6.1. Иллюстрация свойства линейности.

% Свойство линейности

alpha = 0.5;

beta = 0.25;

y = alpha*g+beta*h;

[Y,w] = freqz(y,1,512);

% Графики Y и alpha*G+beta*H для проверки их равенства

figure(2), subplot(211),plot(abs(Y))

subplot(212), plot(abs(alpha*G+beta*H))

Рис.7. Иллюстрация свойства линейности преобразования Фурье.

Графики, представленные на рис. 7., показывают, что спектр суммы равен сумме спектров исходных сигналов.

Свойство выполняется благодаря линейности интегральных вычислений, доказательство [2]:

Это свойство позволяет раскладывать сложные сигналы на их составляющие, а это удобно когда составляющие являются собственными функциями (например, гармонические колебания).

6.2. Иллюстрация свойства временного сдвига.

% Свойство временного сдвига

n0 = 12; % y2 - последовательность y, сдвинутая на 12 отсчетов

y2 = [zeros([1,n0]) g];

[Y2,w] = freqz(y2,1,512);

G0 = exp(-j*w*n0).*G;

% Графики амплитудных спектров

figure(3), subplot(211), plot(abs(G0))

subplot(212), plot(abs(Y2));

Рис.8. Иллюстрация свойства временного сдвига преобразования Фурье.

На рис 8. видим, что графики амплитудных спектров сигналов совпадают.

Свойство временного сдвига заключается в том, что при осуществлении сдвига амплитудный спектр сигнала не меняется, добавляется только фазовый сдвиг (-2πft₀).

Доказательство:

6.3. Иллюстрация свойства изменения масштаба.

Если , то для любого действительного a .

Докажем данное свойство.

Пусть и , тогда

Аналогично для получаем:

Следовательно, .

% Свойство изменения масштаба

a=0.1;% Коэффициент изменения масштаба

g1= exp(gamma*k*a);

figure(4),plot(k,g,k,g1) % Графики во временной области

[G,w] = freqz(g,1,512);

G1 = freqz(g1,1,512);

% Графики спектров

figure(5), subplot(211), plot(w',abs(G))

subplot(212), plot(w,abs(G1))

Рис.9. Графики сигналов s(t) и s(at) во временной области.

Рис.10. Графики амплитудных спектров сигналов s(t) и s(at) в частотной области.

Видим, что для a = 0.1 s(at) представляет собой функцию s(t), растянутую во времени в 10 раз. При этом амплитудный спектр сужается в 10 раз по оси частот.

Таким образом, чем шире сигнал по оси времени, тем уже его амплитудный спектр и наоборот.

При данном изменении масштаба скорость убывания экспоненциальной зависимости уменьшилась; амплитудный спектр сигнала стал выше, но его спад до нуля стал более резким.

7.4. Иллюстрация свойства свертки.

Если , , то .

Докажем данное свойство.

Запишем преобразование Фурье свёртки

Пусть , тогда

Следовательно,

Таким образом, получили, что .

% Свойство свертки

y5 = conv(g,h);

[Y5,w] = freqz(y5,1,512);

figure(6), subplot(211), plot(abs(Y5))

subplot(212), plot(abs(G.*H))

Рис.11. Иллюстрация свойства свертки преобразования Фурье.

На рис. 11 видим, что график амплитудного спектра свёртки сигналов совпадает с графиком произведения преобразований Фурье этих же сигналов, значит, свойство свёртки выполняется.