- •Министерство образования российской федерации
- •Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права
- •И.Н. Мастяева о.Н. Семенихина
- •Численные методы
- •Учебное пособие
- •Москва 2004
- •Содержание:
- •1. Погрешность результата численного решения задачи
- •1.1. Источники и классификация погрешностей.
- •1.2. Точные и приближенные числа. Правила округления чисел
- •1.3. Математические характеристики точности приближенных чисел
- •1.4. Число верных знаков приближенного числа. Связь абсолютной и относительной погрешности с числом верных знаков. Правила подсчета числа верных знаков
- •5423,47 6 Значащих цифр,
- •0,0000605 3 Значащие цифры,
- •0,060500 5 Значащих цифр.
- •1.5. Общая формула теории погрешностей (погрешность вычисления значения функции)
- •1.6. Погрешность арифметических действий
- •1.7. Обратная задача теории погрешностей
- •2. Численные методы решения нелинейных уравнений
- •2.1. Отделение корней
- •2.2. Метод половинного деления
- •2.3. Метод хорд (секущих)
- •2.4. Метод касательных (метод Ньютона)
- •2.5. Метод итераций
- •3. Численные методы линейной алгебры
- •3.1. Метод Гаусса
- •З.2. Метод прогонки
- •3.3. Норма вектора и норма матрицы
- •3.4. Метод простой итерации
- •3.5. Частичная проблема собственных значений
- •Интерполирование.
- •4.1. Интерполяционный полином, его существование и единственность. Остаточный член.
- •4.2. Интерполяционный полином Лагранжа.
- •4.3. Разделенные разности и их свойства.
- •4.4. Интерполяционный полином Ньютона с разделенными разностями
- •4.5. Конечные разности и их свойства
- •4.6. Интерполяционные формулы Ньютона
- •4.7. Интерполяционные полиномы с центральными разностями
- •4.8.Обратное интерполирование
- •4.9. Численное дифференцирование
- •5. Интерполирование с кратными узлами и сплайны
- •5.1. Разделенные разности с повторяющимися (кратными) узлами
- •5.2. Интерполяционный полином Эрмита
- •5.3. Интерполирование сплайнами
- •6. Численное интегрирование
- •6.1. Формула прямоугольников
- •6.2. Формула трапеций
- •6.3. Формула Симпсона
- •6.4. Правило Рунге практической оценки погрешности квадратурных формул. Уточнение приближенного значения интеграла по Ричардсону
- •7. Численные методы решения дифференциальных уравнений
- •7.1. Метод Рунге-Кутта
- •7.2. Разностный метод решения краевой задачи
- •Список литературы
6.2. Формула трапеций
Предположим, что . Разделим отрезок [a, b] на N равных частей, тогда
, (6.16)
где .
Заменим функцию f(x) на каждом из отрезков первой интерполяционной формулой Ньютона первой степени
(6.17)
Подставляя формулу (6.17) в правую часть (6.16), интегрируя и используя теорему о среднем значении интеграла, получим
(6.18)
В силу (6.10) получаем
(6.19)
Приближенное равенство
(6.20)
называется формулой трапеций. Величина
(6.21)
является остаточным членом формулы трапеций. Оценка остаточной погрешности формулы трапеций может быть записана в виде
. (6.22)
Формула трапеций, как и формула прямоугольников, является точной для любой линейной функции. Вычислительная погрешность формулы трапеций также равна
. (6.23)
Так как остаточные члены формул прямоугольников и трапеций (6.13) и (6.21) имеют противоположные знаки, формулы (6.12) и (6.20) дают двустороннее приближение для интеграла (6.1), т.е.
В таком случае можно принять, что
, (6.24)
тогда
, (6.25)
т.е. погрешность выражается через приближенные значения интегралов.
6.3. Формула Симпсона
Предположим, что . Разделим отрезок [a, b] на четное число равных частей N=2k, тогда
, (6.26)
где .
Заменим функцию f(x) на каждом отрезке длиной 2h интерполяционным полиномом Лагранжа второй степени и положим
. (6.27)
Возьмем интеграл в правой части (6.27). Получим:
(6.28)
Подставив (6.28) в (6.26), получим квадратурную формулу Симпсона
.
Остаточный член интерполяционного полинома Лагранжа второй степени, построенного на каждом отрезке , равный
,
обращается в нуль, если f(x) – полином второй степени. Следовательно, формула Симпсона является точной для полинома второй степени.
Докажем, что формула Симпсона является точной и для полинома третьей степени. Действительно, для f(x)=x3 имеем по формуле Симпсона
что равно точному значению этого интеграла, полученному по формуле Ньютона-Лейбница
.
Таким образом, формула Симпсона является точной для полинома второй степени и для функции f(x)=x3, а значит, и для произвольного полинома третьей степени.
Получим остаточный член формулы Симпсона. Для этого представим подынтегральную функцию f(x) на каждом отрезке интерполяционным полиномом Эрмита третьей степени с двукратным узлом :
(6.29)
Заменим первую сумму правой части (6.29) формулой Симпсона, которая дает точное значение каждого интеграла .
Вторую сумму преобразуем, интегрируя с помощью теоремы о среднем для определенного интеграла и применяя затем теорему о среднем значении непрерывной функции. Получим
Величина
является остаточным членом формулы Симпсона.
6.4. Правило Рунге практической оценки погрешности квадратурных формул. Уточнение приближенного значения интеграла по Ричардсону
Пусть функция и интеграл (6.1) вычисляется по формуле прямоугольников. Получим следующее соотношение:
, (6.30)
где с – постоянная, не зависящая от h.
Введем вспомогательную функцию
.
Очевидно, что
(6.31)
Разложим функцию F(x) в ряд Тейлора в окрестности точки .
(6.32)
С помощью (6.31) и (6.32) имеем
Вычитая из верхнего равенства нижнее, получим
(6.33)
откуда
(6.34)
На основании (6.11)
,
откуда
(6.35)
Подставим (6.35) в (6.34):
где не зависит от h. Соотношение (6.30) получено. Величина ch2 называется главной частью погрешности формулы прямоугольников.
Если , то справедливо аналогичное соотношение и для формулы трапеций
, (6.36)
где
не зависит от h.
При условии можно получить аналогичное соотношение для формулы Симпсона
, (6.37)
где – не зависящая от h постоянная.
Обозначим через Jh приближенное значение интеграла (6.1), найденное по одной из трех формул: прямоугольников, трапеций, Симпсона, и объединим соотношения (6.30), (6.36), (6.37) в одно
, (6.38)
где с не зависит от h, k = 2 для формул прямоугольников и трапеций, k = 4 для формулы Симпсона. Предполагается, что . Запишем соотношение (6.38) для h1 = 2h:
, (6.39)
вычтем из (6.39) (6.38) и получим
следовательно, с точностью до имеем
. (6.40)
Вычисление приближенной оценки погрешности квадратурной формулы по формуле (6.40) называется правилом Рунге.
Вычитая из умноженного на 2k равенства (6.38) равенство (6.39), получим
, (6.41)
откуда
. (6.42)
Число называется уточненным по Ричардсону приближенным значением интеграла J.
Согласно (6.42)
.
Таким образом, с помощью приближенных значений интегралов Jh, J2h, найденных по соответствующим квадратурным формулам с шагом h и 2h, можно, во-первых, оценить погрешность более точного значения интеграла Jh по правилу Рунге и, во-вторых, вычислить уточненное по Ричардсону приближенное значение интеграла , имеющее погрешность более высокого порядка относительно h, чем Jh.