Построение модели

Определение. Математическая модель – это некоторый математический образ исследуемой экономической системы, который адекватно отражает структуру переменных системы, их свойства и взаимосвязи.

Этапы моделирования

1. Постановка экономической проблемы.

2. Построение содержательной (вербальной) модели рассматриваемого объекта (процесса). На данном этапе происходит формализация цели управления объектом, выделение возможных управляющих воздействий, влияющих на достижение сформулированной цели, а также описание системы ограничений на управляющие воздействия.

3. Построение математической модели, т. е. перевод сконструированной вербальной модели в ту форму, в которой для ее изучения может быть использован математический аппарат.

Параметры (фиксированные значения):

• количество потребителей;

• количество изготовителей;

• количество оптовых баз;

• мощности потребителей (заказываемые объемы продукции);

• мощности изготовителей (объемы производимой продукции);

• мощности оптовых баз (допустимое количество одновременно хранящейся продукции);

• цены перевозок от изготовителей на оптовые базы;

• цены перевозок от изготовителей потребителям;

• цены перевозок из оптовых баз потребителям.

Экзогенные (независимые) переменные: количество перевозимой продукции по каждому из маршрутов. В нашей задаче, единственные переменные на которые мы можем влиять – это количество продукции, перевозимой по заданным маршрутам перевозок. Меняя количество продукции, перевозимой по заданным маршрутам, мы можем оптимизировать наши затраты на перевозку.

Итак, пусть х_ij – количество продукции, перевозимой от i-го изготовителя j-му потребителю, где i=1,…,4, j=1,…,5.

Эндогенные (зависимые, рассчитываемые) переменные: суммарные затраты на перевозку F(x).

Первой рассмотрим модель перевозок ИЗГОТОВИТЕЛЬ – ПОТРЕБИТЕЛЬ.

	Потреби- тель А	Потреби- тель Б	Потреби- тель В	Потреби- тель Г	Потреби- тель Д	Произве- дено
Изготовитель 1	10	2	1	10	20	510
Изготовитель 2	24	18	20	14	26	400
Изготовитель 3	32	54	16	28	10	460
Изготовитель 4	16	30	55	45	46	790
Спрос на товар потребителями	600	550	420	780	400

Общая сумма затрат на перевозки:

F(x)=10*X₁₁+2*X₁₂+X₁₃+10*X₁₄+20*X₁₅+24*X₂₁+18*X₂₂+20*X₂₃+

+14*X₂₄+26*X₂₅+32*X₃₁+54*X₃₂+16*X₃₃+28*X₃₄+10*X₃₅+16*X₄₁+ (1)

+30*X₄₂+55*X₄₃+ 45*X₄₄+46*X₄₅ → min

Ограничения:

X₁₁+X₁₂+X₁₃+X₁₄+X₁₅=510

X₂₁+X₂₂+X₂₃+X₂₄+X₂₅=400

X₃₁+X₃₂+X₃₃+X₃₄+X₃₅=460

X₄₁+X₄₂+X₄₃+X₄₄+X₄₅=790

X₁₁+X₂₁+X₃₁+X₄₁=600 (2)

X₁₂+X₂₂+X₃₂+X₄₂=550

X₁₃+X₂₃+X₃₃+X₄₃=420

X₁₄+X₂₄+X₃₄+X₄₄=780

X₁₅+X₂₅+X₃₅+X₄₅=400

Х_ij>=0 для любого i, j (3)

1. Математический анализ модели, выбор метода решения

Общая задача линейного программирования имеет вид:

Дана система m линейных уравнений и неравенств с n переменными

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + ………..a_1n x_n <= b ₁

a₃₁ x₁ + a₂₂ x₂ + a_2n x_n <= b ₂

a_k1 x₁ + a_{k 2}x₂ + ……….a_kn x_n <= b _k (4)

a_{k +1,1} x₁ + a_k1,2x₂ +………….+ a_k+1,_n x_n = b_k+1

a_{k +2,1} x₁ + a_k2,2x₂ +………….+ a_k+2,_n x_n = b_k+2

_{…………………………………………}

a_m1x1+a_m2x_{2+………………+.} a_mnxn+x_n=b_n

и линейная функция

F = c₁x₁₊ c₂x₂₊ …..+c_nx_n (5)

Необходимо найти такое решение системы X = (x₁, х₂,…., х_j, ….. x_n), где

х_j >= 0 ( j = 1,2, …, l; l <= n ), (6)

при котором линейная функция F(X) принимает оптимальное (т.е. максимальное или минимальное) значение.

Система (3) называется системой ограничений, (4) – линейной функцией или функцией цели, (5) – прямые ограничения или не отрицательность переменных.

Наша модель является задачей математического программирования, так как цель ее решения – оптимизация функции цели при ограничениях, также заданных системой неравенств φ_i(x₁,…,x_n)<=b_i, i=1,…,m.

При этом:

функция цели F(x) – линейная;

система ограничений (4) является линейной;

и выполняется условие неотрицательности, т.к. х_ij>=0 для любого i, j, следовательно наша модель математического программирования является линейной.

Кроме того, данная задача является частным случаем задач линейного программирования – транспортной задачей.