Цель работы

Определить момент инерции маятника, применяя уравнение колебаний, и исследовать зависимость момента инерции от расстояния до условно выбранной точки А.

Описание установки

Установка представляет собой физический маятник, т.е. твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс.

Физический маятник в данной работе состоит из барабана массой m₁ с осью вращения О, стержня массой m₂ и двух грузов с одинаковыми массами m₃, которые можно закрепить в нужном положении на стержне (см. рис.).

Расчет момента инерции маятника

Пока сила тяжести Р, приложенная в центре масс С, направлена вдоль оси стержня (рис. «а»), система находится в равновесии. Если отклонить стержень на некоторый малый угол  (рис. «б»), то центр масс С поднимается на небольшую высоту и тело приобретает запас потенциальной энергии. На маятник относительно оси О, направление которой выбираем «к нам», будет при этом действовать момент силы тяжести, проекция которого на эту ось равна

, (1)

где ; L – расстояние между осью вращения О и центром масс С.

Вращающий момент М, создаваемый силой Р, при малых углах  равен

.

Он вызывает ускорение при вращательном движении маятника. Связь между этим ускорением и моментом сил дается основным уравнением динамики вращательного движения

, (2)

где J – момент инерции маятника относительно оси О.

Обозначим

. (3)

Тогда из уравнения (2) получим

. (4)

Уравнение (4) описывает колебательный процесс с циклической частотой .

Период колебаний, следовательно, равен

. (5)

Из формулы (5) выразим момент инерции

. (6)

Если положение центра масс системы не изменяется, то величина L постоянна и в формулу (6) можно ввести постоянный коэффициент

(7)

Измеряя время t, в течение которого происходит n полных колебаний, найдем период . Подставляя T и K в (6), получим рабочую формулу

. (8)

С помощью формулы (8) производятся косвенные измерения момента инерции физического маятника относительно оси О.

С другой стороны, момент инерции J зависит от положения грузов m₃ на стержне. Будем перемещать грузы m₃ по стержню так, чтобы они располагались симметрично относительно некоторой точки А. Эта точка выбрана произвольно вблизи середины стержня. Центр масс системы при этом сохраняет свое местоположение. Считая грузы m₃ материальными точками, момент инерции системы можно выразить так

, (9)

где - момент инерции системы без грузов; x – расстояние груза m₃ до точки А; l – расстояние точки А до оси вращения маятника О.

Преобразуя формулу (9), получим

, (10)

где - момент инерции маятника при положении грузов m₃ в точке А.

Зависимость (10) будем проверять, получая величины J и J_A экспериментально с помощью формулы (8).

Задание к работе

1. При подготовке к лабораторной работе получите расчетную формулу для погрешности косвенных измерений _J момента инерции (см. «Введение»). Учтите, что момент инерции определяется с помощью рабочей формулы (8). Для упрощения вычислений можно считать, что коэффициент K в этой формуле измерен точно: _K = 0.

2. Подготовьте эскиз таблицы1 для статистической обработки пятикратных прямых измерений времени t (см. «Введение»).

3. Подготовьте эскиз таблицы2 для исследования зависимости J от x².

4. Приступая к работе, поместите оба груза а точке А (ее положение отмечено на стержне маятника). Проведите пятикратные измерения времени t десяти полных колебаний физического маятника.

5. Рассчитайте среднее время и определите доверительную погрешность измерения _t.

6. Используя рабочую формулу (8) определите значение момента инерции J_A, а по формуле, полученной в п.1 этого задания, определите погрешность измерения этой величины _J. Результат запишите в виде . Результат занесите в таблицу2 для .

7. Раздвиньте грузы m₃ симметрично относительно точки А на расстояние x (см. рис.). Проведите однократные измерения времени t десяти полных колебаний физического маятника.

8. Повторите опыт п.7 при пяти различных расстояниях x.

9. Определите момент инерции маятника с помощью формулы (8) при различных расстояниях x. Результаты занесите в таблицу2.

10. Постройте график зависимости момента инерции маятника от x², пользуясь таблицей 2. Нанесите на этот же график ожидаемую зависимость (10). Проведите сравнение и анализ полученных результатов.