- •26*. Условный экстремум функции нескольких переменных. Определение и методы вычисления на примерах.
- •27*. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Таблица основных интегралов.
- •28*. Свойства неопределенного интеграла с доказательством и простейшие правила интегрирования.
- •29. Метод замены переменных при интегрировании с демонстрацией на конкретных примерах.
- •30. Метод интегрирования по частям с демонстрацией на конкретных примерах.
- •31. Интегрирование рациональных дробей с демонстрацией на конкретных примерах.
- •32*. Сумма Римана и ее предел. Геометрический смысл суммы Римана. Определенный интеграл, его геометрический и экономический смысл.
- •33. Свойства определенных интегралов с примерами.
- •34*. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Основная формула интегрального исчисления (с примерами).
- •35. Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле с демонстрацией на конкретных примерах.
- •36. Определение площадей и объемов тел вращения с помощью определенных интегралов (с примерами).
- •37. Несобственные интегралы первого и второго рода.
- •38. Признаки сходимости для несобственных интегралов первого и второго родов.
- •39. Дифференциальное уравнение и его решение. Примеры. Формулировка теоремы о существовании и единственности решения дифференциального уоавнения первого порядка с геометрической интерпретацией.
- •40*. Интегрирование дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными и уравнений, приводящихся к ним. Общий интеграл.
- •41. Методы интегрирования линейного дифференциального уравнения первого порядка ( с примерами). Уравнение Бернулли.
- •1 Способ) метод вариации постоянной.
- •2Способ) ур-е Бернулли
- •42. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Структура общего решения линейного однородного дифееренциального уравнения. Фср. Определитель Вронского и его свойства.
- •45*. Построение фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами в случае кратных корней характеристическгог многочлена (действительных и комплексных).
- •46*. Нахождение частоного решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами методом неопределнных коэффициентов (метод подбора по виду правой части
33. Свойства определенных интегралов с примерами.
1. Условия существования определенного интеграла.
Если ф-я F(x) интегр. на [a,b], то она ограничена на том отрезке. Условие ограниченоостти необходимое, но недостаточное.
2.Классы интегрируемых ф-й:
1)если ф-я непрерывна на отрезке [a,b],то она интегрируема.
2) если огран. ф-я на [a,b] имеет лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема.
3)монотонная ограниченная ф-я всегда интегрируема.
Cв-ва:
1)если ф-я интегр. на [a,b], то она интегр. на [b,a].
, =0
2)если ф-я интегр. в наибольшем из [a,b] , [a,c] и [с,b], тогда
+
3) если ф-я интегр. на [a,b], то kf(x), где k=const, также интегр. на [a,b].
4) если обе ф-ии f(x) и g(x) интегр. на [a,b], то их алгебраическая сумм также ) интегр. на [a,b].
5) если ф-я интегр. на [a,b], f(x)≥0, a<b, то ≥0
6) если обе ф-ии f(x) и g(x) интегр. на [a,b], f(x) ≤ g(x) (f(x) <g(x)),
то ()
a<b
7) если ф-я интегр. на [a,b], a<b
≤
8) если ф-я интегр. на [a,b], a<b и на всем этом промежутке справедливо нер-во
m≤f(x)≤M, то m(b-a)≤ ≤M(b-a) (m≤ ≤M)
Теорема о среднем:
если ф-я f(x) непрерывна на [a,b], то на этом отрезке сущ. (∙) С такая,что =f(c)(b-a)
Величина опр.интеграла= Sприложения с высотой f(c) и основанием (b-a).
34*. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Основная формула интегрального исчисления (с примерами).
Пусть ф-я f(x) определена и неограниченна на отрезка [a,b] и a=x0<x1<…<xn= b – произвольное разбиение отрезка на n промежутков. На этом отрезке [xi-1,xi] выбрана точка εi. Тогда сумма называется интегральной суммой f(x) на отрезке [a,b], а ее предел при max 1≤i≤n ∆xi= max 1≤i≤n (xi- xi-1)→0, если он существует и конечен, называется определенным интегралом ф-ии от a до b.
Если ф-я f(x) интегрируема на [a,b], то она интегрируема на отрезке [a,x], где ∀x∈[a,b].
Ф(x)= – интеграл с переменным верхним пределом.
Cв-ва:
-
f(x) интегрируема на [a,b]→ Ф(x) непрерывна на этом отрезке
-
f(t) непрерывна в точке t=x→ в этой точке Ф(x) имеет производную= f(x)
Ф’(x)∃; Ф'(x) =f(x)
d/dx = f(x)
Производная интеграла непрерывной ф-ии по переменному верхнему lim существует и равна значению подинтегральной ф-ии в точке, равной верхнему lim. Всегда существует первообразная для непрерывной переменной ф-ии.
Пусть F(x)- другая первообразная для (x) интегрируема на [a,b].
Ф(x)= F(x)+C;
Пусть x=a → → C=-F(a)
Пусть a=b
– Формула Ньютона-Лейбница
35. Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле с демонстрацией на конкретных примерах.
Замена переменной при следующих условиях:
1)ф-я f(x) непрерывна на [a,b]
2)ф-я x=φ(t) непрерывна вместе со своей производной φ'(t) на отрезке [α,β]
3)a= φ(α), b= φ(β)
4)ф-я f(φ(t)) определена и непрерывна на отрезке [α,β], тогда
Если ф-ии u(x), v(x) –дифференцируемы на [a,b], то
36. Определение площадей и объемов тел вращения с помощью определенных интегралов (с примерами).
Криволинейная трапеция-плоская криволинейная фигура, ограниченная отрезком оси абцисс [a,b], кривой y=f(x), где f(x) непрерывна и неотрицательна на этом отрезке, и 2мя прямыми x=a,x=b. Если ф-я незнакопостоянна, то определнный интеграл численно равен алгоритму суммы S криволинейной трапеции, лежащей над и под осью ox. В эту сумму S крив. Трап., леж. Над осью входят со знаком +, а под ней- со знаком -.
Площадь S, ограниченная непрерывными кривыми y=f1(x), y=f2(x), вертикалями x=a, x=b, где f1(x)≤ f2(x) при a≤x≤:
S=
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x)≥0 и прямыми x=a, x=b (a<b), y=0:
=
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy криволинейной трапеции, ограниченной кривой x=g(y)≥0 и прямыми y=a, y=b (a<b), x=0: V =