1.3.2. Электрическое поле заряженного цилиндра.

Заряженное тело в форме бесконечно длинного цилиндра с радиусом R, расположенное в диэлектрической среде с относительной диэлектрической проницаемостью ε₂ для двух случаев:

1. заряд равномерно распределен по объему цилиндра с линейной плотностью заряда ρ (Кл/м),

2. заряд находится только на поверхности цилиндра.

К первому случаю может относиться только диэлектрический цилиндр с относительной диэлектрической проницаемостью ε₁. Ко второму случаю относятся заряженные металлические сплошные и полые цилиндры.

Надо отдельно рассматривать поля внутри заряженного тела и вне его. При рассмотрении мы исходим из осевой симметрии этой задачи. Мы предполагаем, что величина вектора D зависит только от расстояния r от оси цилиндра, а его направление всегда совпадает с нормалью к оси цилиндра. Для решения задачи выбираем цилиндрическую форму поверхности с длиной l, радиусом r и осью, совпадающей с осью цилиндра.

Если r < R, то заряд внутри поверхности с радиусом r составит

для равномерно заряженного цилиндра и q=0 для шара с поверхностным зарядом.

Запишем выражение для теоремы Гаусса, учитывая, что поток вектора D через боковые поверхности равен 0, а поток вектора через боковую поверхность будет равен произведению D на площадь боковой поверхности цилиндра длиной l.

. (13)

Для равномерно заряженного цилиндра, при получим для D и E

, (14)

.

Для определения изменений потенциала мы можем воспользоваться выражением (6). Пользуясь тем, что интеграл в этом выражении не зависит от выбранного пути интегрировании, и, приняв потенциал на оси цилиндра за 0, для изменений потенциала получим

При , выражение (13) примет вид

. (15)

Тогда для D и Е будет справедливо

, (16)

.

Выражения (14) и (16) для r=R дают одно и тоже значение D. Однако зависимость Е(r) в точке r=R имеет скачкообразное изменение (разрыв).

Для цилиндра с заряженной поверхностью, при справедливо

и .

При будут справедливы выражения (16).

Рис.4

0. 1.3.3. Электрическое поле заряженного плоского слоя.

Рассмотрим заряженное тело в форме бесконечного слоя толщиной 2d, расположенное в диэлектрической среде с диэлектрической проницаемостью ε₂. Внутри слоя можно выделить среднюю плоскость, в которой лежат оси x и y декартовой системы координат. Верхняя и нижняя поверхности заряженного слоя параллельны средней плоскости и отстоят от нее на расстояние z=±d. Надо рассмотреть 2 случая:

1. заряд равномерно распределен по объему слоя с поверхностной плотностью ρ (Кл/м²),

2. заряд находится только на внешних поверхностях слоя.

К первому случаю может относиться только диэлектрический слой с относительной диэлектрической проницаемостью ε₁. Ко второму случаю относятся заряженные металлические сплошные и полые цилиндры.

Надо отдельно рассматривать поля внутри заряженного тела и вне его. При рассмотрении мы исходим из плоской симметрии этой задачи. Мы предполагаем, что величина вектора D зависит только от расстояния r от средней плоскости слоя, а его направление всегда совпадает с нормалью к поверхности слоя. Для решения задачи выбираем поверхность ограниченную двумя плоскостями с площадью S, расположенные на расстоянии ±r от средней плоскости и боковыми стенками перпендикулярными к выбранным плоскостям.

Если r < d, то заряд, заключенный между плоскостями составит

для равномерно заряженного слоя и q_r=0 для слоя с поверхностным зарядом.

Запишем выражение для теоремы Гаусса, учитывая, что поток вектора D через боковые стенки, выбранной поверхности равен 0, а поток вектора через основные поверхности будет равен произведению D на их площади.

. (17)

Для равномерно заряженного слоя при получим для

, (18)

.

Для определения изменений потенциала мы можем воспользоваться выражением (6). Пользуясь тем, что интеграл в этом выражении не зависит от выбранного пути интегрировании, и, приняв потенциал на средней плоскости слоя за 0, для изменений потенциала получим

.

При выражение (17) примет вид

. (19)

Тогда для D и Е будет справедливо

, (20)

.

Выражения (18) и (20) для r=d дают одно и тоже значение D. Однако зависимость Е(r) в точке r=d имеет скачкообразное изменение (разрыв). Разрыв также претерпевает и зависимость .

Для слоя с заряженной поверхностью при справедливо

и .

При будет справедливо выражение (20).