1.2. Потенциал электрического поля.

Важным понятием в электрическом поле является потенциал φ, который является энергетической характеристикой поля. В заданной точке он характеризует потенциальную энергию единичного положительного заряда, помещенного в эту точку.

Потенциал скалярная величина, имеющая знак. Численно он равен работе сил электрического поля, которую они могут совершить по перемещению единичного положительного заряда из данной точки поля в точку с 0 потенциалом. При рассмотрении конкретных задач за такую точку можно принять точку, находящуюся на бесконечно большом расстоянии от рассматриваемой системы зарядов. Для точечного положительного заряда потенциал считаем положительным и равным

. (5)

На практике чаще приходится сталкиваться с разностью потенциалов (напряжением), которая равна работе по перемещению единичного заряда из одной точки поля в другую

. (6)

Особенностью электростатического поля является независимость разности потенциалов от выбранного пути между точками А и B. Такие поля называются потенциальными. К потенциальным полям относится поле земного тяготения. В таких полях работа сил по замкнутому контуру равна 0, т.е. циркуляция вектора Е равна 0.

. (7)

1.3. Теорема Гаусса. Электрические поля заряженных тел.

Важнейшей теоремой для расчета электрических полей различных тел является теорема Гаусса, которая гласит, что поток вектора электрического смещения D через замкнутую поверхность равен сумме свободных зарядов в объеме ограниченном этой поверхностью.

(8)

Определим с помощью теоремы Гаусса вектора электрической индукции и напряженности электрического поля простейших тел.

1.3.1. Электрическое поле заряженного шара.

Рассмотрим заряженное тело с зарядом q в форме шара радиусом R, расположенное в диэлектрической среде с относительной диэлектрической проницаемостью ε₂ для двух случаев:

1. заряд равномерно распределен по объему с плотностью ρ (Кл/м³),

2. заряд находится только на поверхности тела.

К первому случаю может относиться только диэлектрический шар с относительной диэлектрической проницаемостью ε₁. Ко второму случаю относятся заряженные металлические сплошные и полые шары.

Надо отдельно рассматривать электрическое поле внутри заряженного тела и снаружи. При этом мы исходим из центральной симметрии этой задачи. Мы предполагаем, что величина вектора D зависит только от расстояния r от центра сферического тела, а его направление всегда совпадает с радиусом сферы. Для решения задачи с помощью теоремы Гаусса выбираем сферическую форму поверхности с радиусом r и центром, совпадающим с центром шара.

Если r < R, то заряд внутри поверхности с радиусом r составит

для равномерно заряженного шара и q_r=0 для шара с поверхностным зарядом.

Запишем выражение для теоремы Гаусса для равномерно заряженного шара, учитывая, что поток вектора D будет равен произведению D на площадь сферической поверхности радиусом .

(9)

Для равномерно заряженного шара для величины вектора D и Е при справедливо

, (10)

Для определения изменений потенциала мы можем воспользоваться выражением (6). Пользуясь тем, что интеграл в этом выражении не зависит от выбранного пути интегрировании, и, приняв потенциал в центре сферы за 0, для изменений потенциала получим