- •Sommaire
- •1. Activités géométriques
- •1. 1 Vocabulaire des vecteurs
- •1)La relation de Chasles
- •Exercices
- •1.2Vecteurs et coordonnées
- •Exercices
- •1.3 Propriété de Thalès
- •4) On donne la réponse sans oublier de rappeler l’unité de longueur.
- •3) On applique la réciproque de la propriété de Thalès pour conclure.
- •Exercices
- •1.4 Angles inscrits dans un cercle
- •Exercices
- •1.5 Révision
- •2. Inéquations à une inconnue
- •2.1Vocabulaire des inégalités
- •Exercices
- •2.2 Resoudre une inéquation
- •Exercices
- •2.3 Resoudre un système de deux inéquations
- •Exercices
- •2.4 Révision
- •3. Fonction trinôme du second degré
- •3.1 Trinôme du second degré
- •Exercices
- •3.2 Fonction trinôme du second degré
- •Exercices
- •3.3 Inéquations du second degré
- •Exercices
- •3.4 Révision
- •4. Suites
- •4.1 Notion de suite
- •Exercices
- •4.2 Suite arithmétique
- •Exercices
- •4.3 Suite géométrique
- •Exercices
- •4.4 Révision
3.3 Inéquations du second degré
Mots à retenir
une réunion d’intervalles (объединение промежутков)
Définition
Une inéquation du second degré à une inconnue x est une inéquation qui peut s’écrire sous les formes : où a, b et c sont des réels donnés, avec
Méthode 1
Résoudre graphiquement en tracant la parabole d’équation dans un repère.
Par exemple : résoudre graphiquement l’équation , puis les inéquations et
Solution
La parabole représente la fonction
dans un repère.
1) Les solutions de l’équation sont
les points d’intersection de la parabole et de l’axe
des abscisses. Ce sont les nombres -1 et 3.
2) Les solutions de l’inéquation
correspondent aux points de la parabole
d’ordonnée strictement négative. Donc
l’ensemble des solutions de cette inéquationest ]-1 ; 3[.
3) Les solutions de l’inéquation correspondent aux points de la parabole d’ordonnée positive. Donc l’ensemble des solutions de cette inéquation est
Méthode 2
Pour résoudre une inéquation du second degré, on détermine le signe du trinôme associé.
-
On écrit l’inéquation sous la forme (ou , ou <, ou ).
-
On étudie le signe de Soit on résout d’abord l’équation on précise l’allurede la parabole donnée par le signe de a et de Δ, puis on donne le signe duselon la position de la parabole par rapport à l’axe des abscisses.
Lorsque Δ < 0, est toujours du signe de a.
Lorsque Δ = 0, est du signe de a (sauf lorsque , auquel cas)
Lorsque Δ > 0 , est du signe de a, sauf lorsque x est entre les racines, auquel cas est a sont de signes contraires .
Soit on trouve une factorisation et on étudie le signe dans un tableau.
Par exemple : résoudre l’inéquation
Solution
1) Cette inéquation s’écrit Résolvons d’abord l’équation Ici a = 1, b = -1et c = -6 ; donc Δ = 25. Δ est strictement positif, donc l’équation a deux racines : x1 = -2 et x2 = 3.
x |
- 2 3 + ∞ |
+ 0 - 0 + |
Ici a > 0, donc est strictement positif, pour les valeurs de x extérieures à l’intervalle [-2 ; 3]. Pour x = 3 ou x = -2, , donc 3 et -2 sont solutions de l’inéquation. L’ensemble des solution est donc
Réponse :
2)
On cherche le signe de chacun des facteurs puis on applique la règle des signes. On établit un tableau.
x |
- ∞ -2 3 + ∞ |
x+2 |
- 0 + + |
x-3 |
- - 0 + |
+ 0 - 0 + |
L’ensemble des solution est donc
Réponse :