2.2. Ряд и многоугольник распределения дискретной св

Пусть Х – дискретная СВ, которая в результате опыта принимает одно из значений , а , – вероятности появления этих значений. События , являются, очевидно, попарно несовместными и образуют полную группу, поэтому

.

Законом распределения дискретной СВ называется любое соотношение, устанавливающее связь между её возможными значениями и их вероятностями . Простейшей формой задания закона распределения дискретной СВ с конечным множеством значений является следующая таблица, называемая рядом распределения:

Х			. . .
р			. . .

Предполагается, что . Если множество возможных значений дискретной СВ счетное, то её ряд распределения иногда удаётся представить формулой вида , , где р – некоторая функция и выполняется условие .

2.3. Функция распределения св и её свойства

Пусть Х – некоторая СВ. Функция называется функцией распределения этой СВ. Функция распределения может использоваться в качестве вероятностной характеристики как дискретной, так и непрерывной СВ. Рассмотрим основные свойства .

1. . 2. – неубывающая функция аргумента х. 3. . 4. . 5. .

6. Функция распределения непрерывной СВ непрерывна на всей числовой оси.

7. Функция распределения дискретной СВ является ступенчатой и непрерывной слева при любом значении аргумента х. Она имеет разрыв при каждом значении аргумента, совпадающем с возможным значением СВ, а величина соответствующего скачка равна его вероятности.

2.4. Плотность распределения непрерывной св и её свойства

Пусть Х – непрерывная СВ, а – её функция распределения, которая предполагается дифференцируемой. Рассмотрим основные свойства плотности распределения.

1. . 2. . 3. . 4. .

2.5. Математическое ожидание, мода и медиана св

Математическим ожиданием дискретной СВ Х, которая может принимать значения , называется величина , где , и . Если множество значений дискретной СВ счётно, то .

Математическим ожиданием непрерывной СВ Х с плотностью распределения называется величина .

Модой Мо дискретной СВ называется такое её возможное значение , для которого вероятность наибольшая. Модой непрерывной СВ называется такое из её значений, которому соответствует наибольшее значение плотности вероятности .

Медианой Ме непрерывной СВ Х называется такая величина, для которой . Если известна функция распределения , то медиана определяется как корень уравнения .

2.6. Моменты, дисперсия и среднее квадратическое отклонение СВ

Начальным моментом k-го порядка СВ Х называется величина . Для дискретной СВ , для непрерывной . совпадает с математическим ожиданием. Случайная величина называется центрированной по отношению к СВ Х. Центральным моментом k-го порядка СВ Х называется величина . Центральный момент всегда равен нулю. Центральный момент называется дисперсией СВ Х. Справедливо равенство .

4.3. Основные свойства математического ожидания

1. Если с – константа, то .

2. Если с – константа, Х – СВ, то .

3. Если Х и Y – две СВ, то .

по индукции можно получить равенство .

4. Если Х и Y – две СВ, то .

Если Х и Y не коррелированны, то . Если – независимые СВ, то .

4.4. Основные свойства дисперсии

1. Если с – константа, то .

2. Если с – константа, Х – СВ, то .

3. Если Х и Y – произвольные СВ, то , .

Если Х и Y не коррелированные, то . Или – независимые СВ, то

.

По статистике

1.1. Выборка и статистический ряд

Пусть некоторая СВ Х наблюдается (измеряется) n раз, то есть – независимые СВ, имеющие тот же закон распределения, что и СВ Х.

Генеральная совокупность - все значения, которые может принимать рассматриваемая СВ Х в результате наблюдений (измерений).

Выборкой из генеральной совокупности называются результаты n последовательных независимых наблюдений (измерений) СВ Х.

Вариационным рядом выборки называется запись её элементов в порядке не убывания.

Размах выборки – разность между максимальным и минимальным элементами выборки.