несовместны, то
,
где . Поскольку , то , откуда получаем формулу , где n – общее число элементарных исходов испытания, m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события А.
1.5. Аксиоматика теории вероятностей
Пусть – некоторое множество элементов произвольной природы, называемых элементарными событиями, а F – множество всех подмножеств . Элементы множества F будем называть событиями. Пусть множество F обладает следующими свойствами:
1) ;
2) если , то .
Если множество F содержит бесконечное число элементов, то предполагается также справедливость следующего свойства: если , то . Вероятности событий из множества F вводятся с помощью следующих аксиом, предложенных А.Н. Колмогоровым.
Аксиома 1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное число , называемое его вероятностью.
Аксиома 2. .
Аксиома 3 (аксиома сложения). Если события попарно несовместны, то .
Таким образом, аксиомы вводят на множестве F неотрицательную, нормированную, аддитивную функцию Р, называемую вероятностью.
Основные следствия из аксиом.
Следствие 1. Для любого события А имеет место .
Следствие 2. Для любого события А имеет место .
Следствие 3. .
Следствие 4. Если , то и .
1.6. Условная вероятность. Независимость событий. Теорема умножения вероятностей
Пусть А и В – два произвольных события. Относительные частоты событий А, В и в n повторения испытания выражаются отношениями , и , где – число появлений события в n испытаниях.
‑ произвольные событий А и В. Независимость событий всегда взаимна.
Теорема. Вероятность произведения произвольных событий вычисляется по формуле . (математической индукцией).
Теорема. Вероятность суммы двух произвольных событий А и В вычисляется по формуле .
1.8. Формула полной вероятности
Пусть требуется найти вероятность некоторого события А, которое может произойти только совместно с одним из событий , образующих полную группу попарно несовместных событий (гипотез). Тогда искомая вероятность вычисляется по формуле
,
называемой формулой полной вероятности.
1.9. Формула Байеса
Пусть имеется полная группа попарно несовместных событий (гипотез) . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны . Проведён опыт, в результате которого произошло событие А. Требуется найти условную вероятность гипотезы после того как произошло событие А.
Справедлива следующая формула, называемая формулой Байеса:
,
где .
Вероятность называется априорной вероятностью гипотезы , а – апостериорой вероятностью этой гипотезы.
2.1. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные величины
Случайной величиной (СВ) называется такая величина, которая в результате опыта может принять одно и только одно значение из некоторого подмножества числовой прямой.
Случайная величина Х называется дискретной, если она принимает только отдельные изолированные друг от друга значения с определёнными вероятностями. Множество возможных значений дискретной СВ может быть конечным или счётным.
Случайная величина Х называется непрерывной, если множество её возможных значений – конечный или бесконечный промежуток числовой прямой, причём вероятность появления каждого отдельного значения равна нулю.