- •Содержание
- •1. Типы оду первого порядка, разрешенных относительно производной 4
- •2. Типы оду первого порядка, не разрешенных относительно производной 50
- •Введение
- •1. Типы оду первого порядка, разрешенных относительно производной
- •1.1. Основные понятия и определения
- •1.2. Оду, не содержащие искомой функции, и оду, не содержащие независимой переменной
- •1.3. Уравнения с разделяющимися переменными
- •Задачи для самостоятельной работы
- •1.4. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными
- •Задачи для самостоятельной работы
- •1.5. Линейные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним
- •Задачи для самостоятельной работы
- •1.6. Уравнения в полных дифференциалах
- •Задачи для самостоятельной работы
- •2. Типы оду первого порядка, не разрешенных относительно производной
- •2.1. Основные понятия и определения
- •2.2. Построение общего интеграла уравнения n-ой степени
- •2.3. Уравнения, квадратные относительно
- •2.4. Неполные уравнения
- •2.5. Уравнение Лагранжа
- •2.6. Уравнение Клеро
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Ответы на задачи самостоятельной работы
- •Контрольные задания
- •Список использованных источников
1.2. Оду, не содержащие искомой функции, и оду, не содержащие независимой переменной
Рассмотрим уравнение
. (1.17)
Общее решение этого уравнения, если функция f(x) определена и непрерывна в некотором интервале (a,b), может быть представлено в виде
, (1.18)
и вся область изменения х и у (ахb, у+) заполнена непересекающимися интегральными кривыми (1.18) уравнения (1.17), причем каждая из них представляет собой график частного решения уравнения (1.17).
Из уравнения (1.18) следует, что все интегральные кривые, входящие в общее решение уравнения (1.17), получаются из какой-либо одной путем ее сдвига вдоль оси Оу.
Если поставлена задача Коши, а именно найти решение уравнения (1.17) удовлетворяющее начальным условиям , то такое решение будет иметь вид
. (1.19)
Пример 4. Найти общее решение уравнения
,
и выделить решение, удовлетворяющее начальному условию у=1 при х=0.
▲Очевидно, что правая часть исходного уравнения непрерывна при всех х. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид
.
Это уравнение есть уравнение семейства парабол, которые получаются при сдвиге одной из них параллельно оси Оу. Для того, чтобы решить задачу Коши необходимо в полученное решение подставить начальное условие и определить значение произвольной постоянной С: 1=0+С, откуда С = 1. Следовательно, решение задачи Коши будет иметь вид . Таким образом, через точку (0,1) проходит только одна интегральная кривая, определяемая уравнением .▲
Рассмотрим теперь уравнение, не содержащее независимой переменной
. (1.20)
Перевернутым для этого уравнения будет уравнение
. (1.21)
Общее решение этого уравнения будет иметь вид
. (1.22)
Пример 5. Найти решение задачи Коши для уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию y(0) =0.
▲Правая часть исходного уравнения непрерывна при всех значениях у и не обращается в нуль, поэтому потери решений быть не может.
Интегрируя исходное уравнение, получим общий интеграл
,
а общее решение будет иметь вид
. (1.23)
Следовательно, для того, чтобы определить решение, удовлетворяющее начальному условию у(0)=0, необходимо определить значение произвольной постоянной С. Подставляя в (1.23) х=0 и у=0 определим, что С=0. Следовательно, решение задачи Коши будет иметь вид:
.▲
1.3. Уравнения с разделяющимися переменными
Если в уравнении (1.3) коэффициент M является функцией, зависящей только от x, а коэффициент N является функцией, зависящей только от y, то это уравнение приводится к виду
M(x)dx + N(y)dy = 0 , (1.24)
которое называется ОДУ с разделенными переменными. Решение этого уравнения представляется в виде
. (1.25)
К виду (1.24) можно привести и уравнение (1.3), если каждую из функций M(x,y) и N(x,y) при помощи алгебраических преобразований можно представить в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:
M(x,y) = f1(x)·2 (y) и N(x,y)= 1(y)·f2(x)
Исходя из этого, уравнение (1.3) можно записать в виде
f1(x)2(y)dx + 1 (y) f2(x)dy = 0. (1.26)
Полагая, что f2(x) 0 и 2(y) 0, тогда можно обе части (1.26) умножить на множитель равный. В результате чего уравнение (1.26) примет вид
. (1.27)
Полученное ОДУ (1.27), также как и уравнение (1.24) будет называться ОДУ с разделенными переменными, а уравнение вида (1.26) будет называться ОДУ с разделяющимися переменными.
Замечание 1. При переходе от уравнения (1.26) к уравнению (1.27) предполагалось, что f2(x) 0 и 2(y) 0. Однако, для того, чтобы получить полное решение исходного уравнения необходимо также решить и уравнения 2(y) = 0 и f2(x) = 0. Решения этих уравнений могут является решениями уравнения (1.26), что проверяется непосредственной подстановкой.
Пример 6. Решить ОДУ:
.
▲При y1 и x1 разделяем переменные:
,
интегрируя обе части этого уравнения
,
получаем
. (С10)
Потенцируя это равенство и, используя свойство модуля, получим
.
Учитывая, что С1 может принимать любые не равные нулю значения, окончательно получаем уравнение семейства интегральных кривых
, С 0.
При разделении переменных могли быть потеряны решения вида
y =1 и х =1.
Непосредственной подстановкой убеждаемся, что это частные решения, которые входят в полученную совокупность семейства интегральных кривых как при С = 0, так и при С = , т.к. уравнение можно привести к виду .▲