2.1.3 Метод Ньютона (метод касательных)

Пусть корень уравнения f (х) = 0 отделен на отрезке [а; b], при­чем f '(х) и f" (х) непрерывны и сохраняют постоянные знаки на всем отрезке [а; b]. Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что дуга кривой у = f (х) заменяется касательной к этой кривой.

Первый случай. Пусть f (а) < 0, f (b) > 0, f ' (х) > 0, f" (х) > 0 (см. рис. 4 (а)) или f (а) > 0, f (b) < 0,

f ' (х) < 0, f" (х) <0 (рис. 4 (б)). Проведем касательную к кривой у = f (х) в точке В₀ (b; f (b)) и найдем абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох. Известно, что уравнение касательной в точке В₀ (b; f (b)) имеет вид

Рис. 4

Полагая у=0, х=х₀ , получим

(10)

Теперь корень уравнения находится на отрезке [а; х₁]. Применяя сно­ва метод Ньютона, проведем касательную к кривой в точке В₁ (х₁; f (х₁)) и получим

,

и вообще

(11)

147

Получаем последовательность приближенных значений х₁, х₂,,…., х_п,,.., каждый последующий член которой ближе к корню, чем предыдущий. Однако все х_п остаются больше истинного корня , т.е. х_п—прибли­женное значение корня с избытком.

Второй случай. Пусть f (а) < 0, f (b) > 0, f ' (х) > 0, f" (х) < 0 (рис. 5(а)) или f (а) > 0, f (b) < 0,

f ' (х) < 0, f" (х) >0 (рис. 5(б)). Если снова провести касательную к кривой у = f (х) в точке В, то она пересечет ось абсцисс в точке, не принадлежащей отрезку [а; b]. Поэтому проведем касательную в точке А₀ (а; f (а)) и запишем ее уравнение для данного случая:

Рис. 5

Полагая у=0, х=х₁, находим

(12)

Корень находится теперь на отрезке [х₁ ; b]. Применяя снова метод Ныотона, проведем касательную в точке

А₁ (х₁ ; f (х₁) и получим

и вообще (13)

Получаем последовательность приближенных значений х₁, х₂,,…., х_п,,.., каждый последующий член которой ближе к истинному корню , чем предыдущий, т. е. х_п — приближенное значение корня с недостат­ком.

Сравнивая эти формулы с ранее выведенными, замечаем, что они отличаются друг от друга только выбором начального приближения: в первом случае за х₀ принимался конец b отрезка, во втором — ко­нец а.

При выборе начального приближения корня необходимо руковод­ствоваться следующим правилом: за исходную точку следует вы­бирать тот конец отрезка [а;b], в котором знак функции совпадает со знаком второй производной. В первом случае f (b) f " (х) > 0 и началь­ная, точка b= х₀, во втором f (а) f "(х) > 0 и в качестве начального приближения берем а = х₀.

148

Рис. 6

Для оценки погрешности можно пользоваться общей формулой

(14)

где (15)

В том случае, когда отрезок [а, b] настолько мал, что на нем выполняется условиеМ₂ < 2 т₁, где , а , точность приближения на п-м шаге оценивается следующим образом: если | х_п — х_п+1 |< то | — х_п | < ².

Если производная f '(х) мало из­меняется на отрезке [а;b], то для упрощения вычислений можно поль­зоваться формулой , (16)

т. е. значение производной в на­чальной точке достаточно вычис­лить только один раз. Геометриче­ски это означает, что касательные в точках В_п (х_п; f (х_п)) заменяются прямыми, параллельными каса­тельной, проведенной к кривой у= f (х) в точке В₀ (х₀; f (х₀)) (см. рис. 6)

Пример 1. Методом касательных уточ­нить до = 0,001 корень уравнения , расположенный на отрез­ке [ - 2,75; - 2,5].

Решение: Находим f ' (х) = 3х² + 6х, f" (х) = 6х + 6. На отрезке [ - 2,75; - 2,5] имеют место неравенства f(- 2,75)<0, f(- 2,75) f" (х) > 0. Поэтому, чтобы воспользоваться методом касательных, следует выбрать х₀ =- 2,75. Вычисления будем вести по формуле (16). Находим

f" (-2,75)= 6,1875. Для удобства все вычисления сведем в следующую таблицу:

n	xn			3
0	-2,75	-20,797	7,5625	22,6875	-1,111	0,179
1	-2,571	-16,994	6,6100	19,8300	-0,164	0,026

149

2	-2,545	-16,484	6,4770	19,431	-0,053	0,008
3	-2,537	-16,329	6,43646	19,309	0,020	0,003
4	-2,534	-16,271	6,4212	19,2636	0,007	0,001
5	-2,533

Из таблицы видно, что | х₅ — х₄ |< 0,001, поэтому корень = - 2,533.