- •Методические аспекты моделирования в асу и классификация моделей.
- •3. Организация статистического моделирования. Метод монте - карло.
- •Имитация равномерно распределенных случайных величин на интервале [0; 1].
- •Метод обратных функций. Примеры реализации.
- •Имитация векторных случайных величин; стандартный метод
- •Имитация нормально распределенных св (одномерный и многомерный случаи)
- •Анализ методов имитации случайных величин с заданным законом распределения (одномерный и многомерный случаи)
- •Имитация редких событий
- •Оценка количества реализаций, необходимых для достижения требуемой точности в методе статистических испытаний
- •Метод монте – карло и имитационное моделирование
- •Методы понижения дисперсии и методы вычисления интегралов
- •Регенеративный метод анализа моделей
- •Метод стратифицированной выборки
- •Методология имитационного моделирования
- •3. Формулировка математической модели.
- •Типовые математические схемы сложных систем. Агрегат и его функционирование,
- •4.Пример представления смо в виде агрегата.
- •7.Системная динамика
- •17.Метод лемера и сдвиг бернулли. Детерминированный хаос
- •35.Особенности моделирования организационно – экономических систем. Активные системы.
- •23.Характеристики интегрированной среды моделирования gpss
- •23.Основы моделирования в системе gpss
- •31.Смо; классификация и решение задач с помощью имитационного моделирования
- •36.Имитационное моделирование систем управления запасами
- •6.Метод Бокса-Уилсона.
- •3. Определение запаса для движения в направлении крутого восхождения
- •7. Проводим пошаговое приращение в каждом последующем опыте величины уровня фактора, учитывая знаки коэффициентов регрессии.
- •9. Классификация случайных процессов и корреляционные функции.
- •Корреляционные функции
- •18.Имитация потоков событий и случайных векторных величин.
- •19.Понятие детерминированного хаоса и показатель Ляпунова.
- •21. Особенности моделирования организационно-экономических систем. Производственные функции.
- •27.Системы массового обслуживания; классификация и решение задач аналитическим методом.
- •28.Методы имитации дискретных случайных величин.
- •30.Задача определения давления в пласте с помощью метода Монте-Карло.
- •32. Моделирование геологического разреза.
- •Теоретическая часть. Построение имитационной модели геологического разреза
- •34.Системы управления запасами; типовые математические модели.
- •37.Агентное моделирование.
- •Причины возникновения
- •Постановка задачи
- •Реализации
- •38.Имитация экспоненциально распределенных случайных величин.
- •40.Метод композиций; имитация св, подчиненных распределению хи квадрат.
-
Анализ методов имитации случайных величин с заданным законом распределения (одномерный и многомерный случаи)
Имитация СВ с заданным законом распределения. Общая схема:
-
Имитация редких событий
Имитация случайных величин, подчиненных закону распределения Пуассона.
Дискретная случайная величина х, принимающая целочисленные значения, распределена по закону Пуассона, если:
---- > закон редких событий
𝜆 – параметр распределения
Если M[ ] = D[ ] = λ в заданном интервале с заданной точностью, то можно говорить, что это закон Пуассона. Распределение Пуассона является предельным для биномиального, когда (n→∞) и (p→∞) так, что np = 𝜆 = const
Основное утверждение, на котором базируется имитация редких событий, гласит следующее: Если длина интервала между последовательными событиями имеет экспоненциальное распределение, то количество событий до величины
подчинено распределению Пуассона.
1) P0 (t) – вероятность того, что на интервале [0, t] не произойдет ни одного события. λdt – вероятность того, что некоторое событие произойдет на интервале [t, t+dt] P0 (t+dt) - вероятность того, что на интервале [t, t+dt] не произойдет ни одного события
P0 (t+dt)= P0 (t)(1- λdt )
2)
T – случайная величина, равная длине временного интервала между последовательными событиями.
Таким образом, для генерирования случайных величин, подчиненных з-ну Пуассона, сначала генерируются экспоненциально распределенные моменты {tij} наступления событий с м.о. I, которые потом суммируются до тех пор, пока итог не превысит
величину 𝜆.Как показал опыт, для большего быстродействия, можно применять следующее модифицированное выражение (λ=1 из экспоненциального закона)
-
Оценка количества реализаций, необходимых для достижения требуемой точности в методе статистических испытаний
ε
- погрешность , А – коэффициент, связанный
с дисперсией
- оценка, а
– оцениваемый параметр
α
– достоверность, вероятность.
