Смешанные числа

Для перевода смешанных чисел достаточно перевести отдельно целую и дробную части и объединить полученные результаты.

Пример 9. В таблице 2 показаны варианты переводов смешанных чисел.

Таблица 2. Переводы смешанных чисел

Число в десятичной системе счисления	Число в двоичной системе счисления	Число в троичной системе счисления	Число в восьмеричной системе счисления
202.37	11001010. 01011	21111.10022	312.27534

Обратный перевод

Обратный перевод для всех систем счисления осуществляется по формуле 1

Пример 8. Переводы чисел в десятичную систему счисления:

а) 11001010.01011₂ = 1*2⁷+1*2⁶+0*2⁵+0*2⁴+1*2³+0*2²+1*2¹+0*2⁰+0*2^-1+1*2^-2+0*2^-3+1*2^-4+1*2^-5 = 202.37₁₀

б) 21111.10022₃ = 2*3⁴+1*3³+1*3²+1*3¹+1*3⁰+1*3^-1+0*3^-2+0*3^-3+2*3^-4+

3*3^-5 = 202.37₁₀

в) 312.27534₈ = 3*8²+1*8¹+2*8⁰+2*8^-1+7*8^-2+5*8^-3+3*8^-4+4*8^-5 = 202.37₁₀

Смешанные системы счисления

Компьютер работает в двоичной системе счисления. Поэтому можно использовать достаточно простой способ записи десятичных чисел с помощью двоичных цифр. Этот способ называется двоично-десятичной системой счисления.

Здесь каждая десятичная цифра записывается в двоичной системе (см. таблицу 1). А чтобы запись была однозначной, для каждой двоичной цифры отводится одинаковое количество позиций, в нашем случае 4 позиции (эта четверка обычно называется тетрадой).

Например, так: 0 записывается 0000; 1 – 0001; 2 – 0010; и т.п. Тогда число 125.25₁₀ в десятично-двоичной системе счисления можно записать так: 0001 0010 0101. 0010 0101_2-10.

Для восьмерично - двоичной системы счисления каждой цифре будем отводить три позиции (триаду). Например, число 125.25₈=001 010 101. 010 101_2-8.

Для шестнадцатирично - двоичной системы счисления также используются тетрады. Например, число 195₁₆=0001 1001 0101_2-16.

Существует интересная теорема о связи смешанных и несмешанных позиционных систем счисления.

Теорема: Если Р=Qⁿ (P, Q, n – целые положительные числа), то запись любого числа в смешанной P-Q –й системе счисления тождественно совпадает с записью этого же числа в системе счисления с основанием Q (с точностью до нулей в начале записи целой части и в конце записи дробной части).

Попробуйте доказать эту теорему!

Из этой теоремы следует, что для P=8, Q=2, n=3 – то есть, для восьмерично - двоичной системы счисления с использованием триад записи совпадают; P=16, Q=2, n=4 – то есть, для шестнадцатирично - двоичной системы счисления с использованием триад записи совпадают; а для P=10, Q=2 = n – любое, записи не совпадают!. Проверьте сами!

Арифметика позиционных систем счисления

Для выполнения простейших арифметических операций в различных позиционных системах счисления используются те же правила, что и в десятичной системе счисления (см. следующие примеры).

125.37₁₀ 125.37₈ 101.111₂ А6С5.12₁₆

+ 78.65₁₀ + 75.65₈ + 11.010₂ + 789.АС₁₆

204.12₁₀ 223.24₈ 1001.001₂ АЕ4Е.ВЕ₁₆

125.37₁₀ 125.37₈ 101.111₂ А6С5.12₁₆

- 78.65₁₀ - 75.65₈ - 11.010₂ - 789.АС₁₆

46.72₁₀ 27.52₈ 10.101₂ 9Е3В.66₁₆