- •Министерство образования российской федерации
- •Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права
- •И.Н. Мастяева о.Н. Семенихина
- •Численные методы
- •Учебное пособие
- •Москва 2004
- •Содержание:
- •1. Погрешность результата численного решения задачи
- •1.1. Источники и классификация погрешностей.
- •1.2. Точные и приближенные числа. Правила округления чисел
- •1.3. Математические характеристики точности приближенных чисел
- •1.4. Число верных знаков приближенного числа. Связь абсолютной и относительной погрешности с числом верных знаков. Правила подсчета числа верных знаков
- •5423,47 6 Значащих цифр,
- •0,0000605 3 Значащие цифры,
- •0,060500 5 Значащих цифр.
- •1.5. Общая формула теории погрешностей (погрешность вычисления значения функции)
- •1.6. Погрешность арифметических действий
- •1.7. Обратная задача теории погрешностей
- •2. Численные методы решения нелинейных уравнений
- •2.1. Отделение корней
- •2.2. Метод половинного деления
- •2.3. Метод хорд (секущих)
- •2.4. Метод касательных (метод Ньютона)
- •2.5. Метод итераций
- •3. Численные методы линейной алгебры
- •3.1. Метод Гаусса
- •З.2. Метод прогонки
- •3.3. Норма вектора и норма матрицы
- •3.4. Метод простой итерации
- •3.5. Частичная проблема собственных значений
- •Интерполирование.
- •4.1. Интерполяционный полином, его существование и единственность. Остаточный член.
- •4.2. Интерполяционный полином Лагранжа.
- •4.3. Разделенные разности и их свойства.
- •4.4. Интерполяционный полином Ньютона с разделенными разностями
- •4.5. Конечные разности и их свойства
- •4.6. Интерполяционные формулы Ньютона
- •4.7. Интерполяционные полиномы с центральными разностями
- •4.8.Обратное интерполирование
- •4.9. Численное дифференцирование
- •5. Интерполирование с кратными узлами и сплайны
- •5.1. Разделенные разности с повторяющимися (кратными) узлами
- •5.2. Интерполяционный полином Эрмита
- •5.3. Интерполирование сплайнами
- •6. Численное интегрирование
- •6.1. Формула прямоугольников
- •6.2. Формула трапеций
- •6.3. Формула Симпсона
- •6.4. Правило Рунге практической оценки погрешности квадратурных формул. Уточнение приближенного значения интеграла по Ричардсону
- •7. Численные методы решения дифференциальных уравнений
- •7.1. Метод Рунге-Кутта
- •7.2. Разностный метод решения краевой задачи
- •Список литературы
5.1. Разделенные разности с повторяющимися (кратными) узлами
Зададимся последовательностью совокупностей точек
удовлетворяющих условию: все точки – различны. В частности, можно положить
,
где – малая величина. Построим по всем этим точкам разделенную разность порядка . Определим
(5.3)
Рассмотрим сначала случай, когда под знаком разделенной разности левой части (5.3) повторяется только один узел xi и разделенная разность порядка ki-1 вычисляется только по этому повторяющемуся узлу. Согласно определению (5.3)
По формуле связи (4.13) между разделенной разностью и производной имеем
(5.4)
где – точка, принадлежащая наименьшему отрезку, содержащему все точки . Перейдя в равенстве (5.4) к пределу при , получим
(5.5)
Итак, если при производная непрерывна, то существуют разделенные разности
Но это обеспечивает также существование разделенной разности с кратными узлами левой части (5.3), т.к. все остальные разделенные разности, необходимые для ее вычисления, находятся путем последовательного применения рекуррентных формул
и их обобщений. Чтобы не проводить громоздкого вывода для общего случая формулы (5.3), рассмотрим иллюстративную таблицу. Приведенные в этой таблице вычисления переносятся на общий случай без всяких принципиальных затруднений.
Требуется найти , если заданы .
№ строк |
1 xi |
2 f(xi) |
3 f[xi, xj] |
4 Разности II порядка |
5 III пор. |
6 IV пор |
7 V пор |
8 VI пор |
0 |
x0 |
f(x0) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x0 |
f(x0) |
|
f[x0; x0, x1] |
|
|
|
|
3 |
|
|
f[x0, x1] |
|
f[x0, x0; x1, x1] |
|
|
|
4 |
x1 |
f(x1) |
|
f[x0; x1, x1] |
|
f[x0, x0; x1, x1;x2] |
|
|
5 |
|
|
f’(x1) |
|
f[x0, x1; x1; x2] |
|
f[x0, x0; x1; x1;x2,x2] |
|
6 |
x1 |
f(x1) |
|
f[x1, x1; x2] |
|
f[x0; x1, x1; x2;x2] |
|
f[x0, x0; x1; x1;x2,x2,x2] |
7 |
|
|
f[x1, x2] |
|
f[x1, x1; x2, x2] |
|
f[x0; x1, x1; x2,x2,x2] |
|
8 |
x2 |
f(x2) |
|
f[x1; x2, x2] |
|
f[x1, x1; x2, x2,x2] |
|
|
9 |
|
|
f’(x2) |
|
f[x1; x2; x2, x2] |
|
|
|
10 |
x2 |
f(x2) |
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
f’(x2) |
|
|
|
|
|
12 |
x2 |
f(x2) |
|
|
|
|
|
|
Левый столбец таблицы – для нумерации строк, верхняя строка – для нумерации столбцов. В первом столбце в строках с четным номером приведены аргументы искомой разделенной разности. Во втором столбце в тех строках, что и аргументы, помещены соответствующие значения функции. Третий столбец предназначен для разделенных разностей первого порядка. Они размещаются в строках с нечетными номерами между строк, в которых находятся соответствующие узлы (аргументы) и значения функции. Если узлы повторяются, как это имеет место для строк 1, 5, 9, 11, то сюда помещают значение первой производной. В строках 3, 7 помещены обычные разделенные разности первого порядка. Столбец 4 предназначен для разделенных разностей второго порядка. За исключением последней из них (строка 10), где
,
они находятся обычным способом по рекуррентной формуле. Так,
.
Аналогично и для остальных разностей. В пятом, шестом, седьмом и восьмом столбцах находятся, соответственно, разделенные разности третьего, четвертого, пятого и шестого порядков. Они вычисляются по обычным рекуррентным формулам. Например,
.