- •Sommaire
- •1. Activités géométriques
- •1. 1 Vocabulaire des vecteurs
- •1)La relation de Chasles
- •Exercices
- •1.2Vecteurs et coordonnées
- •Exercices
- •1.3 Propriété de Thalès
- •4) On donne la réponse sans oublier de rappeler l’unité de longueur.
- •3) On applique la réciproque de la propriété de Thalès pour conclure.
- •Exercices
- •1.4 Angles inscrits dans un cercle
- •Exercices
- •1.5 Révision
- •2. Inéquations à une inconnue
- •2.1Vocabulaire des inégalités
- •Exercices
- •2.2 Resoudre une inéquation
- •Exercices
- •2.3 Resoudre un système de deux inéquations
- •Exercices
- •2.4 Révision
- •3. Fonction trinôme du second degré
- •3.1 Trinôme du second degré
- •Exercices
- •3.2 Fonction trinôme du second degré
- •Exercices
- •3.3 Inéquations du second degré
- •Exercices
- •3.4 Révision
- •4. Suites
- •4.1 Notion de suite
- •Exercices
- •4.2 Suite arithmétique
- •Exercices
- •4.3 Suite géométrique
- •Exercices
- •4.4 Révision
3. Fonction trinôme du second degré
3.1 Trinôme du second degré
Mots à retenir
un polynôme (многочлен) un trinôme (трёхчлен)
écrire (mettre) un trinôme sous la forme canonique (выделить квадрат двучлена)
Définitions
1) Si a, b et c désignent des réels avec , l’expression est appelée polynôme du second degré ou trinôme du second degré.
Ce trinôme contient trois termes : ; ; . On appelle terme constant le terme ne contenant pas x, c’est-à-dire c. Le terme de plus haut degré est celui dans lequel l’exposant de x est le plus élevé, c’est-à-dire
2) On appelle discriminant du trinômeou de l’équation le réel, noté Δ, défini par :
3) Toute solution de l’équation est appelée racine du trinôme.
Remarque
Le trinôme du second degré peut prendre trois formes, avec
Forme réduite Forme canonique Forme factorisée
Les deux premières existent toujours.
Par exemple :
mettre le trinômesous la forme canonique
Solution
1) On commence par mettre a en facteur. Ici a = 2. Donc ici :
2) On utilise le fait que est le début du développement de :
3) Dans l’expression , on remplace par
soit
Réponse :
Pour la forme factorisée :
-
Si Δ > 0, alors , où x1 et x2 sont les deux racines distinctes du trinôme.
-
Si Δ = 0, alors , où x0 est la seule racine du trinôme (dite « racine double »).
-
Si Δ < 0, alors ne peut pas s’écrire sous la forme d’un produit de facteurs du premier degré.
Par exemple : écrire les trinômes sous la forme factorisée
Solution
1) Ici a = 4 ; b = 8 et c = -5, donc
Puisque Δ est strictement positif, le trinôme a deux racines distinctes:
, donc donc
On peut écrire :
2) Ici a = 4 ; b = -12 et c = 9, donc
Δ est nul, donc le trinôme a une seule racine : donc
On peut écrire :
3) Ici a = 2 ; b = -1 et c = 1, donc
Puisque Δ < 0, le trinôme n’a pas de racine. La factorisation n’est pas possible.
Réponse :
le trinômene peut pas s’écrire sous la forme factorisée.
Exercices
126) Déterminer un trinôme du second degré admettant : a) les réels 2 et -5 comme racines ; b) le réel 3 comme racine double.
127) Écrire deux trinômes du second degré admettant chacun : a) -2 et 3 comme racines ; b) 2 comme racine double.
128) Mettre les trinômes sous la forme canonique :
129) Écrire les trinômes sous la forme factorisée :
130) Écrire les trinômes sous la forme canonique :
131) Mettre les trinômes sous la forme factorisée :
132) Écrire chacun des polynômes suivants sous sa forme réduite, puis sous sa forme canonique :
133) Écrire les expressions suivantes sous la forme la plus simple :
134) Prouver que, pour tous les nombres x l’expression est positive.
135) Prouver que, pour tous les nombres x l’expression est négative.
136) Représenter les fonctions suivantes dans un repère :
137) Prouver quepour tous les nombres x.