- •26*. Условный экстремум функции нескольких переменных. Определение и методы вычисления на примерах.
- •27*. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Таблица основных интегралов.
- •28*. Свойства неопределенного интеграла с доказательством и простейшие правила интегрирования.
- •29. Метод замены переменных при интегрировании с демонстрацией на конкретных примерах.
- •30. Метод интегрирования по частям с демонстрацией на конкретных примерах.
- •31. Интегрирование рациональных дробей с демонстрацией на конкретных примерах.
- •32*. Сумма Римана и ее предел. Геометрический смысл суммы Римана. Определенный интеграл, его геометрический и экономический смысл.
- •33. Свойства определенных интегралов с примерами.
- •34*. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Основная формула интегрального исчисления (с примерами).
- •35. Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле с демонстрацией на конкретных примерах.
- •36. Определение площадей и объемов тел вращения с помощью определенных интегралов (с примерами).
- •37. Несобственные интегралы первого и второго рода.
- •38. Признаки сходимости для несобственных интегралов первого и второго родов.
- •39. Дифференциальное уравнение и его решение. Примеры. Формулировка теоремы о существовании и единственности решения дифференциального уоавнения первого порядка с геометрической интерпретацией.
- •40*. Интегрирование дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными и уравнений, приводящихся к ним. Общий интеграл.
- •41. Методы интегрирования линейного дифференциального уравнения первого порядка ( с примерами). Уравнение Бернулли.
- •1 Способ) метод вариации постоянной.
- •2Способ) ур-е Бернулли
- •42. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Структура общего решения линейного однородного дифееренциального уравнения. Фср. Определитель Вронского и его свойства.
- •45*. Построение фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами в случае кратных корней характеристическгог многочлена (действительных и комплексных).
- •46*. Нахождение частоного решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами методом неопределнных коэффициентов (метод подбора по виду правой части
37. Несобственные интегралы первого и второго рода.
1)
Пусть f(x) опред на [a;+∞) и интегрируема в любой конечной его части [a;R] так, что существует определенный интеграл
∃
Если при R→+∞ для этого интеграла существует определенный конечный предел, то его называют несобственным интегралом ф-ии f(x) в промежутке [a;+∞).
(1)- несобственный интеграл 1ого порядка
При интегрировании говорят, что интеграл существует, те сходится, если lim бесконечен или не существует, то про интеграл говорят, что он не существует или расходится
- при условии, что оба интеграла сходятся
2)
Несобственный интеграл от неограниченной ф-ии
f(x) опр. [a,b)
(∙)x=b-особ. (∙), если ф-я неограниченна в любой окрестности этой (∙), но ограничена на любом отрезке [a,b-𝜇], заключенном в [a,b).
Пусть на любом отрезке[a,b-𝜇] ф-я интегрируема, те существуетопределенный интеграл
∃, ∀𝜇>0, b-𝜇>a
Если для интеграла при 𝜇→0 существует конечный lim, то его называют интегралом 2ого порядка.
Если есть, то интеграл существует (сходится), если нет, то расходится.
38. Признаки сходимости для несобственных интегралов первого и второго родов.
1)признак сравнения несобственных инт.
a)f(x)g(x)- неопред. [a,+∞)
0≤ f(x)≤ g(x)
2)если f(x)g(x)—неотрицательные ф-ии и существует конечный предел их отношения при x→+∞,то несобственные интегралы сходятся и расходятся одновременно
3)частный признак сравнения.
Если x→+∞ неопр. ф-я f(x) является б.малой порядка 𝛾(𝛾>0), то сходится при 𝛾>1 и расходится при 𝛾≤1.
2.Если ф-я определена для всех x≥a и то сходится абсолютно. Если сходится условно, то
39. Дифференциальное уравнение и его решение. Примеры. Формулировка теоремы о существовании и единственности решения дифференциального уоавнения первого порядка с геометрической интерпретацией.
ДУ- ур-е, в котором неизвестная ф-я или вектор-ф-я входит под знаком производной или дифференциала.
1)Обыкновенные ДУ, в котором неизвестные являются ф-ей 1ой переменной
2)ДУ в частных производных, в которых неизвестные ф-ии являются ф-ями 2х и более переменных.
Порядок ДУ- порядок старшей входящей в ДУ неизвестной ф-ии.
Решением обыкновенного ДУ n-ого порядка , те ур-я вида
F(x, y(x),y’(x), y''(x),…, y(n)(x))=0
называется ф-я y=𝜑(x),которая при подстановке в ДУ обращает его в тождество.
График решения ДУ называется интегральной кривой.
Решение ДУ- интегрирование ДУ. Задача интегрирование- нахождение всех решении этого ур-я и изучении их св-в.
ДУ 1ого порядка- ур-е вида F(x, y, y’)=0, где x- независимая переменная, y- искомая ф-я, y'- ее производная.
Если его можно разрешить относительно y', то y'= dy/dx =f(x,y)- ур-е 1ого порядка, разрешенное относительно производной.
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.
Теорема Коши(Теорема о существованиии единственности решения ДУ 1ого порядка)
Если ф-я f(x,y) и ее частная приизводня f'y(x,y) определены и непрерывны в некоторой области G плоскости oxy, то какова бы не была внутренняя точка (x0, y0) области G, в некоторой окрестности этой точки существует единственное решение ур-я y'= f(x,y), удовлетворяющее условиям y=y0, x=x0
Геометрически теорема утверждает, что через каждую внутреннюю точку (y0, x0) области G проходит единственная интегральная кривая.