- неравенство Чебышева (устанавливает верхнюю границу вероятности)
D[ ] – дисперсия оценки а
устанавливает
нижнюю границу вероятности
Пусть ξ случайная величина с математическим ожиданием : Дисперсия оценки :
Обозначим
При реализации метода Монте-Карло общее число реализаций велико, поэтому среднее арифметическое как СВ, подчиняется нормальному закону распределения с м.о. М[]=a и дисперсией D[]=σ2/N. В этом случае формула для погрешности принимает вид: , где - находится из таблицы нормального распределения.
Для уменьшения ε возможны два варианта: * уменьшить дисперсию(
); *увеличить число реализаций ( N )
-
Метод монте – карло и имитационное моделирование
ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ - методология исследования и моделирования сложных систем – глобальное моделирование. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ - это метод, позволяющий строить модели, описывающие процессы так, как они проходили бы в действительности. Такую модель можно «проиграть» во времени как для одного испытания, так и заданного их множества. При этом результаты будут определяться случайным характером процессов. По этим данным можно получить достаточно устойчивую статистику.
МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО – метод решения математических задач с помощью моделирования случайных величин. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО - это численный метод, моделирующий на ЭВМ псевдослучайные числовые последовательности с заданными вероятностными характеристиками.
О
К
ИМИТАЦИОННОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ ПРИБЕГАЮТ,
когда:
дорого или невозможно экспериментировать
на реальном объекте;
невозможно построить аналитическую
модель: в системе есть время, причинные
связи, последствие, нелинейности,
стохастические (случайные) переменные;
необходимо сымитировать поведение
системы во времени.
Имитационное моделирование, сохраняя
основные приемы статистического
моделирования, представляет собой
современную технологию исследования
сложных систем, использующую языковые
и программные средства.
-
Универсальность
-
Простота реализации
-
Погрешность:
e - погрешность В – константа, зависящая от дисперсии оценки N – число реализаций (испытаний)
«-» медленная сходимость (сходимость
по вероятности)
ОТЛИЧИЯ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ОТ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО.
1)В методе Монте-Карло наблюдения являются независимыми, а в имитационном моделировании процесс протекает во времени и между наблюдениями имеется сериальная корреляция. Сериальная корреляция - rk – с запаздыванием или шагом k есть корреляция между отстоящими друг от друга на k-единиц членами ряда. В результате получаем r0(=1),r1,r2,…,ri
2)В задачах Монте-Карло отклик можно выразить как случайную функцию от случайных входных факторов, в имитационном моделировании в качестве такой функции может служить только алгоритм или вычислительная программа.
ОБЩАЯ СХЕМА МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО.
Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину Х, математическое ожидание которой равно а: М(Х)=а.
Практически же поступают так: производят n испытаний, в результате которых получают n возможных значений Х; вычисляют их среднее арифметическое и принимают x в качестве оценки (приближённого значения) a* искомого числа a:
Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода указывает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину Х, как найти её возможные значения. В частности, разрабатываются способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин, в результате чего уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого математического ожидания а его оценкой а*.
ЭТАПЫ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
1. Формулировка проблемы. обоснование применения имитационного моделирования, определение целей.
2. Выявление существенных элементов системы, анализ взаимодействия элементов и внешних воздействий.
3. Формулировка математической модели.
4. Разработка алгоритмов и программирование имитационных моделей.
5. Оценка адекватности модели.
Имитационное моделирование имеет особые трудности при решении проблемы адекватности модели, т.к. велик информационный фонд и сама модель – это совокупность большого количества моделей.
*методы внешней оценки (эксперт оценивает входы, выходы, структуру, примерные результаты);
*трассировка (анализируется логика моделирования);
*внутренняя оценка (статистические критерии, типа критерия Фишера);
*исторические подходы.
6. Планирование эксперимента
При планировании эксперимента предполагается решение следующих проблем:
*определение объема выборки;
*большое число факторов;
*многокомпонентная функция реализации.
7. Реализация машинных экспериментов в соответствии с выбранным планом.
Особая роль отводится подготовке информации к диалоговой системе.
8. Обработка результатов экспериментов машинного и имитационного моделирования.
Большая роль отводится методам понижения дисперсии.
СТРУКТУРА ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ. 1)Объект – сложная система 2) Действие случайных факторов 3) Необходимость расчета на ЭВМ x - Имитация случайных величин с заданным законом распределения F(x)- Алгоритм функционирования системы (вероятностная трактовка) y - Обработка результатов испытаний методами математической статистики